中考数学《平行四边形与特殊的平行四边形》专题训练(附答案解析)

第页中考数学《平行四边形与特殊的平行四边形》专题训练(附答案解析)一单选题1．如图将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形则的度数是（

）A．40° B．60° C．80° D．100°【答案】C【解析】根据两直线平行内错角相等可得出答案．【详解】解∵纸片是菱形∴对边平行且相等∴（两直线平行内错角相等）故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质解题的关键是要知道两直线平行内错角相等．2．如图在中一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据平行四边形的性质平行四边形的对边相等然后对各选项进行判断即可．【详解】解∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CDAD=BC故选C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．3．如图在菱形中对角线则的面积为（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【解析】菱形的对角线互相垂直平分故的面积为对角线的一半的乘积的．【详解】是菱形的面积故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形面积理解是直角三角形是解题的关键．4．已知中下列条件①②③④平分其中能说明是矩形的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【解析】根据矩形的判定进行分析即可．【详解】A.邻边相等的平行四边形是菱形故A错误B.对角线相等的平行四边形是矩形故B正确C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形故C错误D.平分对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形故D错误．故选B．【点睛】本题考查了矩形的判定熟知矩形从边角对角线三个方向的判定是解题的关键．5．如图将矩形纸条折叠折痕为折叠后点CD分别落在点处与交于点G．已知则的度数是（

）A．30° B．45° C．74° D．75°【答案】D【解析】依据平行线的性质即可得到的度数再根据折叠的性质即可得出的度数．【详解】解∵矩形纸条中∴∴由折叠可得故选D．【点睛】本题主要考查了折叠问题折叠是一种对称变换它属于轴对称折叠前后图形的形状和大小不变位置变化对应边和对应角相等．6．（2020·湖南益阳）如图的对角线交于点若则的长可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先根据平行四边形的对角线互相平分得到OAOB的长度再根据三角形三边关系得到AB的取值范围即可求解．【详解】解∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=AC=3BO=BD=4在△AOB中4-3<AB<4+3∴1<AB<7结合选项可得AB的长度可能是6故选D．【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角形的三边关系熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．7．（2020·广西玉林）点DE分别是三角形ABC的边ABAC的中点如图求证且证明延长DE到F使EF=DE连接FCDCAF又AE=EC则四边形ADCF是平行四边形接着以下是排序错误的证明过程①②③四边形DBCF是平行四边形④且则正确的证明排序应是（

）A．②③①④ B．②①③④ C．①③④② D．①③②④【答案】A【解析】根据已经证明出四边形ADCF是平行四边形则利用平行四边形的性质可得可得证出四边形DBCF是平行四边形得出且即可得出结论且对照题中步骤即可得出答案.【详解】解四边形ADCF是平行四边形四边形DBCF是平行四边形且;;且;对照题中四个步骤可得②③①④正确故答案选A.【点睛】本题考查平行四边形性质与判定综合应用当题中出现中点的时候可以利用中线倍长的辅助线做法证明平行四边形后要记得用平行四边形的性质继续解题.8．（2021·山东德州）下列选项中能使平行四边形ABCD成为菱形的是（）A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD【答案】B【解析】分别根据选项所给条件结合菱形的判定方法逐一进行判断即可求解．【详解】解∵四边形ABCD是平行四边形A当AB＝CD时不能判定平行四边形ABCD是菱形故本选项不符合题意B当AB=BC时根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得到平行四边形ABCD是菱形故本选项符合题意C当∠BAD＝90°时平行四边形ABCD是矩形故本选项不符合题意D当AC＝BD时平行四边形ABCD是矩形故本选项不符合题意故选B．【点睛】本题主要考查了菱形的判定熟练掌握有一组邻边相等的平行四边形是菱形是解题的关键．9．（2021·四川德阳）如图在菱形ABCD中对角线ACBD相交于点O点E是CD中点连接OE则下列结论中不一定正确的是（）A．AB＝AD B．OEAB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO【答案】C【解析】由菱形的性质可得AB=AD=CDAC⊥BD由直角三角形的性质可得OE=DE=CE=CD=AB即可求解．【详解】解∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD=CDAC⊥BD故选项A不合题意∵点E是CD的中点∴OE=DE=CE=CD=AB故选项B不合题意∴∠EOD=∠EDO故选项D不合题意故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质直角三角形的性质掌握菱形的性质是是解题的关键．10．（2022·河南）如图在菱形ABCD中对角线ACBD相交于点O点E为CD的中点．若OE＝3则菱形ABCD的周长为（

）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【解析】由菱形的性质可得出BO=DOAB=BC=CD=DA再根据中位线的性质可得结合菱形的周长公式即可得出结论．【详解】解∵四边形ABCD为菱形∴BO=DOAB=BC=CD=DA∵OE=3且点E为CD的中点是的中位线∴BC=2OE=6．∴菱形ABCD的周长为:4BC=4×6=24．故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质解题的关键是求出AD=6．11．（2022·辽宁）如图在矩形中分别以点A和C为圆心以大于的长为半径作弧两弧相交于点M和N作直线分别交于点EF则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据矩形可知为直角三角形根据勾股定理可得的长度在中得到又由题知为的垂直平分线于是于是在中利用锐角三角函数即可求出的长．【详解】解设与的交点为四边形为矩形为直角三角形又由作图知为的垂直平分线在中．故选D．【点睛】本题主要考查矩形的性质锐角三角函数垂直平分线勾股定理掌握定理以及性质是解题的关键．12．（2022·甘肃兰州）如图菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点OE为AD的中点连接OE则（

