2022-2023学年福建省福州市高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷考生须知：全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。—►—►已知"3为非零向量，“号2方二方2心为“1"bb,,的（ ）A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件已知集合A={t，°，1，2},B="+1）t-2）<o，则集合A^B的真子集的个数是（）A.8B.7 C.4D.33.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A.72B.64C.48D.324.函数gg）=asins+M>o,°*<2兀）的部分图象如图所示，已知*„°）=4甘声，函数y=ff(xf(x)的解析式为（f(xf(x)=2sin2xA.f(x)=2sin2x+生

B. I3丿C.fd-2"口.fG)=2sin5.运行如图所示的程序框图，若输出的值为300,则判断框中可以填( )Ai>30bi<40ci<50di>60y,2sin(2x+.)］闽6C.fd-2"口.fG)=2sin5.运行如图所示的程序框图，若输出的值为300,则判断框中可以填( )Ai>30bi<40ci<50di>60y,2sin(2x+.)］闽6.若函数 '丿的图象经过点匸,0、(12丿，则函数f(",血°X—时+*°X一时图象的一条对称轴的方程可以为()A.x，-——24B.37„x, 24C.17„x， 24D.13„x,一——247.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )3B.4侧视图A.13C.D.58.设函数'(x)定义域为全体实数，令gX),f(|X|)|f|.有以下6个论断:①f(x)是奇函数时,g(x)是奇函数;②f(x)是偶函数时，g(x)是奇函数;③f(x)是偶函数时，g⑴是偶函数;

④r”）是奇函数时，g（"是偶函数⑤g（"是偶函数;⑥对任意的实数&⑴w°.那么正确论断的编号是（ ）A.③④④r”）是奇函数时，g（"是偶函数⑤g（"是偶函数;⑥对任意的实数&⑴w°.那么正确论断的编号是（ ）A.③④B.①②⑥C.③④⑥D.③④⑤|5C|=2,BA<BC=-29.已知△ABC中，1I点P为BC边上的动点,的最小值为（A.3 252 B. 4C.-2D. 12函数 2x+2-x的部分图像大致为（ ）10.丸10.+——A.1B.4C. 4D.12.既是奇函数,A.下列函数中，"(%)=lnx|+1„ fA.1B.4C. 4D.12.既是奇函数,A.下列函数中，"(%)=lnx|+1„ f(x)B.又是R上的单调函数的是（）2%, (x<0„f(x)=<D.f(x)=<f(x)=<D.-(2‘x，(xx0)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点、远地点离地面的距离大约分2R别是3,4R，则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为.

x>0<x<y满足线性的约束条件l 的目标函数Z一 >的最大值为 is.3+2y)3—y)5展开式中炉叫的系数为 .16.定义在人上的偶函数小满足JI且顶二°,当斯引时，0="已知方程/土1 '4丿的图象向右平移口个 言由上所有的实数根之和为3“.将函数/土1 '4丿的图象向右平移口个 言由上所有的实数根之和为3“.将函数gG丄3sin2h(8)=—sin—x2e丿在区间h(x)单位长度，得到函数的图象，则"= 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。兀 兀6,AB=46,AB=4,D为线段AB的中点，是由△AOB17.(12分)如图，在中，已知 2,绕直线AO旋转而成，记二面角B-AO一C的大小为-=竺⑵当3时，求二面角B-OD-C的余弦值.K 7T18.(12分)设函数(I)求•的最小正周期;jtal kaE/7~J=—siiif2nI(II)若 「-且' '，求「-的值.(x=2+1cosa 19.(12分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为=2…tsln0C(t为参数，以为实数).以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为P=8Sln-，曲线C1与曲线C2交于A，B，两点，

