数理统计基础

PAGE1、数理统计基础1.1随机变量1.1.1随机事件和概率观测或试验的一种结果，称为一个事件。在一定条件下进行大量重复试验时，每次都发生的事件，称为必然事件（）；反之，每次都不发生的事件，称为不可能事件（）；有时发生有时不发生的事件，称为随机事件或偶然事件（）。随机事件的特点是在一次观测或试验中，它可能出现，也可能不出现，但在大量重复观测或试验中呈现统计规律性。用来描述事件发生可能性大小的量就是概率。概率的统计定义是：在相同条件下进行次重复试验，事件发生了次，称为事件的频数，称/为事件的频率。当足够大时，频率/稳定地趋向于某一个常数，此常数称为事件的概率，记为＝，即：＝＝（1.1）即概率是频率的极限值。由概率的定义可归纳出概率的三个基本性质：（1）必然事件的概率等于1，即=1；（2）不可能事件的概率等于0，即=0；（3）任何事件的概率都介于0和1之间，即0≤≤1。小概率原理：当某一事件的概率非常接近于0时，说明这个事件在大量的试验中出现的概率非常小，这样的事件称为小概率事件。小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次连续试验中出现的可能性很小，一般可以认为不会发生，此即为小概率原理。概率的三个定理：（1）互补定理：某事件发生的概率与不发生的概率之和为1。当发生的概率为，则不发生的概率为1-。全部基本事件之和为必然事件。（2）加法定理：相互独立而又互不相容的各个事件，其概率等于它们分别出现之和。例如，A1，A2，…An为相互独立而又互不相容的事件，其中任一事件出现的概率为各个事件概率的总和，即P（A）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）=（1.2）（3）乘法定理：相互独立的事件同时发生的概率是这些事件各自发生的概率的乘积，即具畜喷P全（并A蚀1拥A淘2福…芦A绒n宅）蚕=桨P絮（积A催1障）德P桌（红A协2概）夜…精P梯（诞A冲n肆）莲=秩毅悦（榴1.重3危）蛮劝排随机变量与分债布函数增每次试验的结伞果可以用一个吧变量秒的数值来表示悔，这个变量的吐取值随偶然因舌素而变化，但秧又遵从一定的捆概率分布规律总，这种变量称健为随机变量。献随机变量根据拦其取值的特征棒可以分为离散斥型随机变量和素连续型随机变余量。辟离散型随机变携量试验结果的讨可能值可以一通一列举出来，贪即随机变量油可取的值是间临断的、可数的到。滩连续型随机变蔑量试验结果的速可能值不能一葛一列举出来，投即随机变量晌可取的值是连堤续充满在一个贸区间的。兄随机变量是随彻机现象的数量目化，可以用：泽=井迎表示某事件；侨（逝=涂）族溜表示该事件出介现的概率；部（跃）偶=隶（播挡＜浮）表示找余＜秋的概率，并定拣义为随机变量义的概率分布函龙数，用来描述倒随机变量的统邮计规律。冒连续型随机变犹量引的分布函数的迫表达式为：浇开烤＝盆（承＜滴）＝富匀桶阔骨（贩1.切4桐）闷式滩中根,梢称为随机变量意的概率密度函悦数（或简称概蚂率密度）。插正态分布是连环续型随机变量贺最常见的一种请分布。正态分押布的概率密度病函数困和概率分布函堂数拍分别为：坐拣足压锯雨蹦交（耍1.谢5调）推情月来腹舞晶吊（殖1.其6浮）挥以绸的取值惹为横坐标，以列概率密度函数举为纵坐标，正裙态分布的图象闭如读图弹1.合1送所示。图中的竿曲线即为概率止密度函数脉，积分区间内编的曲线与横轴纠之间所包含的苹面积就是概率你分布函数安，亦即随机变委量盼的概率。蔽图镰1.1脏高正态分布示意含图裤的图象具有如饥下性质：比a伤、机为随机变量搁一系列取值的灿中位值（或称率均值），间对称于直搭线及x猛＝燥μ令，且侍＞霞0开，曲线位于横役轴的上方。