第三讲阶线性偏微分方程的分类dhh

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数学物理方程

第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型

一、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与标准型两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式

a11uxx2a12uxya22uyyb1uxb2uycuf(2.1.1)其中，a11,a12,a22,b1,b2,c,f都是区域上的实函数，并假定它们是连续可微的。引入下面二阶常系数线性偏微分算子222La1122a12a222b1b2cx1x1x2x2x1x2

则(2.1.1)可简单地表示为

Luf

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第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型

1两个自变量方程的化简一般形式：2u2u2uuua1122a12a222b1b2cuf0xyxyxy

(2.1.1)

目的：通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从而据此分类。Jacob

(x,y)(x,y)

非奇异

i行列xy0式xy

则在非奇异变换下方程(2.1.1)变为A11u2A12uA22uB1uB2uCuF0

(2.1.2)

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u(x,y)复合求导

第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型数学物理方程(x,y)(x,y)

u(,)

uuuxxx

uuuyyy2u2u22u2u2u2u2()2()2222xxxxxxx22u2u2u2uu2u22()2xyxyxyxyxyxyxy

2u2u22u2u2u2u2()2()y22yyy2yy2y2

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第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型数学物理方程

2u2u2uuua1122a12a222b1b2cufxxyyxy

(1)

2u2u2uuuA1122A12A222B1B2CuF系数之间(3)的关系

(2)

22A11a11()2a12a22()xxyy

A12a11a12()a22xxxyxyyy22A22a11()2a12a22()xxyy4

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第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型数学物理方程

其他系数之间的关系

222B1a1122a12a222b1b2,xxyyxy(3*)

222B2a1122a12a222b1b2,xxyyxy

Cc(x(,),y(,))

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第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型

A11a11(

2)2a12a22()2xxyy

A12a11a12()a22xxxyxyyyA22a11(2)2a12a22()2xxyy

(2.1.3)

可以看出，假使取一阶偏微分方程22a11zx2a12zxzya22zy0

的一个特解作为,

(2.1.4)

则

2a11x22a12xya22y0

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第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型

从而A11=0。假使取(2.1.4)的另一个特解为,则A22=0,这样方程(2.1.2)就可以简化。一阶偏微分方程(2.1.4)的求解可以转化为常微分方程的求解，将(2.1.4)改写成：

zx2zxa11()2a12()a220zyzy假使将z(x,y)c看作定义隐函数yy(x)的方程，则

dzzxdxzydy0从而有：

zxdydxzy

dy2dya11()2a12()a220(2.1.5)dxdx

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第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型数学物理方程

引理

假设z(x,y)是方程

z2zzz2a11()2a12a22()0xxyy的特解，则关系式(x,y)C是常微分方程

(2.1.4)

a11(dy)22a12dxdya22(dx)20的一般积分。反之亦然。

(2.1.5)

由此可知，要求方程(2.1.4)的解，只须求出常微分方程(2.1.5)的一般积分。8

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第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型数学物理方程

定义称常微分方程(2.1.5)为PDE(2.1.1)的特征方程。称(2.1.5)的积分曲线为PDE(2.1.1)的特征曲线。

a11(dy)22a12dxdya22(dx)20

(2.1.5)(2.1.6)

(2.1.5)的解为：

2aady1212a11a22dxa11

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第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型

2dya12a12a11a22dxa11

(x,y)c1

和

(x,y)c2

记当当2a12a11a220,2a12a11a220,

(x,y)aa11a22212

二阶线性偏微分方程为双曲型方程二阶线性偏微分方程为抛物型方程二阶线性偏微分方程为椭圆型方程

当

2a12a11a220,

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第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型2adya12右端为两相异的实函数12a11a22dxa11

双曲型PDE曲线(x,y)c1取(x,y)则A11

A220u

2当a12a11a220时,(2.1.6)式给出一族实的特征

(x,y)c2

(x,y)

,这时方程变为双曲型方程的第一标准型

若再作,uu

1[B1uB2uCuF]2A12

则上述方程变为：

1[(B1B2)u(B1B2)u2CuF]A12双曲型方程的(2.1.7)其次标准型

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第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型数学物理方程

抛物型PDE

(x,y)aa11a220212

dya12dxa11由此得到一般积分为(x,y)C,

取与

(x,y)函数无关的(x,y)由此令

作为另一个新的变量

(x,y)(x,y)

其中,(x,y)为独立的任意函数。

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第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型数学物理方程

由于

(x,y)0

a12a11a22

22A11a11()2a12a22()xxyy2a11xa22y0由此推出A12a11a12()a22xxxyxyyya11xa22ya11xa22y

0

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第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型数学物理方程

而

22A22a11()2a12a22()0xxyy因此，方程(2.1.1)可改写为

2uuuABDu2抛物型方程的标准型

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椭圆型PDE当

第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型2a12a11a22dya12右端为两相异的复数dxa11

2a12a11a220时,(2.1.6)式各给出一族复特征线

(x,y)(x,y),在该变换下：A110,A220u1[B1uB2uCuF]2A12

且方程化为：

令则有：

i,i

uu

1[(B1B2)ui(21)u2CuF]A12

(2.1.9)

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第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型

5-1二阶线性偏微分方程的分类

2方程的分类由前面的探讨可知，方程(2.1.1)通过自变量的可逆变换化为那一种标准形式，主要决定于它的主部系数。a11uxx2a12uxya22uyy若方程(2.1.1)的主部系数足在区域Ω中某一点(x0,y0)满

则称方程在点(x0,y0)是双曲型的；在邻域；在Ω中

则称方程在点(x0,y0)是抛物型的;则称方程在点(x0,y0)是椭圆型的。相应地，(2.1.7)、(2.1.8)和(2.1.9)这三个方程分别称为双曲型、抛物型

和椭圆型(二阶线性)偏微分方程的标准形式。

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第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型

假使方程在所探讨的区域内每点都是双曲型(抛物型或椭圆型),则称方程在区域内也是双曲型(抛物型或椭圆型)。

标准形式uu2f2xy22

u2u2fx