考研流体力学第2章

2023/4/111第二章流体运动学基础2023/4/112第二章流体运动学基础流体运动学是运用几何的方法来研究流体的运动，通常不考虑力和质量等因素的影响。流体运动学是用几何学的观点来研究流体的运动规律，是流体力学的一个组成部分。本章的学习目标：掌握描述流动的两种方法（拉格朗日法及欧拉法），结合迹线，流线，流管，流体线等显示流动特性的曲线研究流动特性。2023/4/113了解流体微元的运动分解机理，即微团运动可分解为平移，整体转动，线变形运动及角变形运动。掌握有旋运动与无旋运动的特点。无旋运动可引入速度势。不可压无旋运动是一个纯粹运动学问题，正确给出边界条件，是求解的关键。2023/4/114本章学习的内容描述流体运动的两种方法运动的几何描述连续流体线的保持性流体微团的运动分析有旋运动的一般性质无旋运动的一般性质不可压无旋流动的基本方程不可压无旋流的动能2023/4/1152.1描述流体运动的两种方法2023/4/1162.1.1拉格朗日方法拉格朗日方法是着眼于流体质点来描述流体的运动状态.如何区别流体的质点呢?质点标识----通常是用某时刻各质点的空间坐标（a,b,c）来表征它们。某时刻一般取运动刚开始的时间.以初始时刻流体质点的坐标作为区分不同流体质点的标志.拉格朗日方法的一般表达:a,b,c,t称为拉格朗日变数—是流体质点的标志。2023/4/117拉格朗日方法表示的速度，则有同样，质点的加速度可表示为

其中2023/4/118它在直角坐标系中的分量为

流体的密度、压力、温度也可以写成a,b,c,t的函数

2023/4/119已知用拉格朗日变数表示的速度场为式中，a,b是t=0时刻流体质点的直角坐标值。求：t=2时刻流场中质点的分布规律；a=1,b=2这个质点的运动规律；质点的加速度。例题2023/4/1110代入条件：在t=0时刻，x=a，y=b，求得积分常数，

解：积分得：2023/4/1111得各流体质点的一般分布规律所以:(1)在t=2时刻流场中质点分布规律2023/4/1112（2）a=1,b=2流体质点的运动规律

（3）加速度场2023/4/11132.1.2欧拉方法欧拉方法也称空间描述，它着眼于空间点，认为流体的物理量随空间点及时间而变化，也就是说，它把流体物理量表示成空间坐标及时间的函数。欧拉方法研究的是流体的场，相比较于拉格朗日方法，它更适合于研究流体的运动。拉格朗日方法着眼于流动过程中流体质点的运动，它比较适合于研究刚体的运动。根据欧拉的观点，任何物理量Φ（V,P,ρ）都是坐标和时间的函数,在直角坐标系中，该物理量可以表示为x,y,z,t:欧拉变数－空间位置的标志速度场压力场密度场温度场2023/4/1114x,y,z固定，t改变，表示空间固定点上速度随着时间的变化规律；t固定，x,y,z改变，表示某一时刻中速度在空间中的分布规律。若场内函数不依赖于矢径r(x,y,z)，则称为均匀场，否则称为非均匀场；若场内函数不依赖于时间t，则称为定常场，否则称为非定常场。欧拉法的应用：气象站、海洋观测站等。2023/4/11152023/4/1116注意事项:不要把空间点和流体质点混淆。流体运动时，同一个空间点在不同的时刻由不同的流体质点所占据。所谓空间点上的物理量是指占据该点的各个流体质点的物理量。在欧拉方法中，各物理量将是时间和空间点的函数。欧拉方法研究的是场。最后指出，欧拉法和拉格朗日法只不过是描述流体运动的两种不同方法。对于同一问题，既可用拉格朗日法也可用欧拉法来描述。采用何种方法视具体问题而定。2023/4/11172.1.3随体导数、加速度随体导数（又称质点导数、实质微商）：质点的物理量随时间的变化率。随体导数在拉格朗日方法中的表达随体导数在欧拉方法中的表达，物理量是空间和时间的函数，以速度为例思考：在欧拉方法中，表示什么？2023/4/1118欧拉描述的流体的随体导数随体导数在欧拉方法中的表达。设物理量是空间和时间的函数，以速度为例2023/4/1119第一项是指由于场的不定常性引起的速度变化，称为局地导数；第二项是指由于场的不均匀性引起的速度变化，称为位变导数或对流导数。推导22023/4/1120设与轨迹相对应的运动方程为质点运动的速度为则加速度为2023/4/1121随体导数（实质微商、质点加速度）亦可写为：某流体质点的速度对于时间的变化率就是该流体质点的加速度。按定义式中2023/4/1122随体导数（实质微商、质点加速度）写成分量形式为另一方面，于不同时刻通过某一固定点的不同流点之速度一般也是不同的，但这种表示为局地加速度localacceleration对流加速度convectiveacceleration2023/4/1123都可以表示成实质微商，随体（物质、全）导数随体导数（实质微商）类似的，与流体有关的所有的物理量Φ