它规向左右无限延搂伸，并以横轴店为渐近线。束b瞧、犹当兰x齿＝号μ称时，咬取最大值：肝给章买耳x剩离鼓μ生越远良越小，这表明援对于同样长度团的区间，当区作间齐离伶μ边越远，巾落在这个区间子上的概率越小衬。杀c惕、参内数警σ址为曲线拐点的录横坐标，其大纽小决定了正态严曲线的形状特倾点锦，港σ泉愈大曲线愈平楼缓擦，唯σ虽愈小曲线愈高及陡。衡可以看出，正宪态分布主要取严决类于字μ伶和之σ输两个参数，殊称专μ舰为随机变量系的数学期望惭，顾σ咸2始为随机变量忠的方差。葱当随机变量放服从正态分布浑时，常记作封～办（暖μ投，类σ食2佣）。只如令随机变匙量姓t倦＝焦（逢x肝-稿μ另）红/住σ洞，通过变量转到换，可由一般孤正态分布推算猜得随机变场量开t尼的概率密度函余数膛及相应的概率富分布函数幅：腊顺叔尺夫＝刮钞鞋声剃（毫1.辰7锡）挎际灌挑＝农黑践示歼谨（恩1.脂8米）站这种分布称为散标准正态分布身，是正态分布啄中摔μ昨＝坡0户，时σ庆2跌＝晋1染的特例。当随象机变量服从标稻准正态分布时悠，常记作东～薪N榴（健0姓，啊1伸）。尘通常郑将蜜t稠～著制成数值表，棚称芹t痕为标准正态分晴布的分位数。职如已序知障t败，即可从表中爸查得相应的蔽；反之，亦然友。报标准正态分布汉与一般正态分肃布具有如下关彼系：炭冲柴叨＝劈Φ碍渗架催政（拘1.功9滨）弟因此，对于任洗意正态分茄布僚N圣（固μ拜，门σ尚2喉），当已旗知免x型，需求相应伞的钳F洗（略x盲）时，均可通僵过下式变换狼烤鲁腊洗肯虹谱夏篇（粗1.1陡0优）谁算得对应吧于搂x氧的营t突值，再在标准嗽正态分布函数级数值表上查得铃相应的概率。逢正态随机变量阵中有三个重要废的概率值（见姐图燕1.余2遵），它们分别暴是灿泄盘舌尼P甚（福μ循-机σ逐＜母X毒≤壳μ竭+女σ纷）娃=座0.6826慢，龟夏拖丛汤P稠（粱μ先-叶2饶σ倍＜梳X搂≤桌μ选+日2续σ悉）极=损0.9544型，清巷枪迷言P掌（摘μ晚-丑3颈σ奴＜开X男≤奶μ蒜+叙3斑σ组）阅=子0.99挽7穴3聋。工图被1.2氏且正态分布的三修个重要概率值揪注意到第三个莫概率值，对于头正态随机变量怎来说，它落甲在寄μ昂±颈3烦σ肥内的概率约伏为狂99.7叮%速，落扫在伏μ派±呀3蛙σ陶外的概率约预为约0.3月%唇。可见，在具丰有正态分布特冬征的试验中，巡其数据落疏在凤μ辣±赛3维σ款以外的概率是顿很小的，可视滴为帅“凯小概率事串件竭”示。因此，试验爪中一旦出局现饭μ庆±谦3享σ潜外的数据，根适据侄“桐3榨σ白规象则唉”矛，即可将其认略为悄是战“盖可疑数义据傅”单而予以剔除，以或是工艺过程赚出现异常，应素予注意。丛[温例滑1.1]舌贯已知一批强度览等级贴为剃C2刃5南的混凝土，其钥抽样试件的抗穷压强度平均值弟为除30.0MP啊a香,蚀标准差叔为暴5.0MPa纪,笨设该混凝土的职抗压强度彻服侍从航N(30.本0机，针5.0侧)雹的正态分布，汪试计算抗压强逆度高浇于缴25.0MP肉a毅的概率（即求寒该混凝土的强施度保证率）。散[饱解钞]穗（而≥耻25.但0殿）漠=1-找（张＜虑25.颂0眉）乞该航滥=1-戚晃罗妻=1-=1-堤屡瑞焰=1-0仁.1587=歼0.8413科即该批混凝土省的强度保证率钢为曲84.1尸%屡。由此可见，索对于标准差祸为拿5.0MP潮a泉的伍C2略5穷混凝土，即使爽其抗压强度平顿均值迟为月30.0MP易a耽时，仍不能达伪到相关规范所轿规定终的恒95尝%准的强度保证率宽。扇[寄例略1.2]供谷条件拍同租[遗例为1.1革]朗，其试件抗压翠强度平均值鸭为多少时，才列能使该混凝土方的强度保证率罗达削到怠95服%鼓？耻[喂解字]纷饥由躺风（拉≥健25.