）A．4 B． C．2 D．【答案】C【解析】根据菱形的性质得出再由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出．利用菱形性质直角三角形边长公式求出进而求出．【详解】是菱形E为AD的中点．是直角三角形．．即．故选C．【点睛】本题主要考查菱形直角三角形的性质的理解与应用能力．解题关键是得出并求得．求解本题时应恰当理解并运用菱形对角线互相垂直且平分对角相等直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质．13．（2022·广东广州）如图正方形ABCD的面积为3点E在边CD上且CE=1∠ABE的平分线交AD于点F点MN分别是BEBF的中点则MN的长为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如图连接EF先证明再求解可得再求解可得为等腰直角三角形求解再利用三角形的中位线的性质可得答案．【详解】解如图连接EF∵正方形ABCD的面积为3∵∴∴∴∵平分∴∴∴为等腰直角三角形∵分别为的中点故选D【点睛】本题考查的是正方形的性质锐角三角函数的应用等腰直角三角形的判定与性质角平分线的定义三角形的中位线的性质求解是解本题的关键．14．（2022·海南）如图菱形中点E是边的中点垂直交的延长线于点F若则菱形的边长是（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】B【解析】过C作CM⊥AB延长线于M根据设由菱形的性质表示出BC=4xBM=3x根据勾股定理列方程计算即可．【详解】过C作CM⊥AB延长线于M∵∴设∵点E是边的中点∴∵菱形∴CE∥AB∵⊥CM⊥AB∴四边形EFMC是矩形∴∴BM=3x在Rt△BCM中∴解得或（舍去）∴故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质矩形的判定与性质勾股定理关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．属于拔高题．15．（2022·江苏无锡）如图在ABCD中点E在AD上则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】过点B作BF⊥AD于F由平行四边形性质求得∠A=75°从而求得∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°则△BEF是等腰直角三角形即BF=EF设BF=EF=x则BD=2xDF=DE=DF-EF=（-1）xAF=AD-DF=BD-DF=（2-）x继而求得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+X2=（8-4）x2从而求得再由AB=CD即可求得答案．【详解】解如图过点B作BF⊥AD于F∵ABCD∴CD=ABCDAB∴∠ADC+∠BAD=180°∵∴∠A=75°∵∠ABE=60°∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°∵BF⊥AD∴∠BFD=90°∴∠EBF=∠AEB=45°∴BF=FE∵AD=BD∴∠ABD=∠A=75°∴∠ADB=30°设BF=EF=x则BD=2x由勾股定理得DF=∴DE=DF-EF=（-1）xAF=AD-DF=BD-DF=（2-）x由勾股定理得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+x2=（8-4）x2∴∴∵AB=CD∴故选D．【点睛】本题考查平行四边形的性质等腰三角形的性质勾股定理直角三角形的性质过点B作BF⊥AD于F构建直角三角形与等腰直角三角形是解题的关键．16．（2022·四川宜宾）如图在矩形纸片ABCD中将沿BD折叠到位置DE交AB于点F则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先根据矩形的性质和折叠的性质利用“AAS”证明得出设则根据勾股定理列出关于x的方程解方程得出x的值最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解∵四边形ABCD为矩形∴CD=AB=5AB=BC=3根据折叠可知∴在△AFD和△EFB中∴（AAS）∴设则在中即解得则∴故C正确．故选C．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题三角形全等的判定和性质勾股定理三角函数的定义根据题意证明是解题的关键．17．（2022·湖北随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具如图在正方形纸板ABCD中BD为对角线EF分别为BCCD的中点分别交BDEF于OP两点MN分别为BODC的中点连接APNF沿图中实线剪开即可得到一副七巧板则在剪开之前关于该图形下列说法①图中的三角形都是等腰直角三角形②四边形MPEB是菱形③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．正确的有（

）A．只有① B．①② C．①③ D．②③【答案】C【解析】先根据正方形的性质和中位线定理证明图中所有三角形是等腰直角三角形再证明四边形MPEB是平行四边形但不是菱形最后再证明四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的即可．【详解】解∵四边形ABCD是正方形∴∠ABO＝∠ADB＝∠CBD＝∠BDC＝45°∠BAD＝∠BCD＝90°∴△ABD△BCD是等腰直角三角形∵∴∠APF＝∠APE＝90°∵EF分别为BCCD的中点∴EF是△BCD的中位线CE＝BCCF＝CD∴CE＝CF∵∠C＝90°∴△CEF是等腰直角三角形

∴EFBDEF＝BD∴∠APE＝∠AOB＝90°∠APF＝∠AOD＝90°∴△ABO△ADO是等腰直角三角形∴AO＝BOAO＝DO∴BO＝DO∵MN分别为BODO的中点∴OM＝BM＝BOON＝ND＝DO∴OM＝BM＝ON＝ND∵∠BAO＝∠DAO＝45°∴由正方形是轴对称图形则APC三点共线PE＝PF＝EF＝ON＝BM＝OM连接PC如图∴NF是△CDO的中位线∴NFACNF＝OC＝OD＝ON＝ND∴∠ONF＝180°－∠COD＝90°∴∠NOP＝∠OPF＝∠ONF＝90°∴四边形FNOP是矩形∴四边形FNOP是正方形∴NF＝ON＝ND∴△DNF是等腰直角三角形∴图中的三角形都是等腰直角三角形故①正确∵PEBMPE＝BM∴四边形MPEB是平行四边形∵BE＝BCBM＝OB在Rt△OBC中BC＞OB∴BE≠BM∴四边形MPEB不是菱形故②错误∵PC＝PO＝PF＝OM∠MOP＝∠CPF＝90°∴△MOP≌△CPF（SAS）∴故③正确故选C【点睛】此题考查了七巧板正方形的判定和性质平行四边形的判定和性质三角形的中位线定理三角形全等的判定和性质等腰直角三角形的判定和性质等知识正确的识别图形是解题的关键．18．（2021·四川绵阳）如图在边长为3的正方形中则的长是（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】由正方形的性质得出由证得即可得出答案．【详解】解四边形是正方形∵在中设则根据勾股定理得即解得（负值舍去）．故选．【点睛】本题考查了正方形的性质全等三角形的判定与性质勾股定理含角的直角三角形的性质等知识证明是解题的关键．19．（2021·辽宁朝阳）如图在菱形ABCD中点EF分别在ABCD上且BE＝2AEDF＝2CF点GH分别是AC的三等分点则S四边形EHFG÷S菱形ABCD的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可证EG∥BCEG＝2HF∥ADHF＝2可得四边形EHFG为平行四边形即可求解．【详解】解∵BE＝2AEDF＝2FC∴∵GH分别是AC的三等分点∴∴∴EG∥BC∴同理可得HF∥AD∴故选A．【点睛】本题考查了菱形的性质由题意可证EG∥BCHF∥AD是本题的关键．20．（2020·辽宁锦州）如图在菱形ABCD中P是对角线AC上一动点过点P作PE⊥BC于点EPF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20面积为24则PE＋PF的值为(

