高中数学-【课堂实录】 两条直线的交点坐标教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE7PAGE1《3.3.1两直线的交点坐标》教学设计教学内容新课标人教A版必修2§3.3.1两条直线的交点坐标教材分析在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的解的相互关系.引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题.由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决.本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立方程组求解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性。学情分析1.学生已经经历求解直线方程，掌握了直线方程的几种形式以及点与直线的位置关系判断、两条直线位置关系的判断。学生思维灵活，有较强的参与意识、自主探究能力较强，故采用小组合作--探究式教学。2.学生的抽象概括能力和逻辑思维能力以及规范解题的能力有待提高，故采用多媒体辅助教学。教学目标1.知识与技能（1）掌握两直线交点坐标和二元一次方程组的解之间的联系；（2）能利用二元一次方程组的解的个数来判断两直线位置关系；(两条直线的相交、平行和重合，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解)（3）能利用两直线方程的对应系数关系来判断两直线位置关系.2.情感态度与价值观（1）通过研究两直线交点和二元一次方程组的解的联系，培养学生的数形结合能力；（2）通过研究两直线位置关系与两直线方程对应系数的联系，培养学生的分类讨论、数形结合的思想.教学重、难点教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点坐标。教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解。教学理念：学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者，还时间课堂与学生。课时安排1课时教学过程一复习回顾温故知新直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式的形式特点和适用范围：直线的方程特殊点局限性1.点斜式y-y0=k(x-x0)(k存在)过(x0,y0)点表斜线或水平线2.斜截式y=kx+b(k存在)过(0,b)点表斜线或水平线3.截距式过(a,0)和(0,b)点表不过原点斜线4.两点式过(x1,y1)和(x2,y2)点表斜线可表示任何直线5.一般式Ax+By+C=0(A、B不同时为0）可表示任何直线教师活动：引导学生复习回顾直线的方程及适用范围,纠正学生的错误.学生活动：学生小组内交流，填表.设计意图：通过表格的形式梳理上节课的旧知识，为本节课研究直线的交点及位置关系做铺垫.二创设情景导入新课教师活动：用大屏幕打出两组直线方程，要求学生画出每组中的两条直线,并求交点坐标.设问1：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.学生活动：学生动手画直线求交点坐标，小组内交流.设计意图：创设情景导入新课。通过学生动手画直线，但是不能求出交点坐标，从而激发学生的学习兴趣，培养学生的动手和动脑的能力.三．探求新知归纳概括已知两直线:l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，如何判断这两条直线的关系？教师活动：教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空.几何元素及关系代数表示点AA（a，b）直线ll：Ax+By+C=0点A在直线l上直线l1与l2的交点A学生活动：小组探究，完成上表.设计意图：通过几何元素以及几何元素间的位置关系坐标化，为用解析法研究两条直线的交点坐标和位置关系进一步造势，在知识的最近发展区为学新课做准备.教师活动：（提问）如果直线l1与l2相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组的解有什关系？学生活动：小组探究、交流教师活动：引导学生归纳概括出以下结论：如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这个方程组的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是两条直线的交点.设计意图：通过学生小组交流，充分发挥学生的主体作用，培养学生分析问题、解决问题的学科能力.四典例剖析规范解题例1：求下列两直线交点坐标：l1：3x+4y-2=0；l2：2x+y+2=0.解：解方程组得x=-2，y=2所以l1与l2的交点坐标为M（-2，2），如图。学生活动：积极动手，规范解题,并交流自己的学习成果.教师活动：让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解.设计意图：暴露学生学生解题过程中存在的步骤问题和思维缺陷，及时反馈纠正，同时训练学生解题的规范性.教师活动：当变化时，思考方程3x+4y-2+(2x+y+2）=0表示何图形，图形有何特点？