中学数学 等差数列及其前n项和 教案

等差数列及其前n项和【要点梳理】要点一、等差数列的定义文字语言形式一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。要点诠释：⑴公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）；符号语言形式对于数列,若(，,为常数)或(，为常数)，则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差。要点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关。等差中项如果,,成等差数列，那么叫做与的等差中项，即.要点诠释：①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数。任意两实数a，b的等差中项存在且唯一.②三个数,,成等差数列的充要条件是.要点二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式首相为，公差为的等差数列的通项公式为：（）推导过程：（1）归纳法：根据等差数列定义可得：，∴，，，……当n=1时，上式也成立∴归纳得出等差数列的通项公式为：（）。（2）叠加法：根据等差数列定义，有：，，，…把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，∴.(3)迭代法：∴.要点诠释：①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了。②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量。等差数列通项公式的推广已知等差数列中，第项为，公差为，则：证明：∵，∴∴由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式可以看成是时的特殊情况。要点三、等差数列的性质等差数列中，公差为，则①若，且,则，特别地，当时.②下标成公差为的等差数列的项,,,…组成的新数列仍为等差数列，公差为.③若数列也为等差数列，则，，（k,b为非零常数）也是等差数列.④仍是等差数列.⑤数列（为非零常数）也是等差数列.要点四、等差数列的前项和公式等差数列的前项和公式公式一：证明：倒序相加法①②①+②：∵∴由此得：公式二：证明：将代入可得：要点诠释：①倒序相加是数列求和的重要方法之一。②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量。要点五、等差数列的前项和的有关性质等差数列中，公差为，则①连续项的和依然成等差数列，即,,，…成等差数列，且公差为.=2\*GB3②若项数为2n，则，，③若项数为2n-1，则，，，，要点六、等差数列中的函数关系等差数列的通项公式是关于n的一次函数(或常数函数)等差数列中，，令,则：（,是常数且为公差）（1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。（2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。①当时，一次函数单调增，为递增数列；=2\*GB3②当＜0时，一次函数单调减，为递减数列。等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）由，令，，则：（,为常数）（1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点。（2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点。=1\*GB3①当时有最小值=2\*GB3②当时，有最大值要点诠释：1.公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数。2.（,是常数）是数列成等差数列的充要条件。3.公差不为0的等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数。4.(其中,为常数)是数列成等差数列的充要条件.【典型例题】类型一：等差数列的定义例1.（1）求等差数列3，7，11，……的第11项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.【思路点拨】（1）根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项；（2）题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数值，使得等于这一数.【解析】（1）根据题意可知：,.∴该数列的通项公式为：（,）∴.（2）根据题意可得：,.∴此数列通项公式为：（,）.令,解得：,∴100是这个数列的第15项.【总结升华】1.根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出通项公式.2.要注意解题步骤的规范性与准确性.举一反三：【变式1】求等差数列8，5，2…的第21项【答案】由，，∴.【变式2】－20是不是等差数列0，，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.【答案】由题意可知：,，∴此数列的通项公式为：,令,解得，所以－20不是这个数列的项.【变式3】求集合的元素的个数，并求这些元素的和【答案】∵，∴，∵，∴中有14个元素符合条件，又∵满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列，即，，，∴.例2.已知数列的通项公式为这个数列是等差数列吗？【思路点拨】由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（）是不是一个与无关的常数。【解析】因为时，所以数列是等差数列，且公差为3.【总结升华】1.定义法和等差中项法是证明等差数列的常用方法.2.一般地，如果一个数列的前项和为，其中、、为常数，且，那么当常数项时，这个数列一定是等差数列；当常数项时，这个数列不是等差数列，但从第二项开始的新数列是等差数列.