)A．4 B． C．6 D．【答案】B【解析】连接BP通过菱形的周长为20求出边长菱形面积为24求出SABC的面积然后利用面积法SABP+SCBP=SABC即可求出的值．【详解】解连接BP如图∵菱形ABCD的周长为20∴AB=BC=20÷4=5又∵菱形ABCD的面积为24∴SABC=24÷2=12又SABC=SABP+SCBP∴SABP+SCBP=12∴∵AB=BC∴∵AB=5∴PE+PF=12×=．故选B．【点睛】本题主要考查菱形的性质解题关键在于添加辅助线通过面积法得出等量关系求出PF+PE的值．21．（2020·广西河池）如图在▱ABCD中CE平分∠BCD交AB于点EEA＝3EB＝5ED＝4．则CE的长是（）A．5 B．6 C．4 D．5【答案】C【解析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD＝BC＝EB＝5根据勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°再根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝8∠EDC＝90°根据勾股定理可求CE的长．【详解】解∵CE平分∠BCD∴∠BCE＝∠DCE∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CDAD＝BCAB∥CD∴∠BEC＝∠DCE∴∠BEC＝∠BCE∴BC＝BE＝5∴AD＝5∵EA＝3ED＝4在△AED中32+42＝52即EA2+ED2＝AD2∴∠AED＝90°∴CD＝AB＝3+5＝8∠EDC＝90°在Rt△EDC中CE＝＝＝4．故选C．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的性质勾股定理的逆定理勾股定理关键是掌握平行四边形对边平行且相等．22．（2020·江苏南通）如图①E为矩形ABCD的边AD上一点点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止点Q从点B出发沿BC运动到点C停止它们的运动速度都是1cm/s．现PQ两点同时出发设运动时间为x（s）△BPQ的面积为y（cm2）若y与x的对应关系如图②所示则矩形ABCD的面积是（）A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2【答案】C【解析】过点E作EH⊥BC由三角形面积公式求出EH=AB=6由图2可知当x=14时点P与点D重合则AD=12可得出答案．【详解】解从函数的图象和运动的过程可以得出当点P运动到点E时x＝10y＝30过点E作EH⊥BC由三角形面积公式得y＝解得EH＝AB＝6∴BH=AE=8由图2可知当x＝14时点P与点D重合∴ED=4∴BC=AD＝12∴矩形的面积为12×6＝72．故选C．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象三角形的面积等知识熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键．23．（2020·山东威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块正好制成一副七巧板（如图②）已知则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图设OF＝EF＝FG＝x可得EH＝2x＝20解方程即可解决问题．【详解】解如图设OF＝EF＝FG＝x∴OE＝OH＝2x在Rt△EOH中EH＝2x由题意EH＝20cm∴20＝2x∴x＝5∴阴影部分的面积＝（5）2＝50（cm2）故选C．【点睛】本题考查正方形的性质勾股定理等腰三角形的性质等知识解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题属于中考常考题型．24．（2020·湖南益阳）如图在矩形中是上的一点是等边三角形交于点则下列结论不成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据等边三角形和矩形角度的特点即可得出A说法正确假设∠BAC=45°可得到AB=BC又AB=BE所以BE=BC不成立所以B说法错误设EC的长为xBE=2EC=2xBC=证得△ECF∽△BAF根据相似三角形的性质可得C说法正确AD=BC=AB=BE=2x可得D说法正确．【详解】解在矩形ABCD中是等边三角形∴∠DAB=90°∠EAB=60°∴∠DAE=90°-60°=30°故A说法正确若∠BAC=45°则AB=BC又∵AB=BE∴BE=BC在△BEC中BE为斜边BE＞BC故B说法错误设EC的长为x易得∠ECB=30°∴BE=2EC=2xBC=AB=BE=2x∵DC∥AB∴∠ECA=∠CAB又∵∠EFC=∠BFA∴△ECF∽△BAF∴故C说法正确AD=BC=∴故D说法正确．故选B【点睛】本题考查了矩形和等边三角形的性质相似三角形的性质和判定熟练掌握矩形和等边三角形的性质是解题的关键．25．（2020·云南）如图平行四边形的对角线相交于点是的中点则与的面积的比等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先证明OE//BC再根据△DEO∽△DCB求解即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形∴BO=DO∵是的中点∴OE是△DCB的中位线∴OE//BCOE=BC∴△DEO∽△DCB∴△DEO△DCB=．故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．26．（2020·贵州毕节）如图在矩形中对角线相交于点点分别是的中点连接若则的长是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由勾股定理求出BD的长根据矩形的性质求出OD的长最后根据三角形中位线定理得出EF的长即可．【详解】∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=90°AC=BDOA=OC=OD=OB∵∴AC=∴BD=10cm∴∵点分别是的中点∴．故选D．【点睛】本题考查矩形的性质三角形的中位线定理等知识解题的关键是熟练掌握基本知识．27．（2020·广东广州）如图矩形的对角线交于点过点作交于点过点作垂足为则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据勾股定理求出AC=BD=10由矩形的性质得出AO=5证明得到OE的长再证明可得到EF的长从而可得到结论．