全等三角形-第2讲联赛班教师版

图形中的角及全等三角形第2讲图形中的角及全等三角形第2讲板块一：图形中的角板块一：图形中的角与三角形相关的角三角形内角和定理：三角形三个内角和等于.三角形的外角：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的.三角形的外角和：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和.三角形的外角和等于.(你能证明这个结论吗？)三角形内角和定理的三个推论:推论1:直角三角形的两个锐角互余.推论2:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论3:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑴如图⑴所示，是的角平分线，是的角平分线，、交于，试探索与之间的关系.⑵(年山东中考题改编)如图⑵所示，是的外角平分线，也是的外角平分线，、交于点，试探索与之间的关系.⑶如图⑶所示，是的角平分线，是的外角平分线，、交于点，试探索与之间的关系.⑷如图⑷所示，在中，、是外角平分线，、是内角平分线，、交于，、交于，试探索与的关系.⑴⑵⑶⑷⑴∵在中，∴∵，∴∵在中，∴，即⑵∵，∴∴∵，∴∵在中，∴，即⑶∵∵，，∴∵∴，即⑷在和中，∵，同理，∴∵，∴如图所示，已知，，，求度数.法1：如图⑴，延长交于，求得法2：如图⑵，连接；法3：如图⑶，连接并延长到点.本题的一个重要结论：如例题所示图形，如图，延长四边形对边，交于，，交于.若，的平分线交于，求证:.延长交于点，；即如图所示，点和分别在的边和的延长线上，、分别平分和，试探索与，的关系.与中，∴同理与中，∴∵，∴，即⑴如右图所示，平分，平分，试探索与和的关系.⑵(人大附中06～07学年下学期期中模拟考试)已知、是的两条高，直线、交于点，且、、、、互不重合，的度数为，请你用表示出的度数.(画出图形，直接写出答案即可)⑴连接，∵在中，∴∵在中，又∵，∴∴在中，∵∴，即：⑵这个题型人大附中常考察.注意分类讨论.⑴；⑵；⑶.如图，在三角形中，，和的三等分线分别交于、，求的度数.设的三分之一为，的三分之一为，因为三角形内角和为，所以有：，即，所以.如图，已知射线，，，在上，且满足，平分.⑴求的度数.⑵若平行移动，那么的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.⑴∵，∴∵，平分∴⑵∵，∴，∵，∴，∴⑶∵∴，∴若，则有，即，⑴如图⑴，于，平分，试探寻与、的关系.⑵如图⑵，若将点在上移动到，于，其他条件不变，那么与、是否还有⑴中关系？说明理由.⑴如图⑴，⑵如图⑵，仍保持⑴中所示关系⑴已知如图⑴所示，在图形中，若，求.⑵(人大附中06～07学年下学期期中考试)如图⑵所示，求的值.⑴⑵⑶⑷⑶(“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题)如图⑶所示，的值等于.⑷(安徽省数学竞赛试题)如图⑷所示，的度数为.⑴⑵连接，在中，⑶(法1)：连接、，设与交于，与交于.由，，而，所以，原式.(法2)：，易得答案.⑷所以【变式】(人大附中06～07学年下学期期中模拟考试)如图所示，，求的值.连接，易得【变式】如右图，求的度数.如图⑴，角度和转化为求图⑵中(少)；如图⑶，角度和转化为图(4)中两个四边形的内角和.多边形及其内角和多边形：在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形的分类：多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……，由条线段组成的多边形叫做边形，其中三角形是最简单的多边形.内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做它的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧.正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.多边形内角和定理：边形内角和等于.多边形外角和定理：边形外角和等于.多边形外角和指的是取多边形每一个顶点处的一个外角相加的和.平面镶嵌问题生活中，我们常常会看到由若干几何图形拼成的大幅图案，例如地面瓷砖的铺设，卫生间或厨房墙面的铺设，公园里砖路的铺设等等，那么你想过它们为什么能密铺成平型的地面或墙面吗?这里蕴含着平面镶嵌的数学问题．平面内，如果用若干个边长相等且有一个公共顶点的正多边形将公共顶点周围既无缝隙，又不重叠的全部覆盖，那么所得的图形叫做这个公共点为顶点的基本镶嵌，通常把这类问题称为用正多边形覆盖平面(或平面镶嵌问题)．现实生活中，形状和图案都是十分丰富的，即并非只用一种单一形状拼成，这就涉及用不同的正多边形密铺地面，究竟该如何组合呢?实际上，只要这些正多边形的若干个角拼在一起能构成，即可满足要求．⑴凸多边形的内角和与某一个外角的度数总和为，求此多边形的边数.⑵如图所示，你能否用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：①新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了；②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等；③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了⑴设这个多边形的边数为，这个外角为度，则，根据题意得：，即，上式左右两边均应是的倍数，所以应为除以之后的余数.，所以，进而得.⑵①要使内角和增加，只需要截多边形后边数增加，如图⑴；②要使内角和不变，只需要截多边形后边数不变，如图⑵；③要使内角和减少只需要直线截多边形后边数减少，如图⑶．一个多边形除了一个内角外，其余内角之和为，求这个多边形的边数.设多边形除去的一个内角为度，则有，且，，，所以，解得.将一个多边形截去一个角，所得多边形的内角和是，则这个多边形的边数为.注意分类求解①截去一个角后边减少了一条，原多边形是边形;②截去一个角后边增加了一条，原多边形是边形;③截去一个角后边数不变，原多边形是边形.一个凸十一边形，由若干个边长为的等边三角形和边长为的正方形无重叠、无间隙地拼成，求这个十一边形各内角的度数.根据题意，这个十一边形的内角度数只能有以下种情况:、、、，设它们的个数分别为、、、.由题意可列方程组消去并整理得:，因为字母取值只能是自然数，所以这一方程组有唯一解:，，由此可得.所以这个十一边形有个内角为，个内角.判断下列条件中可以铺满地面的图形:，并指出一个顶点出各个图形各有几个.①任意三角形;②任意四边形;③正方形和正三角形;④正方形和正八边形;⑤正三角形和正十二边形;⑥正三角形、正方形和正六边形均可以.①六个任意三角形；②四个任意四边形；③两个正方形和三个正三角形；④一个正方形和两个正八边形；⑤一个正三角形和两个正十二边形；⑥一个正三角形、两个正方形和一个正六边形.对于同一种正多边形来说，正几边形可以做到平面镶嵌?要从“密铺”的要求入手．所谓“密铺”，是指无空隙也无重叠，即由若干个角围在一起，应恰好能凑成，这样每个拼接点四周角度均为，就可以达到“密铺”的目的．由于正多边形每个内角均相等，因此若能做到密铺，此多边形的内角度数必应为的约数．因此，我们可以得到：设正多边形的若干个相同图形可以密铺平面，那么应该为的约数，即后为整数．当时，满足条件；当时，满足条件；当时，不满足条件；当时，满足条件．可以试试，当时，均不满足是整数的条件，因此由相同的一种正多边形密铺地面，这种正多边形可以是正三角形，正四边形或正六边形．特别地，由于三角形内角和是，因此三角形三个内角各取两个拼在一起就构成，所以由一种图形密铺地面时，任意一种三角形均可实现，同理任意四边形也可以达到这样的要求．板块二：全等三角形板块二：全等三角形全等三角形的性质全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．全等多边形的对应边、对应角分别相等．如右图，两个全等的五边形，记作：五边形≌五边形这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的判定方法：边边边公理()有三边对应相等的两个三角形全等．边角边公理()有两边和它的夹角对应相等的两个三角形全等．角边角公理()有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．推论()有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．斜边直角边公理()斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．判定三角形全等的基本思路：⑴(2001年绍兴市中考试题)如左下图所示，中，、分别在、上，与交于点，给出下列四个条件：①；②；③；④上述四个条件中，哪两个条件可判定,是等腰三角形(用序号写出所有情形)；⑵如右上图所示，，，，与交于，于，于，那么图中全等的三角形有哪几对？并简单说明理由．⑴①③、①④、②③、②④．⑵7对：≌；≌；≌；≌；≌；≌；≌．理由略．如图所示，，，在上，与相交于．图中有几对全等三角形?请一一找出来，并简述全等的理由．共10对全等三角形．≌；≌；≌；≌；≌；≌；≌；≌；≌；≌.如图，点为线段上一点，、是等边三角形．请你证明：⑴；⑵；⑶平分．此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系.与三角形各内角相等，及平行线所形成的内错角及同位角相等；全等三角形推导出来的对应角相等…推导而得的：；，，，；，；，，；为等边三角形.⑴∵、是等边三角形，∴，，∴，∴⑵由易推得，所以，又，进而可得为等边三角形.易得.⑶过点作于，于，由，利用进而再证，可得，故平分．如图所示：，，、相交于点.求证：平分.利用证得≌，∴，根据已知可得，利用证得≌，∴，利用证得≌，∴，∴平分如图所示：，，，.求证：.分别连接、、，利用证得≌，∴，利用证得≌，∴，∴.可先讲解变式，通过此例体会添加辅助线的基本切入点.如图，、相交于点，且，，求证：．连接，根据易得≌，进而得根据易得≌，进而得.【变式】如图所示：，.求证：.连接，∵，∴，利用证明≌，∴，∴(北京市数学竞赛试题)如图所示，在中，，为内一点，使得，，求的度数.【解析】在中，由可得，.如图所示，作于点，延长交于点，连接，则有，，，所以.又因为，所以.而，因此，故.由于，则，故，体会“补图思想”！(天津数学竞赛)如图，是等腰直角三角形，，点，分别是边和的中点，点在射线上，且，点在射线上，且，求证：.连接，过向作垂线.易证得，可得，，等量代换可得，进而可得，推得，所以，故，再证，进而可得，即，即初中几何常见辅助线作法歌诀：

