几何证明中学生探究能力的培养和提高

1、引言《国家数学课程标准》指出：“有效的数学学习方法不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践，自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。”探究是学生理解，掌握知识的关键，也是学生学习的一种重要方法，也是重要的数学文化精神之一；既包括对数学问题的探究，又包括对实际生活情境中数学应用的探究。探究能力是中学生重要的一种学习能力，主要是依据所学知识与技能，运用正确的数学思想和方法，解决数学学习和实际生活中的问题。对激发中学生的学习兴趣，发展中学生的创新精神和实践能力起着非常重要的作用。数学探究是指学生围绕某个问题，自主探究学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，进行合理猜想，探究适当的数学结论或规律，给出解释和证明。数学探究是近些年实施素质教育和新课程教学改革中，为提高学生学习能力和综合素质的大背景下出现一种时髦，新的教师教学和学生学习的方法，给教师和学生都提出很高的要求，突出了学生运用所学的数学方法和数学思想，独立思考，自主探索，合作交流，阅读自学能力的培养，提高中学生数学探究能力是中学数学教学的重要任务之一。几何学习对学生的逻辑思维及推理要求较高，对培养学生的探究能力起着非常重要的作用。几何证明是在几何学习过程中，由公理或其他已由公理证为其真实的命题，按着逻辑推理来判断当前命题(结论)的正确性，所引用的命题(结论)必须是事先认可的。几何证明因其结构优美，解法灵活，构思巧妙，使得中学生对此充满浓厚的学习兴趣，激发他们的学习动力，另一方面又由于问题的技巧性强，方法灵活，不易突破，极大的制约中学生学习几何的兴趣，阻碍中学生探究能力的发展，不利于素质教育。其实问题的关键就是遇到几何证明题不会探索，思考，缺乏对基本几何方法的掌握和应用。本文着重从掌握几何证明方法，技巧来提高中学生学习探究兴趣，培养和提高中学生学习能力，克服几何学习中遇到困难，并把解决问题的数学思想方法及对问题的再认识转化为一个学习的过程，既能提高学生分析，解决问题的能力，又能优化中学生的数学思维，达到融会贯通的境界，因而需要强调对中学生的解题方法指导，并通过解题方法的讲解来让学生掌握和对题目的反思，从而提高中学生的学习和探究能力。2、培养和提高中学生探究能力的重要性和意义心理学家皮亚杰认为：“教育的首要目的在于造就有所创新，有所发明和发现的人，而不是简单重复前人做过的事情。”说明教育要重视学生探究能力的培养。因而教师在课堂教学中，要注意激发他们的学习和创造的兴趣，培养他们的探究能力。数学探究是一种新引入的学习方式。数学探究能力有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步了解直观和严谨的科学态度和不怕困难的科学精神。体验数学探究的学习兴趣和激情，也有助于培养中学生勇于质疑和善于反思的习惯、培养学生发现，提出，解决数学问题的能力，也有助于中学生的创新精神和实践能力的发展。也是新课程改革，实施素质教育，提高中学生的学习能力和自主探究能力的要求，给教师和学生都提出了很高要求。教师必须重视中学生探究能力的培养和提高，改变传统的教学模式，将知识与技能、过程和方法、情感态度价值观三者有机融合到一起，既能让学生感受到学习的乐趣，提高解题能力和学习成绩的提高；又能让学生运用所学数学方法和数学思想来探究实际问题的乐趣，形成良性循环；既让学生学的轻松，又能很好实施素质教育，需要教师认真钻研教材和理解新课程的理念、方法，提高自身素质，要重视研究学生，研究学生的知识基础，认识程度和能力发展水平，了解学生对数学的态度，更要重视对学生基本方法和技能的训练，注重逻辑思维的培养和探究能力的提高。