【详解】∵四边形ABCD是矩形又同理可证故选C．【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质熟练掌握判定与性质是解答此题的关键．二填空题28．（2022·广东广州）如图在□ABCD中AD=10对角线AC与BD相交于点OAC+BD=22则△BOC的周长为________【答案】21【解析】根据平行四边形对角线互相平分求出OC+OB的长即可解决问题．【详解】解∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=OC=ACBO=OD=BDBC=AD=10∵AC+BD=22∴OC+BO=11∵BC=10∴△BOC的周长=OC+OB+BC=16+10=21．故答案为21．【点睛】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分属于中考基础题．29．（2022·青海）如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O过点O的直线分别交AD和BC于点EFAB＝3BC＝4则图中阴影部分的面积为_____．【答案】6．【解析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF得△AOE△COF的面积相等从而将阴影部分的面积转化为△BCD的面积．【详解】∵四边形ABCD是矩形∴OA＝OC∠AEO＝∠CFO又∵∠AOE＝∠COF在△AOE和△COF中∵∴△AOE≌△COF（ASA）∴S△AOE＝S△COF∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD∵S△BCD＝BC•CD＝6∴S阴影＝6．故答案为6．【点睛】本题主要考查矩形的性质三角形全等的判定和性质定理掌握三角形的判定和性质定理是解题的关键．30．（2021·贵州黔东南）如图BD是菱形ABCD的一条对角线点E在BC的延长线上若则的度数为_________度．【答案】64【解析】根据菱形的性质可以求得和再应用三角形外角的性质即可求解．【详解】解∵BD是菱形ABCD的一条对角线∴∴∴．故答案为64．【点睛】本题考查菱形的性质和三角形外角的性质熟练掌握以上知识点是解题关键．31．（2021·湖南益阳）如图已知四边形是平行四边形从①②③中选择一个作为条件补充后使四边形成为菱形则其选择是___（限填序号）．【答案】①【解析】根据菱形的判定矩形的判定平行四边形的性质即可得．【详解】解①时平行四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）②时平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）③由平行四边形的性质可知则不能作为构成菱形的条件故答案为①．【点睛】本题考查了菱形的判定矩形的判定平行四边形的性质熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．32．（2020·辽宁营口）如图在菱形ABCD中对角线ACBD交于点O其中OA＝1OB＝2则菱形ABCD的面积为_____．【答案】4【解析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．【详解】解∵OA＝1OB＝2∴AC＝2BD＝4∴菱形ABCD的面积为×2×4＝4．故答案为4．【点睛】本题考查菱形的性质关键在于熟练掌握基础知识.33．（2020·江苏镇江）如图点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点∠1＝∠2则∠BPC的度数为_____°．【答案】135【解析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP由三角形内角和定理可求解．【详解】解∵四边形ABCD是正方形∴∠ACB＝∠BAC＝45°∴∠2+∠BCP＝45°∵∠1＝∠2∴∠1+∠BCP＝45°∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP∴∠BPC＝135°故答案为135．【点睛】本题考查了正方形的性质三角形内角和定理掌握正方形的性质是本题的关键．34．（2020·青海）如图在矩形中对角线相交于点已知则的长为________cm．【答案】6cm【解析】根据矩形的性质可得对角线相等且平分由可得根据所对直角边是斜边的一半即可得到结果．【详解】∵四边形ABCD是矩形∴∵∴又∵∴∴在Rt△ABC中．故答案为6cm．【点睛】本题主要考查了矩形的性质应用准确利用直角三角形的性质是解题的关键．35．（2020·广东）如图在菱形中取大于的长为半径分别以点为圆心作弧相交于两点过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示）连接则的度数为_________．【答案】45°【解析】根据题意知虚线为线段AB的垂直平分线得AE=BE得结合°可计算的度数．【详解】∵∴∴故答案为45°．【点睛】本题考查了菱形的性质及垂直平分线的性质熟知以上知识点是解题的关键．36．（2020·四川凉山）如图的对角线ACBD相交于点O交AD于点E若OA=1的周长等于5则的周长等于__________．【答案】16【解析】根据已知可得E为AD的中点OE是△ABD的中位线据此可求得AB根据OA=1的周长等于5可求得具体的结果．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形ACBD是对角线∴O为BD和AC的中点又∵∴E为AD的中点又∵OA=1的周长等于5∴AE+OE=4∴∴的周长=．故答案为16．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质结合三角形中位线定理判定是解题的关键．37．（2021·辽宁鞍山）如图矩形ABCD中对角线ACBD交于点O垂足为点H若则AD的长为_______________．【答案】【解析】由矩形的性质得求出利用30°角的直角三角形的性质求出CH的长度再利用勾股定理求出DH的长度根据求出然后由含角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解四边形ABCD是矩形∴在中故答案为．【点睛】本题考查的是矩形的性质以及直角三角形30°的性质熟练掌握直角三角形30°的性质是解决本题的关键．38．（2021·山东东营）如图正方形纸片ABCD的边长为12点F是AD上一点将沿CF折叠点D落在点G处连接DG并延长交AB于点E．若则GE的长为________．【答案】【解析】因为折叠则有从而可知利用线段比求出DG的长即可求出EG．【详解】如图四边形ABCD是正方形因为折叠设垂足为HDE=故答案为．【点睛】本题考查了正方形的性质轴对称的性质三角形相似的判定与性质勾股定理找到是解题的关键．39．（2021·湖南株洲）如图所示线段为等腰的底边矩形的对角线与交于点若则__________．【答案】4【解析】先求出矩形的对角线的长得到AB的取值再利用等腰三角形的概念直接得到AC的值．【详解】解∵矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O∴AB=DEOE=OD∴AB=DE=2OD=4∵线段BC为等腰△ABC的底边∴AC=AB=4故答案为4．