如：不可压缩流体的数学表示2023/4/1124质点的密度在运动过程中不变的流体称为不可压缩流体。对于不可压缩流体，密度的随体导数为0，即思考：不可压缩流体可以用表示式来表示吗？既要不可压缩，又要均质，才有密度处处为一个常数。2023/4/1125求质点的加速度。例题：已知解：2023/4/1126课堂例题一个流场，由u=2x,v=y来定义，试着求点（3，2）处的速度和加速度大小。一个流场，由u=2y,v=xy来定义，试着求点（3，1）处的速度和加速度大小。一个二维流场，由u=2+xy+3t2,v=2xy2+t来定义，试着求t=4时刻，点（2，3）处的速度和加速度大小。2023/4/1127定常流、流量、平均流速定常流：在流场中任何一点，所有的状态参数都不随时间而变，但不同点处的参数可以不同。单位时间内流过任何截面的流体数量称为流量。流量可以表示为：体积流量(m3/s)、质量流量(kg/s)、重量流量(N/s)。VθdA’dA体积流量：2023/4/1128对于密度为常数的质量流量：对一维流动，常采用平均速度的方法求流量：例题:某种液体在直径为150mm的管路内流速为0.8m/s试求流量（体积流量，质量流量）。在研究向量的实质微商时，考虑坐标（单位矢量）的变化与否具有重要的意义。

设有某一向量

其微商当单位向量（或坐标轴的方向）不变化时，则2.1.4绝对微商和相对微商当单位向量（或坐标轴的方向）改变的时候[补充材料]绝对速度=相对速度+牵连速度(用于各种具有相对运动的坐标系)绝对加速度=相对加速度+牵连加速度(用于平移坐标系)绝对加速度=相对加速度+牵连加速度+科氏加速度(用于平移并有旋转的坐标系)在刚体力学定轴转动时刚体上任一点的速度为所以

因此，在一般情况下：2023/4/11322.1.5球坐标系和柱坐标系中的加速度取球坐标系中三个正交的微小位移令三个方向上的速度分量则如令其角速度在三个方向上的分量为则2023/4/1138同理可以导出加速度在柱坐标中的表达式：

可得平面极坐标中加速度的表达式

我们常常要寻求拉格朗日位移场

和欧拉速度场

之间的关系。

2.1.6两种方法的相互转变在此我们取t=0为拉格朗日参考时间，因此拉格朗日的速度场用下式给出

显然，应有如下等式：如果给定拉格朗日表达式,则拉格朗日速度场确定为了得到欧拉速度场，我们必须根据三个表达式反解，以求得并将其代入拉格朗日速度场,即得以欧拉变数表示的速度场。一、拉格朗日变数转变为欧拉变数已知以拉格朗日变数表示的位移场为：试求以欧拉变数表示的速度场。解：我们对式（1）取时间导数得

例题用式（1）的2代入（2）式的1，则得以欧拉变数表示的速度场为：

如果给定欧拉速度场表达式则拉格朗日位移场不能直接从上式反解得到.但是根据可以对速度场在特定的初始条件和边界条件下积分得到拉格朗日变数。二、欧拉变数转变为拉格朗日变数给定二维欧拉流场求以拉格朗日变数表示的流体运动。

例题由已知条件得积分得式中f和g是待定的a和b的函数。解：求出上式中的积分，我们有

给定初始条件：t=0时，x=a和y=b，我们得f(a,b)=a和