线段AB的中点为M.求线段AB长的最小值;求点肋的轨迹方程.20(12分)在四楊样A8CD—A8CD A8CO为王方形AC^BD=OAO1_仙①ZU.11Z刀丿住凸枚性 1111十1，丿志回 丿NIL刀71＞， ， 1TLHJ •(1)证明:平〃平面BCD(1)证明:平〃平面BCD11/、卄AB—AAq,D—AB—A占厶人》》士(2)若1,求二面角1 1 1的余弦值.21.(12分)某企业现有A.B两套设备生产某种产品，现从A,B两套设备生产的大量产品中各抽取了100件产品作(2040)为样本，检测某一项质量指标值，若该项质量指标值落在' 内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是从A设备抽取的样本频率分布直方图，表1是从B设备抽取的样本频数分布表.图1：A设备生产的样本频率分布直方图表1表1：B设备生产的样本频数分布表质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)00,35)05,40)【40,45)频数2184814162(1)请估计A.B设备生产的产品质量指标的平均值;(2)企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在［25,3°)内的定为一等品，每件利润240兀;质量指标值落在回,25兀;质量指标值落在回,25)或囱'35)内的定为二等品，每件利润180兀；其它的合格品定为二等品，每件利润120元.根据图1、表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、二等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.企业由于投入资金的限制，需要根据A，B两套设备生产的同一种产品每件获得利润的期望值调整生产规模，请根据以上数据，从经济效益的角度考虑企业应该对哪一套设备加大生产规模？

X=1,cos€<22.（10分）曲线C1的参数方程为X=1,cos€<22.（10分）曲线C1的参数方程为…y=sm€ （€为参数），以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为PCOS2。=4sin0.C C（1）求曲线1的极坐标方程和曲线2的直角坐标方程；€（兀<€V兀）⑵过原点且倾斜角为4— 3的射线I与曲线C1，C2分别交于4B两点（异于原点），求\°A'\OB\的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由数量积的定义可得"2= >°，为实数，则由a2bb2a可得―► —►―►aa=bb一r判断a=b，由等价法即可判断两命题的关系.lai2b=ba _r11 ，根据共线的性质,可判断a=b；再根据【详解】lai2b=方2a _亍 |aplb11 ，则向量"与"的方向相同，且I11，从而，所以a=b―►—►bb->7，则向量a与b的方向相同，且―►―►—►aa=bb2，从而，所以a=b所以“a2b=ba”为“”的充分必要条件.故选:B【点睛】 本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定，考查向量的模、数量积的应用.2、D【解析】转化条件得AnB={°，"，利用元素个数为n的集合真子集个数为2〃-1个即可得解.［详解］B=L（x,1）G-2）V°/={x1-1VxV2}由题意得 ，...={°,1}，...集合的真子集的个数为22-1=3个.故选：D.【点睛】本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.3、B

【解析】 由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4,高为3的正四棱锥,利用体积公式，即可求解。【详解】V€V一V€4x4x5一一x4xV€V一V€4x4x5一一x4x4x3=64所以几何体的体积为 柱锥 3 ，故选B。又<2兀又<2兀【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。4、A【解析】由图根据三角函数图像的对称性可得2 6 6 2，利用周期公式可得①，再根据图像过v6丿，即可求出平'"，再利用三角函数的平移变换即可求解.【详解】T 5兀 兀 兀———2x———由图像可知2 6 6 2，即T=兀，f 2兀T——所以①，解得①=2，g(g(x)-2sin中———所以3，A-2，

/k'2k2x———+—13J3_j，f(x),2sin因为函数’,f(x)的图象由jj，f(x),2sin所以故选：A【点睛】本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属于基础题.5、B【解析】由300,200+10+20+30+40，则输出为300,即可得出判断框的答案【详解】由300,200+10+20+30+40，则输出的值为300,',40+10,5。，故判断框中应填，＞40?故选：B.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.6、B由点'生由点'生,0<H2丿求得“的值，化简f(x) f(x)解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得， 的对称轴，由此确定正确选项.【详解】6k)2sin2x一+“由题可知'12丿f(xf(x),sin所以62x+W+cos62x+W,V?sin1 6丿1 6丿,J2sin2x+——12丿5兀兀TOC\o"1-5"\h\z2x+——，一+k兀,k—Z令12 2x，—+竺,k-Z\o"CurrentDocument"得24 237kx, \o"CurrentDocument"令k,3，得 24故选：B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.7、B【解析】4-cdF还原几何体的直观图，可将此三棱锥 CD1F放入长方体中，利用体积分割求解即可.

