2020-2021学年数学4教师用书：第1章 §8 第1课时函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年北师大版数学必修4教师用书：第1章§8第1课时函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像含解析§8函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质第1课时函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像学习目标核心素养1.了解振幅、初相、相位、频率等有关概念，会用“五点法”画出函数y＝Asin（ωx＋φ)的图像．2．理解并掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的平移与伸缩变换．(重点)3．掌握A，ω，φ对图像形状的影响．(难点）1。通过用“五点法”画出函数y＝Asin（ωx＋φ)的图像，体会直观想象素养．2．通过学习函数y＝Asin（ωx＋φ)的图像的平移与伸缩变换，体会数学抽象素养．1．参数A,φ，ω，b的作用（其中A〉0，ω>0)参数作用A，bA和b决定了该函数的值域和振幅，通常称A为振幅，值域为[－A＋b，A＋b]φφ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相ωω决定了函数的周期，其计算方式为T＝eq\f（2π,ω)，周期的倒数f＝eq\f(1，T）＝eq\f（ω,2π）为频率思考1：函数y＝sinx，y＝sin2x和y＝sineq\f（1,2）x的周期分别是什么?当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系?［提示]2π，π,4π.当三个函数的函数值相同时，y＝sin2x中x的取值是y＝sinx中x取值的eq\f（1，2），y＝sineq\f(1，2)x中x的取值是y＝sinx中x取值的2倍．2．平移变换(1)左右平移（相位变换）：对于函数y＝sin(x＋φ）（φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sinx的图像上所有的点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动｜φ｜个单位长度得到的．（2)上下平移：对于函数y＝sinx＋b的图像,可以看作是把y＝sinx的图像上所有点向上（当b＞0时）或向下（当b＜0时)平行移动|b|个单位长度得到的．思考2:如何由y＝f(x)的图像变换得到y＝f（x＋a)的图像?[提示］向左（a>0)或向右(a〈0）平移｜a｜个单位．3．伸缩变换（1）振幅变换：对于函数y＝Asinx（A＞0,A≠1)的图像可以看作是把y＝sinx的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的．（2）周期变换：对于函数y＝sinωx（ω＞0，ω≠1）的图像，可以看作是把y＝sinx的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时)到原来的eq\f（1，ω)倍(纵坐标不变）而得到的．思考3：对于同一个x，函数y＝2sinx,y＝sinx和y＝eq\f(1，2)sinx的函数值有何关系？［提示]对于同一个x，y＝2sinx的函数值是y＝sinx的函数值的2倍，而y＝eq\f(1，2）sinx的函数值是y＝sinx的函数值的eq\f（1，2)。1．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（x，2)＋\f(π,5）））的周期、振幅依次是()A．4π，－2 B．4π，2C．π，2 D．π，－2［答案］B2．关于函数f(x)＝sin|x|＋｜sinx|有下述四个结论：①f（x)是偶函数；②f（x)在区间eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π，2），π))单调递增;③f(x)在［－π，π］有4个零点；④f(x)的最大值为2。其中所有正确结论的编号是（)A．①②④ B．②④C．①④ D．①③C［法一：f（－x)＝sin｜－x|＋｜sin（－x)|＝sin｜x｜＋|sinx|＝f（x),∴f(x)为偶函数，故①正确;当eq\f(π，2）＜x＜π时，f（x)＝sinx＋sinx＝2sinx，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,2)，π)）单调递减，故②不正确；f(x）在[－π,π]的图像如图所示，由图可知函数f(x）在［－π，π]只有3个零点,故③不正确；∵y＝sin|x｜与y＝|sinx|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上,正确结论的序号是①④.故选C。法二：∵f(－x）＝sin|－x｜＋｜sin(－x）｜＝sin｜x｜＋|sinx｜＝f(x）,∴f（x）为偶函数，故①正确,排除B;当eq\f(π，2）＜x＜π时,f（x）＝sinx＋sinx＝2sinx，∴f（x)在eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π,2）,π）)单调递减,故②不正确，排除A；∵y＝sin｜x｜与y＝｜sinx|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x）的最大值为2，故④正确．故选C。］3．要得到y＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4）)）的图像只需将y＝sinx的图像向________平移________个单位．［答案]左eq\f（π,4）4．函数y＝－2sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(π，4))）的最大值为________,最小值为________．[答案]2－2五点作图法【例1】用五点法作函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）x－\f（π，4)））的简图,并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．[解]（1)列表:xeq\f(π，2）eq\f(3π,2）eq\f（5π，2)eq\f(7π，2)eq\f（9π，2）eq\f（1，2)x－eq\f(π,4)0eq\f（π,2)πeq\f（3π,2)2πy030－30(2）描点：在直角坐标系中描出点eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，2),0）），eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3π，2），3）），eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(5π,2），0)），eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π，2)，－3)）,eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（9π,2），0)）。