人说几何很困难，难点就在辅助线.

辅助线，如何添？把握定理和概念.

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验.

(三角形部分)

图中有角平分线，可向两边作垂线.

也可将图对折看，对称以后关系现.

角平分线平行线，等腰三角形来添.

角平分线加垂线，三线合一试试看.

线段垂直平分线，常向两端把线连.

要证线段倍与半，延长缩短可试验.

三角形中两中点，连接则成中位线.

三角形中有中线，延长中线等中线.

添加辅助线的几个基本思想：⑴根据题目结论形式：

如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°，

证线段倍半关系可倍线段取中点形成中位线或半线段加倍，

证角的倍半关系也可类似添辅助线……

⑵按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是，具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循.在我们的几何储备中，基本图形的定义可扩大为：常见的典型题目的几何图形，我们会在后面的学习中一一告诉大家.

举例如下：

①等腰三角形是个简单的基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形.

出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形.

②等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；

出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交，得等腰三角形中的重要线段的基本图形.

③直角三角形斜边上中线基本图形：

出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线

出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线，得直角三角形斜边上中线基本图形.

④三角形中位线基本图形：

几何问题中出现多个中点时，往往添加三角形中位线基本图形进行证明，当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形.

当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点，则可过这中点添倍线段的平行线，得三角形中位线基本图形.

当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线，得三角形中位线基本图形.⑶可利用三角形平移、旋转、轴对称的思想，添加辅助线.添加辅助线总的指导思想：⑴凸显条件通过添加辅助线，使题设条件能充分显示出来，从而为定理的应用创造条件，或者使不能直接证得的结论转化为与它等价的另一个结论，便于思考与证明.“补图”就是这样一个目的.

⑵集散思想在普通的学校学习中，我们常常需要将分散的几何元素通过辅助线聚集起来.有些几何题，条件与结论比较分散.通过添加适当的辅助线，将图形中分散、“远离”了的元素聚集到有关的图形上，使他们相对集中、便于比较、建立关系，从而找出问题的解决途径.在竞赛类题目中，还存在将聚集的元素适当分散开来进而解决问题.(人大附中单元练习)在中，，高、所在直线交于点，且点不与点、重合，求的度数.对于没有给出具体图形的几何问题，一定有要根据题意画出图形，特别是要注意是否有多解的情况.若是锐角三角形，如图⑴所示，若是钝角三角形，如图⑵所示，如图，已知射线与射线互相垂直，、分别为、上一动点，、的平分线交于.问：、在、上运动过程中(不与重合)，的度数是否改变？若不改变，求出其值；若改变，说明理由.∵射线与射线互相垂直∴∴，∴在、上各取一点、，使，连接、相交于再连结、，若，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．有5对：≌；≌；≌；≌；≌；理由略．⑴如图⑴所示，求的值.⑵如图⑵所示，求的值.⑴⑵⑴连接、，、，，；⑵连接、∵三角形内角和等于，∴，∵，∴同理∴⑴(理工附中06～07学年下学期期中考试)在中，，延长到，与的角平分线相交于点，与的角平分线交于，…，依次类推与的角平分线交于，求大小.⑵(初二第届希望杯试)如右上图，是的角平分线，是角的平分线，与交于，若，，求的度数.