举一反三：【变式1】(2015北京)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0【答案】分析四个答案，A举一反例，如，，，a1+a2＞0，而a2+a3＜0，A错误；同样B，如，，，a1+a3＜0，则a1+a2＞0，B错误；对于C，{an}是等差数列，若0＜a1＜a2，则a1＞0，设公差为d，则d＞0，数列各项均为正，，∵，∴；对于D，故选：C．【变式2】已知数列中，，（），求证：是等差数列。证明：∵，∴∴，∴是公差为的等差数列。类型二：等差数列通项公式的应用例3．已知等差数列中，，，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。【思路点拨】等差数列的计算，一般优先考虑使用性质，如果不宜用性质，则回归为基本量a1、d的问题，列出a1、d的方程组。【解析】方法一：由通项公式得：，解得，∴（,）,∴,解得.方法二：由等差数列性质，得,即，解得,∴，∴,解得.方法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列是一些共线的点，∵点、、在同一条直线上，∴，解得。【总结升华】1.等差数列的关键是首项与公差；五个基本量、、、、中，已知三个基本量便可求出其余两个量；2.列方程（组）求等差数列的首项和公差，再求出、，是数列中的基本方法.举一反三：【变式1】在等差数列中，已知求首项与公差.【答案】由解得；【变式2】等差数列中,,,,求的值.【答案】即，解得：或.【变式3】已知等差数列，，，则=。【答案】方法一：设数列首项为,公差为，则，解得，∴。方法二：∵,∴，解得：，∴.方法三：∵为等差数列，∴,,,，…，也成新的等差数列，由，知上述新数列首项为，公差为-2∴.类型三：活用等差数列的性质解题例4.已知等差数列中，若,,求的通项公式。【思路点拨】可以直接列方程组求解和；同时留意到脚标，可以用性质：当时解题.【解析】∵，∴即,代入已知，有,解得或，当,时，，∴；当,时，,∴.【总结升华】利用等差数列的性质解题，往往比较简捷.举一反三：【变式1】在等差数列中，，则=【答案】9【变式2】在等差数列中，，则=【答案】10【变式3】在等差数列中，若,,则=,=【答案】∵，，∴， ∴，∴.类型四：前n项和公式及性质的运用例5.已知等差数列{an}的公差d＞0，设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2•S3＝36．(Ⅰ)求d及Sn；(Ⅱ)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65．【思路点拨】（1）利用S2•S3＝36求得d,然后利用等差数列的求和公式求Sn；（2）利用前n项和公式求和，然后对k,m进行讨论。【答案】(Ⅰ)d＝2；.(Ⅱ)k＝4，m＝5【解析】(Ⅰ)由a1＝1，S2•S3＝36得，(a1＋a2)(a1＋a2＋a3)＝36，即(2＋d)(3＋3d)＝36，化为d2＋3d－10＝0，解得d＝2或－5，又公差d＞0，则d＝2，所以．(Ⅱ)由(Ⅰ)得，an＝1＋2(n－1)＝2n－1，由am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65得，，即(k＋1)(2m＋k－1)＝65，又m，k∈N*，则(k＋1)(2m＋k－1)＝5×13，或(k＋1)(2m＋k－1)＝1×65，下面分类求解：当k＋1＝5时，2m＋k－1＝13，解得k＝4，m＝5；当k＋1＝13时，2m＋k－1＝5，解得k＝12，m＝－3，故舍去；当k＋1＝1时，2m＋k－1＝65，解得k＝0，故舍去；当k＋1＝65时，2m＋k－1＝1，解得k＝64，m＝－31，故舍去；综上得，k＝4，m＝5．【总结升华】本题考查等差数列的前n项和公式，熟练应用公式解题。举一反三：【变式1】（2016江苏高考）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22=3，S5=10，则a9的值是.【答案】由得，因此【变式2】等差数列中，若,则=_________.【答案】由，得.【变式3】已知两等差数列、的前项和分别为、，且，则=.【答案】.【变式4】等差数列前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和.【解析】方法一：利用等差数列的前n项和公式求解。由已知得，解得，∴。方法二：利用等差数列前n项和公式及性质,则求解。由已知得由(3)-(2)及(2)-(1)结合(4),得S3m=210.方法三：根据性质：“已知{an}成等差数列，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,……,Skn-S(k-1)n,……(k≥2)成等差数列”解题。由上述性质，知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列。∴Sm+(S3m-S2m)=2(S2m-Sm),∴S3m=3(S2m-Sm)=210.方法四：由的变形式解题，由上式知，∴数列也成等差数列，即成等差数列，∵，又Sm=30,S2m=100,∴S3m=210.方法五：∵{an}为等差数列，∴设∴Sm=am2+bm=30,S2m=4m2a+2mb=100,得，∴S3m=9m2a+3mb=210.例6．一等差数列由3个数组成，3个数之和为9，3个数的平方和为35，求这个数列。【思路点拨】本题设这三个数时，常规设法为,，，但不如用对称设法设为,,。【解析】设这三个数分别为,,，则，解得,.∴所求三个数分别为1，3，5或5，3，1。【总结升华】1.三个数成等差数列时，可设其分别为,,；若四个数成等差数列，可设其分别为,,,.举一反三：【变式】已知四个数成等差数列，且其平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四个数。【答案】-1，2，5，8或8，5，2，-1或-8，-5，-2，1或1，-2，-5，-8类型五：等差数列前n项和的最值问题例7．已知数列是等差数列，,，试问为何值时，数列的前项和最大？为什么？【思路点拨】要研究一个等差数列的前项和的最值问题，有两个基本途径：其一是利用是的二次函数关系来考虑；其二是通过考察数列的单调性来解决。【解析】方法一：∵,∴即,∵，∴，又，∵，∴当,有最大值为.方法二：要使最大，必须使且，即解得，∵，∴时，最大为.【总