【详解】如图，三棱锥的直观图为A-CDE1如图，三棱锥的直观图为A-CDE1体积VV=卩-V-V-V-V-VA_CD]E长方体AC]BB]E_AA]FE-ABCE-CCRE-AD^D^-ADC21 21=2x4x2一x2x2x2——,—x4x2x2———x——x2x2x2=432 32【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解，【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解，利用的体积分割的方法，考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.8、A【解析】根据函数奇偶性的定义即可判断函数&(x)的奇偶性并证明.【详解】当E是偶函数，则fxfg(—x)=f(I—xI)—If(—x)1=f(IxI)—If(x)1=g(x)所以 ，所以g(x)是偶函数；当f⑴是奇函数时，则f(-x„=-f(x„，g(—x)=f(I—xI)—If(—x)I=f(IxI)—If(x)I=g(x)所以 ，所以g(x)是偶函数;f(x)=x+5当f(x)为非奇非偶函数时，例如：一，—2f(—2f(-2)=3，此时g(—2)>0，故⑥错误;则11故③④正确.故选：A【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题.9、D【解析】以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得设P0O），A（3）,运用向量的坐标表示,求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值.【详解】以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，rFB（-L0）,C（L0） ,0）,A（x,y）可得 ，设 ，由BABC=-2可得G+l，y）（2,0）=2x+2=—2即x=-2,y^Q厅G+应+元）=（1—q,0）G—q—1—q+1—q,"0+0）i¥2512i¥251225当625当6时,的最小值为12故选D故选D.【点睛】本题考査向量数量积的坐标表示，考査转化思想和二次函数的值域解法，考査运算能力，属于中档题.10、A【解析】根据函数解析式，可知的定义域为］ER，通过定义法判断函数的奇偶性，得出f°*）„'€x），则为偶函数，可排除C,D选项，观察4B选项的图象，可知代入x„0，解得f（°）＞°,排除B选项，即可得出答案.【详解】

..f(x)为偶函数，图象关于'轴对称，排除CD选项,f(0),—>0且当x,0..f(x)为偶函数，图象关于'轴对称，排除CD选项,f(0),—>0且当x,0时， 2 ，排除B选项，所以A正确.时,故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.11、A【解析】f(x),1-丄cos…2x+„'先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为 23丿，再求最值.【详解】+——已知函数f(x)=sin2x+sin2(x3)，1-cos2x +… 2兀'1-cos2x+——< 3丿2‘1…cos2x、13sin2x.11—-，1—一cos2x+一2I22丿2< 3丿2cos2x+；G[-1,1]因为1所以f(x)的最小值为2.故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12、C【解析】对选项逐个验证即得答案.【详解】对于A,f(—°项舄+"站+1)，f(x)，.f(x)是偶函数，故选项△错误;对于B,f(x),x—」x，定义域为怀“°}对于C,当x>0时,，在R上不是单调函数，故选项B错误；—x<0,f(-x),—(—x)2+2(—x),—x2—2x,—Cx2+2x),—f(x)当x<0时,_x>0, f(-x),(-x》+2(-x),x2-2x,- x2+2x),-f(x)

