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式，建立压杆设计的稳定条件，介绍压杆稳定性分析的经验和折减系数法。WWWWW kkBlkkBlequilibriu态称为不稳定平衡(unstableequilibrium)。图10kkBlkkBl10－2b

A点形成的力矩为2klF<2klF2kl，即恢复力矩大于倾覆力矩。弹簧可以使杆恢复原平衡位置，系统处于稳理论上此时杆顶可以偏离原位处于任何微小的F>2klF2kl。此时倾覆力矩大于恢复力矩，系统处于不稳定平衡，任何微小的扰动都会使杆子失稳。Fcr2kl称为系统的临界载荷（criticalload。10－3a所示悬臂薄腹深梁，在端部垂直力作用下可能发生侧向失稳；10－3b所示下端固支的细长杆，受垂直载荷作用下也可能失稳。还有桁架中的受压杆，loadF（collapse出压杆的临界力的计算。临界力的大小与杆端支承条件有密切关系。xF对截面中心形成的力矩平衡。根EI M M(x)d2v vxvxd2v2

k2vF

式中k vasinkxbcos 件来确定。利用两端的挠度为零的边界 x0时，v0，代入式（a）0a1bv(x)asin

图 xl时，v0，代入式（a）得到sinklacosklb0（c）式（b）和（c）abv的非零解，要求方程（b） sinklkl (nk2

Fk2n22 l2n22 F n=2Fcr v(x)asinl

10－5b10－5c，对应的屈曲Fcr

a为杆中点（x=l/2）处的挠度，1

（10－2幅值是不确定的。如图10－6中水平的虚线AC所示，

现在来考虑图处的弯矩为（M(x)F(v)(lEIdx2F(v)(l d2vk2vk2

(l k2

(lxvasinkxbcoskx[1(l

xvxxvxyx0v(0)0xlv(l

0a1b(1l)

ka0b

sinklacosklb0 l 1 lk

0tanklkl

kl的非线性方程，一般情况下可得kl的最小根为(kl)min，那么杆的临界力为

2

a b(1l

10－8atankl(kl)minF2F2所以k （f， Fcr4l 由式（g）a0,b10－8btankl最小根为(kl)min4.493Fcr

2

由于上端是固定铰支，即0Q*。在式（g）和（c）中令0,Q*，可以导出模态曲线为xav(x)Q*[1sinkxlcoskx(lx)]k2EI xavvxyF能传递给压杆，并保持杆端的时，假设上面固定端处的弯矩为M*。从长度 lM(x)M* M*

图10—9d2vk2vM 其中k2 MEI。容易验证vk2EIvasinkxbcoskxMx0

0a0。从边界条件v(0)0和v(l01b

M*

M* k2k21coskl它的最小非零解是(kl)min242Fcr 可见，同样的杆件，如果是两端固支，其临界力为两端铰支时的四倍。另外从式（a）M*M知b ，所以失稳后的杆的挠度曲线 中 是一个不确定的系数。假设杆的中点挠度为f，从v()f的条件可kk

f1coskl)=f2f所以模态曲线为v(x)

(1cos2Fcr 10－10列出了几种典型边界约束下的压杆的有l/4处弯矩改变符号。这两点的弯矩为零，称为反弯点。在两个反弯点之间长l/2ll/2

图 杆失效问题，本节将引入柔度的定义，通过经验来处理中、小柔度杆的稳定或屈服问stress（10－8cr F2cr (l)2

i

i

ratio况，所以，欧拉也只能在杆内压应力不超过比例极限p时才适用。于是要求2E 引入记号

EEEEcr=s,cr=s,此时的杆件称为大柔度压杆。以Q235钢为例，材料的E=206GPap=200MPap 斤顶的螺杆，缸的活塞杆等，它们的柔

小柔小柔 中柔cr=s 果为基础的经验来计算临界应力。常用的经验有直线和抛物线。1，直线cr=a 在式（10－13）中令crs，可以求出区分中柔度和小柔度杆的柔度值0，例如Q235的材料参数s235MPa，a＝304MPa，b＝1.12MPaas(304235)MPa 柔度p的大柔度压杆用欧拉求临界应力；0p的中柔度杆用直线确定0的小柔度杆直接用屈服应力crs。这三种压杆的临界应力随柔度变10－11来表示，简称为临界应力总图。做压杆稳定分析时先要根据压杆的柔度值，判断它属于那一种压杆，然后选用相应的计算临界应力。表10－1直线的系数a和abQ235 imin l2300mm173.2 Fcr

2bh

6

l1300mm <cr=ab=304MPa1.12MPa86.6=207Fcr=crA=207106Pa1220106m2=49.7l0.5300mm43.3 Fcr=crA=235106Pa1220106m2=56.4CC ab s10－12所示为抛物线的临界应力总图。示的双曲线交于C点。一般取crs/2时对应的柔度值为分界点，将s/2代替式（10－14）的cr，可以得到C点的横坐标C

表10－2抛物线的系数a1和a1b1Q23516F

[F

其中F是杆的计算压力，Fcr是临界力，nst

cr是临界压应力，[]st是稳定许用应力。压杆稳定也常用安全系 nFcr cr 10－210－13所示支架由横ACBD构成，材料均为Q235E200GPa，许用应力[160MPa。zF15kN作用。已知AC梁是14号工字钢，其抗弯截面系数zBD为直径40mm的圆截面杆 p100nS2.5。 ACAB段受拉和弯共同作用，BC段受弯，BMmax15kN0.75m11.25kNFBy

FBxx

38.97103 Ax 102106 21.51042BDBD杆长度l1.732m1d4/ i 10mmd2 L/i11.732/0.01173.2p

222.50kN 2E Pa

65.8MPa26.32MPa F

445.0103N

[] [] 结构不安全，应该增加压杆的直径。假如使圆杆直径增至d＝50mm，截面的惯性半径id/450mm/412.5mm。杆的柔度L/i11.732/0.0125138.6p 2E Pa 445.010

102.8MPa41.12MPa BD BD 22.92MPa<[]st ncr102.8MPa4.49n []crcr[]crn[][ [] F[][ 式中是工作应力，称为折减系数。工程中一般将各种材料的曲线制成图表供计算使用（见图10－14。10－3有一根两端铰支的圆截面的压杆。材料为Q235钢，杆长l＝2.2m，直径d=80mm。已知工作压力F＝450kN，稳定安全系数ns＝1.6，强度许用应力[]＝170MPa。试用直线方法，抛物线方法和折减系数法校核压杆的稳定性。id20mm柔 λ=μl220cm 直线方法的校核因为p100，属于大柔度杆。用欧 2E2210109Pa

89.5MPa 0.082m2/

[]st 抛物线方法的校核因为110132C，所以用抛物线（10－14）计算临界应 ab2235MPa0.0068MPa1102 F89.5MPa

152.795.4MPa根据＝110，查Q235钢（A3钢）的折减系数＝0.54。所以许用临界应力[]st[0.54170MPa91.8MPa89.5MPa[]st材料为A3钢，许用应力[]＝160MPa。试用折减系数法设计活塞杆的直径d。解（10－181，初次估算，先取10.5，利用式（10－18）A1

0.5160104100cm2d14100cm2惯性半径i1d142.83cm，柔度1li11350cm/2.83cm=123.510－14，得 1A10010-4m280MPa>[]st