学生在自主探究中，可以从自己理解或和同学们一起合作交流，探讨，注重自我发展和团队合作相结合，从不同层次，角度寻找问题解决的方法，也使自己的探究能力、创新精神得到了提高。培养和提高中学生的探究能力，是一项系统，复杂，庞大的工程。下面就在几何学习中，几何证明的方法，思想对中学生的逻辑思维，数学探究能力的培养和提高；注重学法指导来培养和提高中学生的数学探究能力。不是让学生学到了什么，而是学会了什么，注重学法指导和终身学习的理念。引导学生自主探究，发现其中的规律和方法，并同同学们一起把所学知识，方法进行梳理，并把规律性和一些基本数学思想，数学方法加以分析，比较强调和研究，对中学生的探究能力培养起着重要的作用。3、培养和提高中学生探究能力学习的几种主要方法《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》强调，在数学教学中应把证明作为探究活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据实验的结果，运用数学方法进行合理猜想，归纳和证明，这十分有利于学生对证明的理解，在教学活动中，为了培养学生的创新精神和探究能力，也要有意识地渗透数学方法的讲解。探究性学习明确了学习的主体是学生，探究性学习是指学生在数学学习或现实生活情境中，通过发现问题，运用所学的数学方法，数学思想来分析，探索，研究获得知识，技能和态度的学习方式和学习过程。探究能力的培养是以一定的知识掌握为条件的，并运用所学的数学方法，数学思想来发现，研究新的数学问题，提高研究解决问题的能力。数学是在解决问题中产生的，并在解决问题的过程中不断发展起来的。美国著名的数学家哈尔莫斯（Halmos）说过：“数学的真正组成部分是问题和解”解题活动是数学探究学习的主要内容，应立足于解题探究活动，力求通过这种普遍的活动发展学生的思维能力和创造能力，通过解题方法的研究，不仅丰富了学生的学习活动，加强了横向联系，更主要的是培养学生的思维广阔性与灵活性，有利于学生对数学思维方法的理解和掌握，使学生尽可能掌握很多知识，提高发现和解决问题的能力是学生学好数学的重要环节，也是研究，运用所学方法和数学思想，培养和提高中学生探究能力必不可少的组成部分。数学的方法源自思想，思想是由思维产生的，思维活动具有抽象（逻辑）性，形象（直感）性和灵感（顿悟）性。几何学习由于对学生的思维要求较高，部分学生（特别是基础相对较差的女生）认为自己的逻辑推理能力较差，缺乏数学思考能力是不可能学好数学的，进而恶性循环。其实所有问题的关键就是缺乏对几何学习的主要方法和观点的了解，不会探究，遇到题目无法下手，思维的思考没有方向性，因而需要加强对几何的主要方法的了解，对于培养和提高学生的逻辑思维能力，提高探究能力起着非常重要的作用。下面就从几何证明中的基本方法来培养和提高学生的数学探究能力。数学论证方法侧重于表达，整理及运用数学知识进行论证，其目的在于对命题的真假作出判断和证明，对于逻辑思维能力的培养，增强学生在探究性学习中掌握方法，面对困难起着非常重要的作用。学习方法的教育不仅是要使学生掌握学习方法的知识，弄懂某种方法，更主要的是形成学习能力。通过方法的训练，使学习方法掌握，应用水平达到概括化的程度。学生在学习应用中达到举一反三，触类旁通的程度。进而真正掌握了学习方法，形成学习能力，培养和提高数学探究能力起着重要作用，也只有真正掌握了数学学习方法，对探究能力的提高有目共睹，否则巧妇难为无米之炊。3.1执因导果探索法思索问题时从假设出发，通过一系列已确立的命题，逐步向前推演、结果或是推出前所未有的命题，或是解决了当前的命题，简而言之，即是执因导果探索法，这样的思维方法也叫综合法，强调从命题的已知条件，慢慢推索得出结论。