【点睛】本题考查了矩形的性质和对等腰三角形概念的理解解决本题的关键是理解相关概念与性质能灵活运用题干信息将它们用数学符号进行表示本题较基础考查了学生的几何语言表述的能力以及基本功．40．（2021·湖南邵阳）如图在矩形中垂足为点．若则的长为______．【答案】3【解析】在中由正弦定义解得再由勾股定理解得DE的长根据同角的余角相等得到最后根据正弦定义解得CD的长即可解题．【详解】解在中在矩形中故答案为3．【点睛】本题考查矩形的性质正弦勾股定理等知识是重要考点难度较易掌握相关知识是解题关键．41．（2021·江苏连云港）如图菱形的对角线相交于点O垂足为E则的长为______．【答案】【解析】直接利用菱形的性质得出AODO的长再利用勾股定理得出菱形的边长进而利用等面积法得出答案．【详解】解∵菱形ABCD的对角线ACBD相交于点O且AC=8DB=6∴AO=4DO=3∠AOD=90°∴AD=5在中由等面积法得∴故答案为．【点睛】本题考查了菱形的性质勾股定理直角三角形斜边上的高的求法（等面积法）熟记性质与定理是解题关键．42．（2022·吉林）如图在矩形中对角线相交于点点是边的中点点在对角线上且连接．若则__________．【答案】##2.5【解析】由矩形的性质可得点F是OA的中点从而EF是△AOD的中位线则由三角形中位线定理即可求得EF的长．【详解】∵四边形ABCD是矩形∴BD=AC=10OA=ACOD=BD=5∵∴即点F是OA的中点．∵点是边的中点∴EF是△AOD的中位线∴．故答案为．【点睛】本题考查了矩形的性质三角形中位线定理等知识掌握中位线定理是本题的关键．43．（2022·广西贺州）如图在矩形ABCD中EF分别是ADAB的中点的平分线交AB于点G点P是线段DG上的一个动点则的周长最小值为__________．【答案】##【解析】在CD上取点H使DH=DE连接EHPH过点F作FK⊥CD于点K可得DG垂直平分EH从而得到当点FPH三点共线时的周长最小最小值为FH+EF再分别求出EF和FH即可求解．【详解】解如图在CD上取点H使DH=DE连接EHPH过点F作FK⊥CD于点K在矩形ABCD中∠A=∠ADC=90°AD=BC=6CD=AB=8∴△DEH为等腰直角三角形∵DG平分∠ADC∴DG垂直平分EH∴PE=PH∴的周长等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF∴当点FPH三点共线时的周长最小最小值为FH+EF∵EF分别是ADAB的中点∴AE=DE=DH=3AF=4∴EF=5∵FK⊥CD∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°∴四边形ADKF为矩形∴DK=AF=4FK=AD=6∴HK=1∴∴FH+EF=即的周长最小为．故答案为【点睛】本题主要考查了最短距离问题矩形的判定和性质勾股定理等知识明确题意准确得到当点FPH三点共线时的周长最小最小值为FH+EF是解题的关键．44．（2022·辽宁辽宁）如图CD是△ABC的角平分线过点D分别作ACBC的平行线交BC于点E交AC于点F．若∠ACB＝60°CD＝4则四边形CEDF的周长是_______．【答案】16【解析】连接EF交CD于O先证明四边形CFDE为菱形从而求出CO的长度然后根据余弦定义求出CE即可得出答案．【详解】解连接EF交CD于O如图∵DEACDFBC∴四边形CEDF是平行四边形∵CD是△ABC的角平分线∴∠FCD＝∠ECD∵DEAC∴∠FCD＝∠CDE∴∠ECD＝∠CDE∴CE＝DE∴四边形CEDF是菱形∴CD⊥EF∠ECD＝∠ACB＝30°OC＝CD＝在Rt△COE中CE＝＝＝4∴四边形CEDF的周长是4CE＝4×4＝16故答案为16．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质余弦的定义等知识解题的关键是判断出四边形CEDF为菱形．45．（2022·广西河池）如图把边长为12的矩形ABCD沿长边BCAD的中点EF对折得到四边形ABEF点GH分别在BEEF上且BG＝EH＝BE＝2AG与BH交于点ON为AF的中点连接ON作OM⊥ON交AB于点M连接MN则tan∠AMN＝_____．【答案】##0.625【解析】先判断出四边形ABEF是正方形进而判断出△ABG≌△BEH得出∠BAG=∠EBH进而求出∠AOB=90°再判断出△AOB~△ABG求出再判断出△OBM～△OAN求出BM=1即可求出答案．【详解】解∵点EF分别是BCAD的中点∴∵四边形ABCD是矩形∴∠A=90°AD∥BCAD=BC∴∴四边形ABEF是矩形由题意知AD=2AB∴AF=AB∴矩形ABEF是正方形∴AB=BE∠ABE=∠BEF=90°∵BG=EH∴△ABG≌△BEH（SAS）∴∠BAG=∠EBH∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°∴∠AOB=90°∵BG＝EH＝BE＝2∴BE=5∴AF=5∴∵∠OAB=∠BAG∠AOB=∠ABG∴△AOB∽△ABG∴即∴∵OM⊥ON∴∠MON=90°=∠AOB∴∠BOM=∠AON∵∠BAG+∠FAG=90°∠ABO+∠EBH=90°∠BAG=∠EBH∴∠OBM=∠OAN∴△OBM～△OAN∴∵点N是AF的中点∴∴解得BM=1∴AM=AB-BM=4∴．故答案为【点睛】此题主要考查了矩形性质正方形性质和判定全等三角形的判定和性质相似三角形的判定和性质勾股定理求出BM是解本题的关键．46．（2022·黑龙江哈尔滨）如图菱形的对角线相交于点O点E在上连接点F为的中点连接若则线段的长为___________．【答案】【解析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长再根据中位线性质求出OF的长．【详解】已知菱形ABCD对角线互相垂直平分∴AC⊥BD在Rt△AOE中∵OE=3OA=4∴根据勾股定理得∵AE=BE∴在Rt△AOB中即菱形的边长为∵点F为的中点点O为DB中点∴．故答案为【点睛】本题考查了菱形的性质勾股定理中位线的判定与性质熟练掌握菱形性质并能结合勾股定理中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键．47．（2022·江苏无锡）如图正方形ABCD的边长为8点E是CD的中点HG垂直平分AE且分别交AEBC于点HG则BG＝________．【答案】1【解析】连接AGEG根据线段垂直平分线性质可得AG=EG由点E是CD的中点得CE=4设BG=x则CG=8-x由勾股定理可得出（8-x）2+42=82+x2求解即可．【详解】解连接AGEG如图∵HG垂直平分AE∴AG=EG∵正方形ABCD的边长为8∴∠B=∠C=90°AB=BC=CD=8∵点E是CD的中点∴CE=4设BG=x则CG=8-x由勾股定理得EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42AG2=AB2+BG2=82+x2∴（8-x）2+42=82+x2解得x=1故答案为1．【点睛】本题考查正方形的性质线段垂直平分线的性质勾股定理熟练掌握正方形的性质线段垂直平分线的性质勾股定理及其运用是解题的关键．48．（2021·四川内江）如图矩形点在轴正半轴上点在轴正半轴上．当点在轴上运动时点也随之在轴上运动在这个运动过程中点到原点的最大距离为__．【答案】##【解析】取的中点连接由勾股定理可求的长由直角三角形的性质可求的长由三角形的三边可求解．【详解】如图取的中点连接矩形点是的中点点是的中点在中当点在上时的最大值为故答案为．【点睛】本题考查了矩形的性质直角三角形的性质三角形的三边形关系勾股定理等知识添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键．49．（2021·辽宁锦州）如图在矩形ABCD中AB＝6BC＝10以点B为圆心BC的长为半径画弧交AD于点E再分别以点CE为圆心大于CE的长为半径画弧两弧交于点F作射线BF交CD于点G则CG的长为__________________．【答案】【解析】根据作图过程可得BF是∠EBC的平分线然后证明△EBG≌△CBG再利用勾股定理即可求出CG的长．【详解】解如图连接EG根据作图过程可知BF是∠EBC的平分线∴∠EBG＝∠CBG在△EBG和△CBG中∴△EBG≌△CBG（SAS）∴GE＝GC∠BEG=∠C=90°在Rt△ABE中AB＝6BE＝BC＝10∴AE＝＝8∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2在Rt△DGE中DE＝2DG＝DC﹣CG＝6﹣CGEG＝CG∴EG2﹣DE2＝DG2∴CG2﹣22＝（6﹣CG）2解得CG＝．故答案为．【点睛】本题考查了矩形的性质作图-基本作图解决本题的关键是掌握矩形的性质．50．（2021·黑龙江哈尔滨）如图矩形的对角线相交于点过点作垂足为点过点作垂足为点．若则的长为_____．【答案】【解析】根据矩形的性质得AO=CO=BO=DO=6再证明从而得是等边三角形进而即可求解．【详解】解∵在矩形中∴AO=CO=BO=DO=6∵∴BC=2BE∵∴BE=AF∵∠OBE+∠ABF=∠ABF+∠BAF=90°∴∠OBE=∠BAF∵又∵∠AFB=∠BEO=90°∴∴AB=BO∴AB=BO=AO∴是等边三角形∴∠ABO=60°∴∠OBE=30°∴OE=3故答案是．【点睛】本题主要考查矩形的性质勾股定理等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质掌握矩形的对角线相等且平分是解题的关键．51．（2020·山东济南）如图在矩形纸片ABCD中AD＝10AB＝8将AB沿AE翻折使点B落在处AE为折痕再将EC沿EF翻折使点C恰好落在线段EB'上的点处EF为折痕连接．若CF＝3则tan＝_____．【答案】【解析】连接AF设CE＝x用x表示AEEF再证明∠AEF＝90°由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x再进一步求出B′C′便可求得结果．【详解】解连接AF设CE＝x则C′E＝CE＝xBE＝B′E＝10﹣x∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝8AD＝BC＝10∠B＝∠C＝∠D＝90°∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9由折叠知∠AEB＝∠AEB′∠CEF＝∠C′EF∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125∴2x2﹣20x+173＝125解得x＝4或6当x＝6时EC＝EC′＝6BE＝B′E＝8﹣6＝2EC′＞B′E不合题意应舍去∴CE＝C′E＝4∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2∵∠B′＝∠B＝90°AB′＝AB＝8∴tan∠B'AC′＝=．故答案为．【点睛】本题考查了矩形的性质折叠的性质锐角三角函数勾股定理掌握折叠的性质是解题关键．52．（2020·辽宁大连）如图矩形中点E在边上与相交于点F．设当时y关于x的函数解析式为_____．【答案】【解析】利用矩形的性质可求得BAD为直角三角形即可利用勾股定理得到BD的长求证FEDFCB运用相似三角形的性质建立等式即可求解．【详解】∵四边形是矩形∴∠BAD=BC=AD=8AB=CD=6∴在ABD中BD=∴FD=BD−BF=10−y又∵ADBC∴FEDFBC∴∴∴故答案为【点睛】本题主要考查了矩形的性质勾股定理相似三角形的判定与性质利用相似三角形的性质建立等式是解题的关键．53．（2020·四川凉山）如图矩形ABCD中AD=12AB=8E是AB上一点且EB=3F是BC上一动点若将沿EF对折后点B落在点P处则点P到点D的最短距为．【答案】【解析】如图连接利用三角形三边之间的关系得到最短时的位置如图利用勾股定理计算从而可得答案．【详解】解如图连接则＞为定值当落在上时最短图如图连接由勾股定理得即的最小值为故答案为图【点睛】本题考查的是矩形的性质考查利用轴对称求线段的最小值问题同时考查了勾股定理的应用掌握以上知识是解题的关键．54．（2020·广东广州）如图正方形中绕点逆时针旋转到分别交对角线于点若则的值为_______．【答案】16【解析】根据正方形及旋转的性质可以证明利用相似的性质即可得出答案．【详解】解在正方形中∵绕点逆时针旋转到∴∴∵∴∴∴．故答案为16．【点睛】本题考查了正方形的性质旋转的性质相似三角形的判定及性质掌握正方形的性质旋转的性质相似三角形的判定及性质是解题的关键．三解答题55．（2022·湖南）如图菱形的对角线相交于点点是的中点连接过点作交的延长线于点连接．(1)求证(2)试判断四边形的形状并写出证明过程．【答案】(1)见解析(2)矩形见解析【解析】（1）由题意得根据平行线的性质得用ASA即可证明（2）根据全等三角形的性质得即可得四边形为平行四边形根据菱形的性质得即即可得．(1)证明点是的中点又在和中(2)四边形为矩形证明如下证明又四边形为平行四边形又四边形为菱形即四边形为矩形．【点睛】本题考查了菱形的性质矩形的判定全等三角形的判定与性质解决本题的关键是掌握菱形的性质．56．（2022·湖北恩施）如图已知四边形ABCD是正方形G为线段AD上任意一点于点E于点F．求证．【答案】证明见解析【解析】先根据正方形的性质可得从而可得再根据垂直的定义可得从而可得然后根据三角形全等的判定定理证出根据全等三角形的性质可得最后根据线段的和差等量代换即可得证．【详解】证明四边形是正方形在和中．【点睛】本题考查了正方形的性质三角形全等的判定与性质等知识点正确找出两个全等三角形是解题关键．57．（2022·黑龙江哈尔滨）如图方格纸中每个小正方形的边长均为1的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．(1)在方格纸中面出使与关于直线对称（点D在小正方形的顶点上）(2)在方格纸中画出以线段为一边的平行四边形（点G点H均在小正方形的顶点上）且平行四边形的面积为4．连接请直接写出线段的长．【答案】(1)见解析(2)图见解析【解析】（1）根据轴对称的性质可得△ADC（2）利用平行四边形的性质即可画出图形利用勾股定理可得DH的长．(1)如图(2)如图【点睛】本题考查了作图轴对称变换平行四边形的性质勾股定理等知识准确画出图形是解题的关键．58．（2022·山东青岛）如图在四边形ABCD中AB∥CD点EF在对角线BD上BE=EF=FD∠BAF=∠DCE=90°．(1)求证△ABF≌△CDE(2)连接AECF已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知填写序号）请判断四边形AECF的形状并证明你的结论．条件①∠ABD=30°条件2AB=BC．（注如果选择条件①条件②分别进行解答按第一个解答计分）【答案】(1)证明见解析(2)见解析【解析】（1）利用AAS即可证明△ABF≌△CDE（2）若选择条件①先证明四边形AECF是平行四边形利用直角三角形斜边上的中线性质以及含30度角的直角三角形的性质证得AE=AF即可证明平行四边形AECF是菱形．若选择条件②先证明四边形AECF是平行四边形得到AO=CO再根据等腰三角形的性质即可证明平行四边形AECF是菱形．(1)证明∵BE=FD∴BE+EF=FD+EF即BF=DE∵AB∥CD∴∠ABF=∠CDE又∵∠BAF=∠DCE=90°∴△ABF≌△CDE(AAS)(2)解若选择条件①四边形AECF是菱形由（1）得△ABF≌△CDE∴AF=CE∠AFB=∠CED∴AF∥CE∴四边形AECF是平行四边形∵∠BAF=90°BE=EF∴AE=BF∵∠BAF=90°∠ABD=30°∴AF=BF∴AE=AF∴平行四边形AECF是菱形．若选择条件②四边形AECF是菱形连接AC交BD于点O由（1）得△ABF≌△CDE∴AF=CE∠AFB=∠CED∴AF∥CE∴四边形AECF是平行四边形∴AO=CO∵AB=BC∴BO⊥AC即EF⊥AC∴平行四边形AECF是菱形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质等腰三角形的性质直角三角形的性质菱形的判定平行四边形的判定和性质解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．59．（2021·江苏徐州）如图将一张长方形纸片沿折叠使两点重合．点落在点处．已知．（1）求证是等腰三角形（2）求线段的长．【答案】（1）见解析（2）3【解析】（1）根据矩形的性质可得则因为折叠即可得证（2）设用含的代数式表示由折叠再用勾股定理求解即可【详解】（1）四边形是矩形因为折叠则是等腰三角形（2）四边形是矩形设则因为折叠则在中即解得【点睛】本题考查了矩形的性质等腰三角形的判定定理图像的折叠勾股定理熟悉以上知识点是解题的关键．60．（2021·贵州安顺）如图在矩形中点在上且垂足为．（1）求证（2）若求四边形的面积．【答案】（1）见详解（2）4-8【解析】（1）由矩形的性质可得∠D=90°AB∥CD从而得∠D=∠ANB∠BAN=∠AMD进而即可得到结论（2）由以及勾股定理得AN=DM=4AB=进而即可求解．【详解】（1）证明∵在矩形中∴∠D=90°AB∥CD∴∠BAN=∠AMD∵∴∠ANB=90°即∠D=∠ANB又∵∴（AAS）（2）∵∴AN=DM=4∵∴∴AB=∴矩形的面积=×2=4又∵∴四边形的面积=4-4-4=4-8．【点睛】本题主要考查矩形的性质勾股定理全等三角形的判定和性质熟练掌握AAS证明三角形全等是解题的关键．61．（2020·广西）如图在菱形ABCD中点EF分别是边ADAB的中点．（1）求证（2）若BE＝∠C＝60°求菱形ABCD的面积．【答案】（1）详见解析（2）2．【解析】（1）利用菱形的性质由SAS证明即可（2）证是等边三角形得出BE⊥AD求出AD即可．【详解】（1）证明∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD∵点EF分别是边ADAB的中点∴AF＝AE在和中∴（SAS）（2）解连接BD如图∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD∠A＝∠C＝60°∴是等边三角形∵点E是边AD的中点∴BE⊥AD∴∠ABE＝30°∴AE＝BE＝1AB＝2AE＝2∴AD＝AB＝2∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×＝2．【点睛】本题考查的是菱形的性质等边三角形的判定与性质菱形的面积的计算掌握以上知识是解题的关键．62．（2020·湖南娄底）如图中分别在边上的点E与点F关于对称连接．（1）试判定四边形的形状并说明理由（2）求证【答案】（1）四边形为菱形理由详见解析（2）详见解析【解析】（1）根据题意可证明再由可得到四边形是菱形（2）根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解．【详解】解（1）四边形为菱形理由如下由可得从而设与相交于点O∵点E与点F关于对称∴且在和中∴∴又∴四边形为菱形（2）∵据（1）C∴又∵∴∴．【点睛】此题主要考查菱形的判定与性质解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质菱形的判定定理及直角三角形的性质．63（2022·湖南永州）如图是平行四边形的对角线平分交于点．(1)请用尺规作的角平分线交于点（要求保留作图痕迹不写作法在确认答案后请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次）(2)根据图形猜想四边形为平行四边形请将下面的证明过程补充完整．证明∵四边形是平行四边形∴∵______（两直线平行内错角相等）又∵平分平分∴∴∴______（______）（填推理的依据）又∵四边形是平行四边形∴∴四边形为平行四边形（______）（填推理的依据）．【答案】(1)详见解析(2)∠DBCBF内错角相等两直线平行两组对边分别平行的四边形是平行四边形【解析】（1）根据作角平分线的步骤作平分即可（2）结合图形和已有步骤合理填写即可(1)解如图根据角平分线的作图步骤得到DE即为所求(2)证明∵四边形是平行四边形∴∵．（两直线平行内错角相等）.又∵平分平分∴∴．∴（内错角相等两直线平行）（填推理的依据）又∵四边形是平行四边形．∴∴四边形为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质角平分线的性质掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．64．（2022·贵州贵阳）如图在正方形中为上一点连接的垂直平分线交于点交于点垂足为点在上且．(1)求证(2)若求的长．【答案】(1)见详解(2)【解析】（1）先证明四边形ADFM是矩形得到AD=MF∠AMF=90°=∠MFD再利用MN⊥BE证得∠MBO=∠OMF结合∠A=90°=∠NFM即可证明（2）利用勾股定理求得BE=10=MN根据垂直平分线的性质可得BO=OE=5BM=ME即有AM=AB-BM=8-ME在Rt△AME中可得解得即有再在Rt△BMO中利用勾股定理即可求出MO则NO可求．(1)在正方形ABCD中有AD=DC=CB=AB∠A=∠D=∠C=90°∵∠A=∠D=90°∴四边形ADFM是矩形∴AD=MF∠AMF=90°=∠MFD∴∠BMF=90°=∠NFM即∠BMO+∠OMF=90°AB=AD=MF∵MN是BE的垂直平分线∴MN⊥BE∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO∴∠MBO=∠OMF∵∴△ABE≌△FMN(2)连接ME如图∵AB=8AE=6∴在Rt△ABE中∴根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10∵MN是BE的垂直平分线∴BO=OE==5BM=ME∴AM=AB-BM=8-ME∴在Rt△AME中∴解得∴∴在Rt△BMO中∴∴ON=MN-MO=．即NO的长为．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质正方形的性质垂直平分线的性质勾股定理全等三角形的判定与性质等知识掌握勾股定理是解答本题的关键．65．（2022·湖南永州）为提高耕地灌溉效率小明的爸妈准备在耕地BC四个位置安装四个自动喷酒装置（如图1所示）ABC四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）．方案一如图2所示沿正方形的三边铺设水管方案二如图3所示沿正方形的两条对角线铺设水管．