(3)连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示．（4）这样就得到了函数y＝3sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2）x－\f（π，4）))在一个周期内的图像，再将这部分图像向左、向右平移4kπ（k∈Z）个单位长度,得函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）x－\f(π，4))）的图像．此函数振幅为3，周期为4π，频率为eq\f(1,4π）,初相为－eq\f(π，4）.五点法作图关键是列表，一般有下面两种列表方法：(1)分别令ωx＋φ＝0,eq\f(π，2)，π，eq\f（3π，2)，2π，再求出对应的x,这体现了整体换元的思想．（2)取ωx0＋φ＝0，得x0＝－eq\f（φ，ω）,再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加一个周期的eq\f(1，4)，就可得到其余四个点的横坐标．1．用五点法作函数y＝2sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π,3）)）的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．［解](1)列表：列表时2x＋eq\f（π,3）取值为0、eq\f(π，2)、π、eq\f(3π，2）、2π，再求出相应的x值和y值．x－eq\f(π,6）eq\f(π,12）eq\f(π,3）eq\f(7π,12）eq\f(5π,6)2x＋eq\f（π,3)0eq\f(π,2）πeq\f（3π,2)2πy020－20(2)描点．（3）用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π，3）)），x∈R的简图(图略）。此函数的振幅为2，周期为π，频率为eq\f(1,π）,初相为eq\f(π，3）。三角函数图像的变换【例2】写出由y＝sinx的图像变化到y＝3sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)x－\f（π,4)）)的图像的不同方法步骤．［解］法一：先平移再伸缩,过程如下：①把y＝sinx的图像上所有的点向右平移eq\f（π,4)个单位长度，得到y＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f（π，4)))的图像；②把y＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))）的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)x－\f（π,4)））的图像；③将y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)x－\f（π，4）））的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变)，就得到y＝3sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)x－\f(π,4））)的图像．法二：先伸缩再平移，过程如下：①把y＝sinx的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sineq\f（1，2)x的图像；②把y＝sineq\f(1,2)x的图像向右平移eq\f（π,2)个单位长度，得到y＝sineq\f(1，2）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2))）＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）x－\f(π,4)）)的图像；③把y＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）x－\f（π,4)))的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）,就得到y＝3sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）x－\f（π,4)）)的图像．由y＝sinx的图像，通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ)的图像时，可以先相位变换，后周期变换，也可以先周期变换，后相位变换．两种变换的顺序不同,变换的量也有所不同，前者平移|φ|个单位,而后者则平移eq\f(｜φ｜，ω）个单位．不论哪一种变换，都是对字母x而言的，即看“变量”变化多少,而不是“角"变化多少．2．函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,3)）)的图像是由y＝sinx的图像如何变换得到的？求函数的解析式［探究问题］1．如何求A，b?[提示］A＝eq\f（ymax－ymin,2)，b＝eq\f（ymax＋ymin，2）.2．如何求ω？［提示]先求周期T，再求ω,其中ω＝eq\f（2π，T).3．如何求φ？［提示］由图像上的点来求,通常选取波峰或波谷．【例3】如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ）(A>0,ω〉0，|φ|〈π）的图像,由图中条件，写出该函数的解析式．［思路探究］由图像观察函数周期、振幅、由特殊点法确定初相φ。［解]法一：(最值点法)由图像可得ω＝eq\f(2,3），将最高点坐标eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，4），2））代入y＝2sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2，3)x＋φ)),得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,6）＋φ))＝2。所以eq\f（π,6）＋φ＝2kπ＋eq\f(π，2）。所以φ＝2kπ＋eq\f(π，3）（k∈Z）。又因为｜φ|〈π，所以φ＝eq\f（π，3），又因为A＝2，所以此函数的解析式为y＝2sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f（π，3)）)。