他是认识事物的一种方法，从整体上把握数学问题，有利于解决题目，也是进行数学研究的一种方法，在数学学习和应用中，特别是平面几何中起着非常重要的作用。在几何证明中执因导果探索法起着非常重要的作用，它对于锻炼和培养学生的逻辑推理能力和综合分析能力是非常有效的，也克服了分析法的局限，从整体上把握了事物的性质，对于探究能力的培养起着重要作用。3.2执果索因探索法欲证明一个命题的正确，思考时也可以从结论出发，慢慢向条件推导，要使结论成立，他需满足那些条件，一步步探索，最终达到已知事实，是执果索因探索法，这样的思维方法也叫分析法。执果索因探索法有利于培养学生的逻辑思维和推理能力，分析侧重于探索发现，在数学学习中要重视其能力的培养，注意启发性，将结论，条件与已知数学方法，思想联系起来，广开思路，发展逻辑思维，使逻辑思维能力得到锻炼，养成辨证，严密思考的好习惯。能逐步培养和提高解决问题能力和探究能力。执因导果探索法和执果索因探索法都是抽象思维论证的基本方法，一个是从原因出发，一步步探索出结论，从整体上把握事物，一个是从结论出发，慢慢思索返回条件，强调分析，是解决问题的基本方法，在数学学习和科学研究中起着很重要作用，思考时用执果索因探索法，解答表述时用执因导果探索法，二者通常是相互结合在一起使用的，是解决问题和提高探究能力的重要思维方法，我们在探究数学问题时要注意将二者有机结合起来使用。下面我们看一下这样一个典型问题。例一：如图所示，在等腰三角形的二腰AB和AC上，分别取两点和，使，为和的交点证明：对于这样的题目无论是使用执因导果探索法，还是使用执果索因探索法都能将它解决，解答起来都很简单，是解决问题的基本方法，应而我们要学会灵活应用，对于提高我们的探究解题能力是非常有帮助的。只要能找到思考问题的方法，探究任何问题都能迎刃而解。3.3条件和结论的拓展与推广式探索法在初等几何中，由于学生所学知识和要求的限制，很多条件都是给定很特殊的条件，使问题简单，但是如果适当的将条件(结论)放宽，结论(条件)也是成立；或者置换条件(结论)，结论(条件)也成立；这就是条件和结论的拓展与推广式探索法。使题目由特殊到一般再回到特殊上，这需要我们认真思考，灵活应用所学的数学方法，思想，举一反三，广开思路，培养学生的发散性思维和收敛性思维，提高学生在数学探究中分析问题和解决问题的能力起着非常重要的作用。从不同的侧面，相异的渠道反映条件和结论之间的联系，透过现象看本质，学会命题，是培养学生的创新知识和创新能力，探究能力，深入钻研的一个重要方面。对激发探究数学学习的乐趣是非常大的。首先要寻找到题目的原形，其次对最基本的题目加以改进，将题目由复杂，变简单再变复杂，加深对数学学习的认识，最后再对题目的条件(或结论)进行推广，不仅克服了数学学习的枯燥性，而且增加学习的乐趣，提高学生在分析和解决数学问题的能力，提高了学生的创新能力和探究能力。这需要学生对问题的观察，分析，思考，探索，猜测，推理和验证，同时也需要学生具有扎实的数学知识，能够灵活应用数学方法，思想，从不同层次来分析和探索问题，采用问题—探究—发现(证明)—推广，符合学生的认识逻辑，也有助于探究能力的培养。有时候也可以通过高等几何来俯视初等几何，那样会更加有助于探究能力的培养。条件和结论的拓展与推广式探索法是从提高学生分析问题，解决问题上来考虑，不仅要让学生知其然，而且还要让知其所以然，学会命题等更高层次来培养和提高中学生的数学探究能力，也对探究能力提出很高要求，对于他们以后的数学学习和其他学科的学习，科学研究都起着非常重要的作用。我们也要重视这样的方法。