(1)请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短(2)小明看了爸妈的方案后根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示）满足请将小明的方案与爸妈的方案比较判断谁的方案中铺设水管的总长度更短并说明理由．（参考数据）【答案】(1)方案二(2)小明理由见解析【解析】（1）根据方案铺设管道路线求解即可（2）证求出小明铺设方案的水管的总长度进行比较即可得结果(1)解方案一（米）方案二（米）所以方案二总长度更短．(2)如图作垂足分别为和．∵∴∴∵∴（米）总长度（米）∵∴所以小明的方案总长度最短．【点睛】本题主要考查正方形的性质三角形的全等证明根据题意灵活应用知识点进行求解是解题的关键．66．（2022·内蒙古呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题如图四边形是正方形点是边的中点且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示取的中点连接．）(1)请你思考题中“提示”这样添加辅助线的意图是得到条件(2)如图1若点是边上任意一点（不与重合）其他条件不变．求证(3)在（2）的条件下连接过点作垂足为．设当为何值时四边形是平行四边形并给予证明．【答案】(1)AG=CE(2)过程见解析(3)证明过程见解析【解析】对于（1）根据点E是BC的中点可得答案对于（2）取AG=EC连接EG说明△BGE是等腰直角三角形再证明△GAE≌△CEF可得答案对于（3）设BC=x则BE=kx则再利用等腰直角三角形的性质表示EP的长利用平行四边形的判定得只要EP=FC即可解决问题．(1)解∵E是BC的中点∴BE=CE．∵点G是AB的中点∴BG=AG∴AG=CE．故答案为AG=CE(2)取AG=EC连接EG．∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC∠B=90°．∵AG=CE∴BG=BE∴△BGE是等腰直角三角形∴∠BGE=∠BEG=45°∴∠AGE=135°．∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD=90°．∵CF是正方形ABCD外角的平分线∴∠DCF=45°∴∠ECF=90°+45°=135°．∵AE⊥EF∴∠AEB+∠FEC=90°．∵∠BAE+∠AEB=90°∴∠BAE=∠CEF∴△GAE≌△CEF∴AE=EF(3)当时四边形PECF是平行四边形．如图．由（2）得△GAE≌△CEF∴CF=EG．设BC=x则BE=kx∴．∵EP⊥AC∴△PEC是等腰直角三角形∴∠PEC=45°∴∠PEC+∠ECF=180°．∴当PE=CF时四边形PECF是平行四边形∴解得．【点睛】这是一道关于四边形的综合问题主要考查了正方形的性质全等三角形的性质和判定平行四边形的判定等知识．67．（2022·四川成都）如图在矩形中点是边上一动点（点不与重合）连接以为边在直线的右侧作矩形使得矩形矩形交直线于点．(1)【尝试初探】在点的运动过程中与始终保持相似关系请说明理由．(2)【深入探究】若随着点位置的变化点的位置随之发生变化当是线段中点时求的值．(3)【拓展延伸】连接当是以为腰的等腰三角形时求的值（用含的代数式表示）．【答案】(1)见解析(2)或(3)或【解析】（1）根据题意可得∠A=∠D=∠BEG=90°可得∠DEH=∠ABE即可求证（2）根据题意可得AB=2DHAD=2ABAD=4DH设DH=xAE=a则AB=2xAD=4x可得DE=4x-a再根据△ABE∽△DEH可得或即可求解（3）根据题意可得EG=nBE然后分两种情况当FH=BH时当FH=BF=nBE时即可求解．(1)解根据题意得∠A=∠D=∠BEG=90°∴∠AEB+∠DEH=90°∠AEB+∠ABE=90°∴∠DEH=∠ABE∴△ABE∽△DEH(2)解根据题意得AB=2DHAD=2AB∴AD=4DH设DH=xAE=a则AB=2xAD=4x∴DE=4x-a∵△ABE∽△DEH∴∴解得或∴或∴或(3)解∵矩形矩形∴EG=nBE如图当FH=BH时∵∠BEH=∠FGH=90°BE=FG∴Rt△BEH≌Rt△FGH∴EH=GH=∴∵△ABE∽△DEH∴即∴∴如图当FH=BF=nBE时∴∵△ABE∽△DEH∴即∴∴综上所述的值为或．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质矩形的性质等腰三角形的性质勾股定理等知识熟练掌握相似三角形的判定和性质矩形的性质等腰三角形的性质勾股定理等知识是解题的关键．68．（2022·内蒙古赤峰）同学们还记得吗？图①图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发数学兴趣小组提出了以下三个问题请你回答(1)【问题一】如图①正方形的对角线相交于点点又是正方形的一个顶点交于点交于点则与的数量关系为_________(2)【问题二】受图①启发兴趣小组画出了图③直线经过正方形的对称中心直线分别与交于点直线分别与交于点且若正方形边长为8求四边形的面积(3)【问题三】受图②启发兴趣小组画出了图④正方形的顶点在正方形的边上顶点在的延长线上且．在直线上是否存在点使为直角三角形？若存在求出的长度若不存在说明理由．【答案】(1)(2)16(3)或【解析】（1）由正方形的性质可得根据ASA可证由全等三角形的性质可得结论（2）过点O作交AD于点M交BC于点N作交AB于点T交CD于点R证明△进而证明（3）分别求出由勾股定理可得方程求出x的值即可．(1)∵四边形ABCD是正方形∴∠∵是对角线∴∠∴∠∵四边形是正方形∴∠∴∠又∠∴∴∴故答案为:(2)过点O作交AD于点M交BC于点N作交AB于点T交CD于点R如图∵点O是正方形ABCD的中心∴又∠A=90°∴四边形ATOM是正方形∴同（1）可证△∴(3)∵四边形均为正方形∴∠∵CG在CD上∴又CE在BC的延长线上∴设则在中在中延长ADCE交于点Q则四边形是矩形∴∴在中若△为直角三角形则有即整理得解得∴或【点睛】本题主要考查了正方形的性质全等三角形的判定与性质矩形的判定勾股定理等知识正确作出辅助线是解答本题的关键69．（2022·广西玉林）如图在矩形中点E是边上的任一点（不包括端点DC）过点A作交的延长线于点F设．(1)求的长（用含a的代数式表示）(2)连接交于点G连接当时求证四边形是菱形．【答案】(1)(2)见详解【解析】（1）根据矩形的性质可得然后可证进而根据相似三角形的性质可求解（2）如图连接AC由题意易证四边形是平行四边形然后可得进而可证则可证最后问题可求证．(1)解∵四边形是矩形∴∵∴∴∵∴∴∵∴(2)证明由题意可得如图所示连接AC在矩形中∴∵∴四边形是平行四边形∴∴∵∴∵∴∵∴∴∵∴∴∴四边形是菱形．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定矩形的性质及菱形的判定熟练掌握相似三角形的性质与判定矩形的性质及菱形的判定是解题的关键．70．（2022·山东威海）如图:(1)将两张长为8宽为4的矩形纸片如图1叠放．①判断四边形AGCH的形状并说明理由②求四边形AGCH的面积．(2)如图2在矩形ABCD和矩形AFCE中AB＝2BC＝7CF＝求四边形AGCH的面积．【答案】(1)①菱形理由见解析②20(2)【解析】（1）①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可②设AH=CG=x利用勾股定理构建方程即可解决问题（2）两个矩形的对角线相等可得出EC的长设AH=CG=x利用勾股定理以及边长之间的关系可