解1：先以特殊值引路，作出相应的直线（如图）=0时，方程为3x+4y-2=0=1时，方程为5x+5y=0=-1时，方程为x+3y-4=0结论：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交点的直线系（直线集合）解法2.(1)可以用几何画板，当λ取不同值时，呈现各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.(2)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.(3)结论：方程表示经过这两条直线l1与l2的交点的直线的集合.学生活动：全班交流自己总结的结论，通过分析、抽象、归纳，得出对相交直线系的认识.设计意图：加强学生运用新知的意识，培养学生解决问题的能力.学生活动：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程。解：方法1设直线方程为因为直线过原点(0，0)，将其代入上式可得λ=1.将λ=1代入得，即教师活动：巡回指导，及时矫正设计意图：通过学生自己动手训练、完成后互相讨论、交流心得体会分享成果来培养学生分析问题解决问题的能力以及规范解题能力.教师活动：引导学生归纳概括出方程：表示是过直线交点的直线系方程.（不包括）设计意图：从理性认识上认识经过两条直线交点的直线系方程.五.深入研究系统知识教师活动：（设问三）我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元一次方程对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解，反之亦成立．那么两条直线是否有交点与它们对应的方程所组成的方程组是否有解有没有关系?如果有，是什么关系?学生活动：小组讨论互相交流教师活动：在学生回答的基础上归纳概括以下结论：（1）若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2相交；方程组的解即交点的坐标；（2）若二元一次方程组无解，则l1与l2平行；（3）若二元一次方程组有无数解，则l1与l2重合.设计意图：亲身体验运算过程，通过运算理解两条直线的位置关系与它们对应的方程所组成的方程组之间的内在联系，从而培养学生的逻辑思维能力及克服困难的勇气.教师活动：（设问四）两条直线的位置关系与两直线方程的系数有何关系？学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出用二元一次方程组的解的个数来判断两直线位置关系的方法？学生活动：小组讨论互相交流教师活动：在学生交流回答的基础上，归纳概括；；；特别地：.设计意图：通过做数学思维体操，理解两条直线的位置关系与它们对应的方程所组成的系数之间的内在联系，从而培养学生的逻辑思维能力、归纳概括的能力.教师活动：强调指出在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究．同时引领学生完成下面的例题教学.例2判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0解：（1）；解方程组得所以l1与l2的交点坐标为.（2）；（3）.设计意图：加强学生运用新知的意识，培养学生解决问题的能力.学生活动：学生独立完成下面的练习.练习1:判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标.设计意图：学以致用，巩固所学。进一步理解和掌握直线位置关系及应用教师活动：讲解学生解题过程中暴露出的步骤问题和思维缺陷，及时反馈纠正，同时训练学生解题的规范性.六.课堂小结归纳梳理1.本节课通过用什么样的方法讨论两直线的位置关系?当两条直线相交时，怎样求交点坐标？2.通过本节学习培养了同学们哪些数学思想？3.两直线位置关系与二元一次方程组的解之间的关系如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组是否有唯一解.(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2相交;(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l1与l2平行;(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l1与l2重合.即:直线l1、l2联立得方程组(代数问题)(几何问题)七．课后巩固规范训练1.课本109页习题3.3A组第1、3、5题2.两条直线的位置关系与其方程的系数之间有何关系？八.板书设计略九.教后反思这节课秉承观察—探究—实践—归纳的思路来授课，从点与直线的位置关系到两条直线的交点坐标，再到两条直线方程联立组成的方程组的解的个数与两条直线的位置关系，最后建立两条直线的位置关系与直线的方程的系数之间的联系来完善提升相关知识体系.本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线位置特点，其实质是直线方程Ax＋By＋C=0中A、B、C就表示了直线的本质属性.还要注重研究方法的探讨，为学习下一章圆锥曲线时，对于曲线交点的研究打基础.本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.学情分析1.学生已经经历求解直线方程，掌握了直线方程的几种形式以及点与直线的位置关系判断、两条直线位置关系的判断。学生思维灵活，有较强的参与意识、自主探究能力较强，故采用小组合作--探究式教学。2.学生的抽象概括能力和逻辑思维能力以及规范解题的能力有待提高，需要借助多媒体及结合各种实例来讲解，使抽象的知识通过事例分析变得形象具体，从而使学生加深感性认识，达到突出重点，突破难点的目的。