当x<0时,又X€0时，/(-0)€-f(。)€0f（x）=X2+為€（X+1，-1是开口向上的抛物线，对称轴X€-1，…f（x）=X2+為€（X+1，-1是开口向上的抛物线，对称轴X€-1，…f（"在"，+Q上单调递增,又X-0时，是奇函数，…在R上是单调递增函数，故选项C正确;对于D，f（x）在J，°）上单调递增，在（°，G上单调递增，但f（—1）=1 （1）=-2,…/（x）在R上不是单调函数，故选项D错误.故选：C【点睛】本题考査函数的基本性质，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得a,c的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案.【详解】如图所示，设椭圆的长半轴为a，半焦距为c,-R因为地球半径为R,若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是3 ,4Ra—c€—R+Ra—R,c€—R可得3，解得3 3可得ce=—a所以椭圆的离心率为1故答案为：2本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得的值是解答的关键,着重考查了推理与计算能力，属于基础题.14、1【解析】作出不等式组表示的平面区域，将直线进行平移，利用z= >的几何意义，可求出目标函数的最大值。【详解】由z= >,得y=2x-z,作出可行域，如图所示：平移直线'=2x一七由图像知，当直线经过点C时，截距最小，此时乙取得最大值。,x-j=0 ,x=1由…x„j-2€0，解得I"1,代入直线z€2x—j，得z=2x1-1€1o【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的解法——平移法。15、10【解析】把(X-j)5按照二项式定理展开，可得(X„2j)(X-j)5的展开式中X3j3的系数.【详解】

解:(x+2y)(x-y)5=(x+2y).(CO«X5一C1*X4J+C2«X3J2一。3・工2》3+。4解:(x+2y)(x-y)5=(x+2y).5 5 5 5 5 5故它的展开式中的系数为—C：+2C；=1。故答案为：io【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.16、2 4【解析】（71 、（71 、根据函数小）为偶函数且八e+、）=f（ef）,所以入）的周期为2e,■）=『"一，丿的实数根是函数1.八X）和函数y1.八X）和函数y=出八°在区间[-e,3e]上的图象，而方程f 2(n、-sin——工<2efG）丿的实数根是函数」 和函数.y=—sin——工2（n「<2e丿的图象丿的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所有实数根的和为6e，从而可得参数a的值，最后求出函数”x）的解析式，代入求值即可.【详解】解:因为f€x）为偶函数且f€e,x）=f€e-x）,所以f€x）的周期为&.因为xe]时，(n、gG)=3sin2因为仁打,(n、gG)=3sin2因为仁打,1<4丿h(x)=所以3「n( 5—cos—\x—2/,—2 2 23=—cos—x2h(8)=.故3cos(4n),5故答案为：2；81.[-e3e]丿在区间’上的简图，可知两个函数的图象在区间f€x） y=2sin[-e3e]丿在区间’上的简图，可知两个函数的图象在区间的交点的横坐标，结合函数'和函数2[-3]'e上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为6e，所以6e=3ea，故a=2【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。0二_史17、(1) 2；(2) 5.【解析】⑴平面C°D丄平面AO1B，建立坐标系，根据法向量互相垂直求得；(2)求两个平面的法向量的夹角.【详解】(1)如图，以0为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴QBQA所在的直线分别为，轴,Z轴，建立空间直角的一个法向量，由T"•",0得I"屈,0坐标系O-xyz，则A(0,0,2\.3),B(0,2,0),D(0,1^-'3),C(2sin0的一个法向量，由T"•",0得I"屈,0，设T(x,y,z)为平面C0D一一0,€n•n2,0所以*3cos0,0即2，取z,sin0，则n一一0,€n•n2,0所以*3cos0,0即2因为平面A0B的一个法向量为n2,(1,0,0)由平面C0D丄平面A0B，得1(2)设二面角B(2)设二面角B—0D—C的大小为a面COD的个法向量为縛縛,—里5444n1,G.；3cos2€,—<3sin2€，sin2€)二(-«,—:，*)—巫综上，二面角8—0D—C的余弦值为5.【点睛】本题考查用空间向量求平面间的夹角，平面与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，难度一般.