傲0充）代=1-声（楼＜恼25.甲0翼）驱=0.95竿得越营骆＝宫＝演-1.645畜恐役尘=25.0+阔1.645×慕5.0=33凤.2MPa拖棕踏上式中德，轨t铁被称为强度保飞证率系数，它鸡对应楼于汗95锄%章的强度保证率持。戚1.2仔放随机变量的数枕字特征蔑由上所述，利乒用分布函数或青分布密度函数催可以完全确定磨一个随机变量还。但在实际问榴题中，求分布聪函数或分布密剂度函数不仅十横分困难，而且钢常常没有必要样。用一些数字声来描述随机变笔量的主要特征半，显得十分方抚便、直观、实插用。描述随机暑变量某种特征皆的量称为随机西变量的数字特改征。椒锯挥数学期望过数学期望又称禽均值，记海作传E挣（碧X贿）（正态分布耽的蛛），其计算公薯式为：仁当己X添为离散型悔时洪衔效捏匙送谅缘（记1.1页1窗）啄当顺X皱为连续型薯时腔掏员携棵歉央（茫1.1矿2祝）棋数学期望描述礼了随机变量的希取值中心，但亚它不是简单的湾算术平均，而艰是以概率为权葱的加权平均。别数学期望有如任下性质（下式智中厕c胡、暂k扮、朽b机均为常数）：献（感1驰）廉E爽（厅c孟）舅＝穗c妻傻振眼半帖蚕（绞1.13尺a驴）坚（役2领）预E奔（豪k节X聚）狱＝驻k禾E从（挎X哗）补求抄诚但碧昨（洪1.13救b穷）嫩（叠3泄）卵E竖（躲X+趟b忍）浮＝桂E森（怒X雾）聪+b蚂吵慈疫立眯（数1.13寺c裳）猫（蜂4坟）犯E箱（杏kX+盲b笛）＝召kE甜（败X雁）娇+快b细匪米亲岛脾惠(奖1.13镰d)践祸（期5村）熊E碎（太X+适Y扩）局＝斑E镇（赠X布）康+根E铲（犯Y交）门渡蹦利雁放（般1.13定e苹）堆（费6陈）励E谋（愿X林Y工）何＝拉E懒（首X干）余E缺（宫Y标）垮+Co纹v剂（托X递，泪Y南）厨边壶谦（播1.13旨f跪）搅称男Co杠v难（每X骨，水Y掠）为协方差，臂当知X愤，垃Y祥相互独立时应，蜓Co紧v亲（析X扒，容Y对）鬼＝亡0舟，则有乳踢遵勤岂退呢悔狭（慧1.13暮g眉）晴势稍方差端记悔作堂D脱（炎X深）（正态分布删的冒）：糕廉术D姿（阔X疑）鞠＝丸E{[X-助E呢（次X擦）锦]昂2剩}机＝吼E医（榆X蛮2巩）情-[班E猪（塔X歉）巾]灾2傍戏甘（疑1.1潜4后）婶方差描述了随叮机变倾量乡X稿取值对于数学泰期茄望轰E究（猜X突）的离散程度葡。按1齿、方差的计算从公式镇当略X惕为离散型擦时灿恐缓捐（趴1.1舟5稠）页当判X欧为连续型提时陵悄呀训（业1.1纱6锁）津2窄、方差的性质阳（下式恩中处a制、禁b废、围c喇、群k撒为常数）况（叹1屈）使D摔（矮c利）总=0服桃凝绒种炎反保（反1.17宾a今）咏（伟2领）搏D败（翁k延X妈）挖=k牙2援D当（维X穴）涉倾弦齐唤葛捏护（悼1.17仿b与）摸（峡3贪）爱D蚂（坡X+谱b世）把=赴D偏（哑X项）诊凭涨愿哀通蹲蕉将（臂1.17妥c哀）项（够4千）康D郊（钥kX+裙b翅）膨=k徐2昨D诸（称X勉）忆想殊型年慕柿（皂1.17肌d残）柳（母5四）慈D棕（腹X+非Y拔）较=络D善（坏X视）挨+眯D漂（待Y万）尺-2Co波v腔（咳X朗，剑Y筹）腰锦粪棚（棵1.17划d江）慌当浊X顽，喝Y镰相互独立时，三协方训差航Co后v燃（替X涂，和Y斯）角=然0括，则有：索岗虑赛判D存（杜X+惠Y样）所=艺D祝（视X赢）汉+覆D虽（鸦Y守）恭固芬纲组（车1.17咸e藏）燥（灿4江）、决（导5慕）可推广至随监机变存量太X四1爱，摘X聪2固，棍…迹，恩X给n停。南1.3黄症随机变量的基劝本定理燃该遵大数定理疼1.3.1.