法二：(起始点法）由图像求得ω＝eq\f（2,3)，x0＝－eq\f(π，2)，φ＝－ωx0＝－eq\f（2,3）×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（π,2)））＝eq\f(π，3）.又因为A＝2,所以此函数的解析式为y＝2sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（2，3)x＋\f(π，3)））.1．(变条件）将例3中的图像变为如图所示，试求函数的解析式．［解]法一：根据题意，A＝3，T＝eq\f（5π,6）－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（π,6)）)＝π，∴ω＝eq\f(2π，T）＝2，将点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，12)，3))代入y＝3sin(2x＋φ）中，3＝3sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2×\f(π,12）＋φ))，∴sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ)）＝1，∴eq\f(π，6）＋φ＝eq\f(π,2)，即φ＝eq\f(π，3），从而所求函数解析式为y＝3sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π,3)））.法二：由图像知A＝3，又图像过Meq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，12），3）),Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(7π,12）,－3）），根据五点作图法的原理(M,N可视为“五点法”中的第二点和第四点)，有eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(\f（π，12)ω＋φ＝\f（π,2），，\f（7π，12）ω＋φ＝\f(3，2）π，）)解得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（ω＝2,，φ＝\f（π,3)，)）从而所求函数解析式是y＝3sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,3）)）。2.（变条件，变结论）将例3的函数变为f（x）＝Asin（ωx＋φ)＋beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(A>0,ω〉0,|φ|〈\f(π，2)）），图像变为如图所示，试求f(x)的解析式，并求S＝f（0）＋f（1）＋f（2)＋…＋f(2020)。[解］(1）由图像知A＝eq\f(\f（3，2)－\f（1，2）,2）＝eq\f（1,2）,b＝eq\f(\f(3，2）＋\f(1，2)，2）＝1，ω＝eq\f（2π,T）＝eq\f（2π，4)＝eq\f（π,2）.∴f（x）＝eq\f（1，2)sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，2)x＋φ)）＋1。又∵点（0，1）在函数图像上，∴f（0)＝1，即1＝eq\f(1，2）sinφ＋1,∴sinφ＝0.又|φ|〈eq\f（π,2)，故φ＝0，∴f(x）＝eq\f（1，2)sineq\f（π，2）x＋1.（2）由（1)知函数f（x)＝eq\f(1，2)sineq\f（π,2)x＋1,周期T＝eq\f(2π,\f(π,2）)＝4.∴S＝f（0)＋f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2020)＝f（0）＋[f(1）＋f(2）＋f(3）＋f(4）]×505.又∵f(0）＝1，f（1）＝eq\f(3,2)，f（2）＝1，f(3)＝eq\f(1，2）,f（4）＝1,∴S＝1＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3,2）＋1＋\f(1，2)＋1））×505＝2021。由图像或部分图像确定解析式，在观察图像的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ，b：（1)A：一般由图像上的最大值m、最小值n来确定A＝eq\f（m－n，2).(2）ω：因为T＝eq\f(2π,ω），所以往往通过求周期T来确定ω,可通过已知曲线与x轴的交点确定T,也可由相邻的最高点与最低点之间的距离为eq\f(T,2)；相邻的两个最高点（或最低点)之间的距离为T来确定．(3)φ:从寻找“五点法”中的第一个点eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（φ，ω），0)）（也叫初始点）作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个点的位置．依据五点列表法原理,点的序号与式子关系如下:“第一点”（即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0;“第二点”(即图像曲线的“峰点”）为ωx＋φ＝eq\f（π，2）；“第三点"(即图像下降时与x轴的交点）为ωx＋φ＝π；“第四点"（即图像曲线的“谷点”）为ωx＋φ＝eq\f(3π,2）；“第五点”（即图像第二次上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π。在用以上方法确定φ的取值时，还要注意题目中给出的φ的限制条件．1．图像变换是三角函数的重点内容之一．函数的各种变换都是自变量x或函数值y进行的变换．图像变换与函数变换紧密相连，相位变换是用x＋φ来代替y＝f(x)中的x，周期变换是用ωx(ω〉0）代替x,振幅变换是用eq\f(y,A）来代替y(A〉0）.2．图像变换中，还常用以下三种变换:(1）y＝－sinx的图像可由y＝sinx的图像沿x轴翻折180°而得到．（2）y＝|sinx｜的图像可由y＝sinx的图像得到．其变化过程为在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分沿x轴翻折180°而得到．(3）y＝sin｜x｜的图像可通过让y＝sinx的图像在y轴右边的部分不变，y轴左边的图像由y轴右侧的图像关于y轴翻转180°而得到．1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）(1）A的大小决定了函数的振幅． （）(2）ω的大小与函数的周期有关． （）(3)φ的大小决定了函数与y＝sinx的相对位置． (）(4)b的大小决定了函数图像偏离平衡位置的幅度． （）[答案］(1)√（2)√(3)√(4）√2．把函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋\