21 单电子薛定谔方程及其解

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第2章原子结构及性质

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原子结构知识回想Bohr模型定态规则

频率规则?波性

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量子力学在原子结构的应用氢原子的Schrdinger方程是目前唯一能够确切求解的原子体系的微分方程。处理单电子体系发展起来的思想为处

理多电子原子的结构奠定了基础，由单电子体系的求解结果引出的诸如原子轨道、波函数径向分布、角度分布、角动量、能量等概念及表达式是探讨化学问题的重要依据。

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内容提纲2.1单电子体系的Schrdinger方程及其解2.2量子数的物理意义

2.32.4

波函数及电子云的图形表示多电子原子的结构

2.5电子自旋与泡利原理2.6原子光谱

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2.1单电子体系的Schrdinger方程及其解类氢体系是指核外只有一个电子的原子或离子，如H,

He+,Li2+,Be3+等，它们的核电荷数为Z,核与电子的吸引位能为：

ZeeV40r

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2.1.1定态Schrdinger方程电子相对运动的Hamilton算符为

ZeH2840r2

h

2

2

(2-1)

meMmeM

me1836.1meme1836.1me

电子运动的Schrdinger方程为

0.99946me

h22Ze22r,,Er,,40r8

(2-2)

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1.球极坐标表达式

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12112r2sin22rrrrsinrsin222

电子运动的Schrdinger方程为h212112-22r2sin2228rrrrsinrsinZe2E40r

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2.1.2定态Schrdinger方程的解1.h212112-22r2sin2228rrrrsinrsinZe2E40r12112r2sin2222rsinrrrrsin822hZe2E40r

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令r,,Rr,代入上式，得：12R1Rr2sin2rrrrsin12R822222hrsinZe2ER40r

求微分

d2dRRddr2sin2rdrdrrsinddRd2822222rsindhZe2ER40r

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乘以

rsinR22

sin2d2dRsindd1d2rsinRdrdrddd22822Ze22rsinEh4r0

移项整理21d2822Ze22rsinE2dh40r

sin2d2dRsinddrsinRdrdrdd

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1d22m2d22822Zesind2dR22rsinErh40rRdrdrsindd2sinmdd移项整理82r2h2Ze21d2dRrE40rRdrdr2

m1ddsin2sinsindd

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82r2h2

Ze21d2dRrll1E40rRdrdr

1ddm2ll1sin2sinddsin

1d22m2d

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2.

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复数解与本征值角动量沿Z轴分量的算符

ihd2d

ihd1imMzme2d2

复数形式的Ф函数是该算符的本征函数hmMz2