3.此年龄阶段的学生已具备一定的观察和认知及分析获取信息的能力，但比较、分析、归纳能力等不足又会限制他们的表达。针对这些特点，通过探究等途径积极引导学生思考，让他们尝试自主归纳总结，自主学习和合作探究，培养其分析问题解决问题的能力，并通过习题设置环节使他们学以致用，重在训练他们的科学思维习惯，使他们真正成为学习的主人。效果分析随着教学改革的深入，数学教学不仅关注教师的教，更要关注学生的学和用。学生在三维目标达成方面的变化与收获主要有以下三个方面：一知识目标的达成本节课通过直观教学法、启发诱导教学法、讨论探究法、讲练结合法、问题导学等教学方法和策略的运用，多方位进行学生知识目标达成。多媒体展示通过做数学思维体操，理解两条直线的位置关系与它们对应的方程所组成的系数之间的内在联系，从而培养学生的逻辑思维能力、归纳概括的能力.二学生能力培养(1)观察能力。学生看得清楚、看得明白（举例），观察能促进思维的发展，从而进入深层次的思考。(2)思考能力。通过方程组的解与直线交点坐标的关系，发展学生的想像力，敢于质疑，勇于创新，从而使学生养成良好的思维习惯。(3)表达能力。学生能积极回答教师提出的问题，表述规范、有条理。（4)应用能力。知其然、知其所以然，更要知其用。通过当堂练习，培养了学生运用知识解决实际问题的能力三学生情感表现学生从学习、情景中得到学习的兴趣，从探究活动中获得合作交流的乐趣。学生有足够的学习的空间与时间，学生就是课堂的主人，从而确立了主人翁意识。多数同学在小组活动、发言等方面体验到成功的喜悦，从而提升自信心。这节课秉承观察—探究—归纳—实践的思路来授课，并且通过例题、练习让学生主动分析小结知识点，把课堂还给学生，使课堂充满活力，学生通过自主学习及相互的交流、合作探究来完成，教师只是充当引导者的角色。使学生由原来的接受性学习转向主动性探究学习，最终达成三维教学目标。教材分析在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的解的相互关系.引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题.由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决.本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立方程组求解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性。教学目标1.知识与技能（1）掌握两直线交点坐标和二元一次方程组的解之间的联系；（2）能利用二元一次方程组的解的个数来判断两直线位置关系；(两条直线的相交、平行和重合，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解)（3）能利用两直线方程的对应系数关系来判断两直线位置关系.2.情感态度与价值观（1）通过研究两直线交点和二元一次方程组的解的联系，培养学生的数形结合能力；（2）通过研究两直线位置关系与两直线方程对应系数的联系，培养学生的分类讨论、数形结合的思想.教学重、难点教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点坐标。教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解。两条直线的交点坐标练习题一.选择题1.若三条直线：，，和相交于一点，则的值等于（）A.–2B.C.2D.2.已知方程和所确定的曲线有两个交点，则a的取值范围是（）A.B.或C.D.3.两直线ax＋y－4＝0与x－y－2＝0相交于第一象限，则实数a的取值范围是（）A．－1＜a＜2B．a＞－1C．a＜2D．a＜－1或a＞24.如果，则（）A.且B.且C.且D.且或且5.两条直线l1:2x+3y-m=0与l2:x-my+12=0的交点在y轴上，那么m的值为()A.-24B.6C.±6D.5二.填空题6.直线和的交点坐标为__________________.7.已知P（-3，-1），Q（4，6），线段PQ与直线交于点，则M分PQ的比为__________________.8.两条直线和的交点在轴上，则__________________.9.经过直线和的交点及A（2，1）的直线的方程是__________________.10.已知菱形ABCD的相对顶点A（1，-2），C（-2，-3），则对角线BD所在的直线方程为__________________.三.解答题11.已知直线过，两点，直线，求与的交点坐标.12.已知两条直线和，当为何值时，与（1）平行，（2）相交，（3）重合.13.求过直线和的交点，且满足下列条件的直线的方程.（1）过点（2，1）；（2）和直线垂直.14.求与直线垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积等于24的直线方程.答案：1.B2.C3.A4.D5.C6.7.8.9.10.11.解：由截距式得直线的方程是：，解方程组得交点为）.12.（1）；（2）且；（3）13.解：设所求的直线方程为：，即，（1）把（2，1）代人得：，故所求直线为；（2）两直线垂直，得，得，故所求直线为.14.。课后反思这节课秉承观察—探究—实践—归纳的思路来授课，从点与直线的位置关系到两条直线的交点坐标，再到两条直线方程联立组成的方程组的解的个数与两条直线的位置关系