18、（I产；（II）【解析】国,得到周期./GJ=汞片in（2試■+国,得到周期.（I）化简得到0f—(II)J【详解】0f—(II)J【详解】岸，根据范围判断「江Iccsa+一史⑵ 4，代入计算得到答案.tHW=tHW=如】A-~

(I) ' 61+sin：*+；)= -J+cos12^-~2?r一=許a(II)ra(II)r(1.(”=v^sina4—=-sina■+——'相，，故''泠疽4CCS[a+—I=±JT1fjlfjl[况>sincosa+一，故' 12cosa+一，故' 12sin^aIg12}19、（119、（1）【解析】（i）将曲线£的方程化成直角坐标方程为x2+>2„8y，当PCIabC2 时，线段AB取得最小值，利用几何法求弦【点睛】本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.4应⑵€xT》+G-3》=2.长即可.⑵当点M与点⑵当点M与点P不重合时，设M€x,y）点P重合时也满足.【详解】"I曲线C2的方程化成直角坐标方程为X2+2=8丄CM丄PM,，由2利用向量的数量积等于0可求解，最后验证当点M与即x2+（y-4》=16,圆心q（°4）,半径,=4,曲线q为过定点pg）的直线,易知P°'2）在圆气内，PCPC1AB2时,(2-0>+(2-4)2卜4妃(2-0>+(2-4)2卜4妃（1）连接+1,设叩广+1,°1，连接°1C,「在四棱柱ABCD-A1叩1D1中,O,°1分别为AC'A1C1的中点,...OC//AO=11,二四边形AOCO11为平行四边形,...AO//OC1 12、lr2-IPCI线段A与长最小为* 121(2)当点M与点P不重合时，(x,y),・.・CM丄PM,设 2CM丽,x(x-2)+G-4)(y-2),02化简得:(x-1)2+(y-32，当点M与点P重合时，也满足上式,故点M的轨迹方程为（x-1》+G-3》,2-【点睛】本题考查了极坐标与普通方程的互化、直线与圆的位置关系、列方程求动点的轨迹方程，属于基础题.西20、（1）详见解析；（2） 5.【解析】（1） 连接+1,设£"+1,°】，可证得四边形A]°cq为平行四边形，由此得到AO//OC，根据线面平行判定定理可证得结论；（2） 以°为原点建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果.【详解】

••AOct^^BCDOCUf^BCD:.aou^^bcd1平面1 1, 1平面1 1, 1平面1 1. (2)以。为原点，°包°仁。厶]所在直线分别为••AOct^^BCDOCUf^BCD:.aou^^bcd1平面1 1, 1平面1 1, 1平面1 1. (2)以。为原点，°包°仁。厶]所在直线分别为2,1轴建立空间直角坐标系。-出if•flAB—AA-y/2 ，•OA-11 ， 1B（1,1,1）D（—1,1,1）1,1 ，'・,四边形ABCD为正方形，ni|A（0,-1,0）A（0,0,1）则 ，1.•.序-（1,2,1）"=（-2,0,0）-（1』,0）1 ， 11 ， 11、门 ,y,z)、「十^AB^ n-(x,y,z)丄十^AAB心、二宀曰设1 1丿11为平面11的法向量，2 2722为平面1 1的法向量, n-AB=0v LnBD=0由—Il 得:工+2y+z-01 1—2x—01x+2y+z-02 2 2x+y-02 2n-AB=0〈二 L <nAB=0由12 11得：I.•"二（0丄-2）W=（1,—1,1）1 ， 2cos<n,n>=1 2-1-2——Q.—n•n12++ ”.D—AB—A、『心—・二面角1 1 1为锐二面角,715•.•二面角D1—AB1—A1的余弦值为5.【点睛】 本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握二面角的向量求法, 易错点是求得法向量夹角余弦值后，未根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角，造成余弦值符号出现错误.x—x=21、（1）a30.2，b29；（2）B设备【解析】平均数的估计值为组中值与频率乘积的和；[2040) 要注意指标值落在’ 内的产品才视为合格品，列出A、B设备利润分布列，算出期望即可作出决策. 质量指标值xA[15,20)[20,25)[25,30)00,35)05,40)[40,45)频数41640121810【详解】 （1）A设备生产的样本的频数分布表如下无,0.04