3.4联想探索法在数学学习和应用中，联想探索法就是通过观察，抓住数学问题的有关特征以及它们之间的某种关系，回忆和搜集与之有关的知识和思想方法，将问题转化为熟悉的问题或想出新的数学方法来解答，在解题中起着非常重要的作用，是培养学生的创新精神和探究能力的重要方法。数学是锻炼思维的体操，发现问题，探索思路都离不开广泛而巧妙的联想，联想在艺术和科学研究中起着非常重要的作用。同样在数学学习和研究中也一样，当我们遇到与我们所学的知识和解题方法应用不上，缺乏一种行之有效的方法，在无从下手的时候，不妨跳出原来局限，学会联想到与它相近的知识和类似的问题，并着力挖掘他们的内在联系，由此及彼，甚至联想到它的对立面，反向思考，在探究解题时，百思不得其解，无法下手的时候，应用联想探索法不妨值得一试，既可运用从概念联想，运用数与形结合的联想，又可运用一些重要公式和定理的联想，总之，联想探索法在数学解题中应用非常广泛，也是很容易想到的数学方法，也是培养探究能力的好方法。广泛的联想探究可以找到更好的方法，也有助于新的发现。这需要我们要重视基础，掌握知识之间的纵横联系，注意将已有的知识结构化，系统化；既要展开发散联想，又要展开收敛联想；同时应用联想将问题引申和推广。下面我们看这样一个问题已知：求证：分析：此题看似一道计算题，如果应用代数方法很难解决，如果同学们能够发挥联想，注意观察题目的条件和结论，用数形结合思想和勾股定理，问题变的非常简单。证明：如图，构造正方形，边长为，分别在正方形上取，，，.运用勾股定理得，，，即命题得证。3.5化归探索法化归：转化，归结，在数学学习中，就是将待解决或难解决的问题转化为易解决或者已解决的问题。化归是最基本的数学方法，在整个数学研究中是无处不在的，既包括将实际问题转化为数学问题，也包括将这个数学分支转化为那个数学分支的问题等等，可以说在数学学习和研究中化归是无处不在的，要灵活应用这种方法，是数学素养高的一个重要标志，也是从发散性思维角度来培养学生的探究解题能力，是数学研究中克服困难的有力方法，也是重大发现的思维方法，笛卡尔解析几何学就是应用转化思想将代数和几何有机结合起来，使之成为一种重要的数学分支，在解决数学问题中，化归是广泛应用的，在面临一些难题或推演中遇到难关一筹莫展时，一旦找到适当的化归方法，题目会迎刃而解，真是“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村。”在探究解题中，化归探索法常能化难为易，化生为熟，值得我们去应用，也是培养数学探究能力的有力武器。当我们遇到困难无法下手时，应该想到化归探索法，采用迂回方法，可以从转化条件或者结论出发，力求找到原解决问题的特殊情况，将原问题转化为特殊问题，再返回原问题，都是提高探究解题能力，分析能力的有效途径。已知：在正方形中，为正方形内一点，求证：△为正三角形。分析：这是看似一道很简单的数学问题，但是如果按照常规去做，很难得出结论，总感觉缺少什么，无法下手，如果使用上述方法，从结论出发，问题变简单了。证明：由于△为正三角形在正方形ABCD中，在△BCE中，.（等腰三角形）通理而这两个命题是等价的。即无论用什么条件作为已知条件，它所解决的定点是唯一的。几何证明的方法很多，在此不一一列举，本文是通过主要的几何证明方法的讲解，来培养学生的逻辑思维和发散思维，让学生学会思考，学会探究数学问题，学会解决数学问题，培养和提高探究能力；同时也需要对解题的反思，从多角度，多层次，全方位地反思，能达到求新，求异，优化解题思路，提炼数学思想方法的目的，通过反思有利于培养学生善于质疑，乐于探究的精神。结语：苏联著名教育学家苏霍姆林基说过：“在人的心灵深处有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者，探究者，而在青少年的精神世界中，这种需求特别强烈。”中