站1心滑切比谢夫仙（冰Tcheby魂she贼v婆）定理北设访X嚼1带，劝X矿2租，赔…犯，席X写n巨是独立同分布横的随机变量列军，铁且浪E册（瞒X内1睡）糠、足D籍（柿X辉1卡）存在，则对传于任饿何梯ε蔬＞索0飞，有络殿畅配辰较（庆1.1系8踪）萄式中碰：芽奏旦满载跪蹦负（劈1.1爆9漠）商上式又称切比筐谢夫锻（被Tcheby民she有v胁）定理。大数汽定律的实际意吧义在于，只扑要蒸n忠充分大，算术幕平均值毙以很大的概率互取值接近于数伞学期望，即链当砖n刺充分大时，可之以用算术平均答值王代替真值痰，以满足测量摸不确定飘度境ε铁的要求。绝1.3.1.侍2自握贝努利定理弟设喂在星n陆次独立观测中获，事赞件乖A均出现的次数恰为崇m这，则稻当寸n血足够大时，频洗率勇m/误n仪依概率收敛于柜它的概梯率肺p旅，即对任意返的冤ε近＞抚0遵，有：烈魄超＝稿1愧溜薯魂什（灿1.2叮0貌）填贝努利定理的颗实际意义在于鬼，在观测条件耽稳定时，如热果裤n尽足够大，则可榜用频率代替概侍率，此时频率星具有很高的稳第定性。途书柄中心极限定理痕设锄X苦1隔，距X奥2把，磨…羡，芦X巾n棉是独立同分布护的随机变量列源，歪且肤E队（嚷X渔1腊）丝、尚D论（仅X披1饿）存在索，桶D丹（丹X笔1柏）昂≠残0寻，则对一切实篇数胶a蹦＜访b肉，有臂虫早碍随（卫1.2典1亚）哗中心极限定理管可解释为任何博随机变量如果是是许多同分布右独立变量之和抖，每一变量在肺总和上只起不草大的影响，则哲不论这些独立县变量具有何种初类型的分布，皇该随机变量可围以近似地认为遮是正态分布。孙随着随机独立泊变量的增加，赔它们的和就越撕接近正态分布半；这些独立变宴量的大小越接蛾近，所需的独名立变量就越少趣。状中心极限定理璃扩展了正态分现布的适用范围坚。在扩展不确那定度的评定中旱，将涉及如何象用中心极限定耐理来判断被测覆量俯Y肿是否服从或接犁近正态分布。捕1.4过牺参数估计侍顽棚以上所述是观愁测次数无限大封时随机变量的妙一些性质，即央为总体的情况慕。由于总体往狡往得不到，常沸常以有限次观隶测、即抽样的少方式来估计总领体的特性。娘丙旅总体、样本集把研究对象的者全体称为总体膝，构成总体的毅每个单位为个胀体，通常灯用丈N率表示总体所包踏含的个体数。域总体的一部分枕称为样本（或瞒称子样），通咳常岛用伪n营表示样本所含叉的个体数，称坊为样本容量。礼从总体中抽取妄样本称为抽样叮。若总体中每胳个个体被抽取捞的可能性相同宗，这样的抽样昂称为随机抽样欠，所获得的样气本为随机样本俩。馅可以证明，当史样本容申量吴n评足够大时，样毅本的经验分布歌函数近似地等估于总体分布函职数，因此，可剖以用经验分布兆近似地代替总眉体分布函数。龄这是用样本推伤断总体的依据描。旦壮架参数的点估计循1.4.2.酿1凤扛基本概念池对于一个已知叫其分布、但未疫知特征参数的悦随机变量疏，如果得到了改一组观测值，设很自然的会想洽到用这一组观场测值来估计总唉体的特征参数概，这就是参数般的点估计，这瓦一组观测值所吊构成的统计量姻称为总体的估围计量。冠估计量的评价愤：狗（蒸1颂）一致性：一糊个好的估计量墨，当样本容量钉很大时，估计阀值以接近味于乏1蛇的概率趋近于袭被估参数值。立（织2紫）无偏性：估流计量总是围绕猾被估参数摆动子，即大于被估夺参数和小于被炉估参数的概率现基本相同，估榜计量的数学期蒸望等于被估参宅数，此时该估臣计量就是被估箭参数的无偏估费计量。肾（热3县）有效性：估糠计量的方差越竖小，波动越小技，估计值接近孟被估参数的可束能性越大，即谱越有效。屯1.4.2.腹2搂正态分布未知扶参数的点估计康用上述方法和渠标准研究正态丽分布未知参数悦的点估计，可轧以得出如下结廉论：烫（肌1杜）样本算术平鞠均值肃赚秀方跨首辅棵（插1.2啊2跑）董是总体数学期肤望忍μ炊的无偏估计量狐。随样本容宜量宪n船增大，有效性纽提高。五（生2辩）样本方差揪龄挪尺誓逗典（允1.2