概率论与数理统计常用的统计分布

概率论与数理统计常用的统计分布第1页，共62页，2023年，2月20日，星期五(二)分布且设相互独立,令称服从自由度为的

分布，记为概率论与数理统计常用统计分布的上侧分位点记为的双侧分位点记为Review第2页，共62页，2023年，2月20日，星期五(三)分布且设相互独立,令称服从自由度为的

分布，记为常用统计分布的上侧分位点记为Review第3页，共62页，2023年，2月20日，星期五概率论与数理统计抽样分布与统计推断第4页，共62页，2023年，2月20日，星期五设总体的均值和方差是来自总体的样本，则都存在.证概率论与数理统计样本均值与样本方差的数字特征第5页，共62页，2023年，2月20日，星期五概率论与数理统计单正态总体的抽样分布第6页，共62页，2023年，2月20日，星期五概率论与数理统计单正态总体抽样分布定理第7页，共62页，2023年，2月20日，星期五仍服从正态分布定理一的样设是来自总体本,则证独立同分布由正态分布的性质知，线性组合概率论与数理统计第8页，共62页，2023年，2月20日，星期五概率论与数理统计单正态总体抽样分布定理第9页，共62页，2023年，2月20日，星期五概率论与数理统计单正态总体抽样分布定理第10页，共62页，2023年，2月20日，星期五定理三的样本，设是总体分别为样本均值和样本方差，则有证由定理一、定理二有且与独立，由分布的定义有概率论与数理统计第11页，共62页，2023年，2月20日，星期五例1

设为X的一个样本,求:样本均值的数学期望与方差;

概率论与数理统计单正态总体的抽样分布第12页，共62页，2023年，2月20日，星期五例1

设为X的一个样本,求:样本均值的数学期望与方差;

概率论与数理统计单正态总体的抽样分布第13页，共62页，2023年，2月20日，星期五概率论与数理统计单正态总体的抽样分布第14页，共62页，2023年，2月20日，星期五例3

在设计导弹发射装置时,重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差.对于一类导弹发射装置,弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布N(μ,100),现在进行了25次发射试验,用S2记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差.试求S2超过50的概率.概率论与数理统计单正态总体的抽样分布第15页，共62页，2023年，2月20日，星期五概率论与数理统计单正态总体的抽样分布第16页，共62页，2023年，2月20日，星期五例4从正态总体N(μ,0.52)中抽取容量为10的样本X1,X2,...,Xn.若μ未知,计算概率:概率论与数理统计单正态总体的抽样分布第17页，共62页，2023年，2月20日，星期五概率论与数理统计单正态总体的抽样分布第18页，共62页，2023年，2月20日，星期五样本总体样本统计量如：样本均值、比率、方差总体均值、比率、方差等概率论与数理统计统计推断与参数估计第19页，共62页，2023年，2月20日，星期五

参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.估计新生儿的平均体重、估计废品率、估计平均降雨量等。

在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数.概率论与数理统计参数估计问题第20页，共62页，2023年，2月20日，星期五参数估计就是要从样本出发去构造一个统计量作为总体中某未知参数的一个估计量。包括点估计和区间估计两种。若总体X的分布函数形式已知，但它的一个或多个参数未知，则由总体X的一个样本估计总体未知参数的值的问题就是参数的点估计问题。要求由样本构造一个以较大的概率包含真实参数的一个范围或区间，这种带有概率的区间称为置信区间，通过构造一个置信区间对未知参数进行估计的方法称为区间估计。概率论与数理统计参数估计问题第21页，共62页，2023年，2月20日，星期五设总体X的分布函数形式已知,但它的一个或多个参数为未知,借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的问题称为点估计问题.概率论与数理统计点估计问题第22页，共62页，2023年，2月20日，星期五估计量：用于估计总体参数的统计量如样本均值，样本比率、样本方差等例如:样本均值就是总体均值的一个估计量参数用表示，估计量用表示估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值X

=80，则80就是的估计值概率论与数理统计点估计问题第23页，共62页，2023年，2月20日，星期五概率论与数理统计点估计问题第24页，共62页，2023年，2月20日，星期五点估计问题概率论与数理统计第25页，共62页，2023年，2月20日，星期五点估计没有给出估计值接近总体参数程度的信息；同时，也可以看到,对于同一个参数,用不同的估计方法求出的估计量可能不相同。概率论与数理统计评价估计量的标准那么那一个估计量好坏的标准是什么?第26页，共62页，2023年，2月20日，星期五1.无偏性(unbiasedness)

设为总体未知参数的估计量若则称是的无偏估计量，称具有无偏性。否则，是有偏估计量.偏差=概率论与数理统计评价估计量的标准第27页，共62页，2023年，2月20日，星期五无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数P(

)BA无偏有偏无偏估计的实际意义:无系统误差.无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求.概率论与数理统计评价估计量的标准第28页，共62页，2023年，2月20日，星期五注:是μ的无偏估计量是σ2的无偏估计量概率论与数理统计评价估计量的标准是σ2的有偏估计量第29页，共62页，2023年，2月20日，星期五概率论与数理统计评价估计量的标准第30页，共62页，2023年，2月20日，星期五评价估计量的标准概率论与数理统计第31页，共62页，2023年，2月20日，星期五概率论与数理统计评价估计量的标准第32页，共62页，2023年，2月20日，星期五概率论与数理统计评价估计量的标准第33页，共62页，2023年，2月20日，星期五2．有效性

若都是的无偏估计量且

或

则称较为有效估计量。两个以上的无偏估计量具有最小方差最佳无偏估计量概率论与数理统计评价估计量的标准第34页，共62页，2023年，2月20日，星期五有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小方差的估计量更有效

AB的抽样分布的抽样分布P(

)概率论与数理统计评价估计量的标准第35页，共62页，2023年，2月20日，星期五概率论与数理统计评价估计量的标准第36页，共62页，2023年，2月20日，星期五概率论与数理统计评价估计量的标准第37页，共62页，2023年，2月20日，星期五概率论与数理统计评价估计量的标准第38页，共62页，2023年，2月20日，星期五概率论与数理统计评价估计量的标准第39页，共62页，2023年，2月20日，星期五3．相合性（consistency） 如果对任意小的正数，有则称是的一致估计量，称具有一致性，可以证明均具有一致性。概率论与数理统计评价估计量的标准第40页，共62页，2023年，2月20日，星期五由于估计量是样本的函数,是统计量,故对不同的样本值,得到的参数值往往不同,求估计量的问题是关键问题.估计量的求法:(两种)矩估计法和最大似然估计法.概率论与数理统计估计量的求法第41页，共62页，2023年，2月20日，星期五1、

矩估计法其基本思想是用样本矩估计总体矩.理论依据:

它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法.是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的.大数定律概率论与数理统计估计量的求法第42页，共62页，2023年，2月20日，星期五用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数,从而得出参数估计，这种估计法称为矩估计法.记总体k阶中心矩为样本k阶中心矩为概率论与数理统计设X1,X2,…,Xn

来自总体X的样本记总体k阶矩为样本k阶矩为矩法估计第43页，共62页，2023年，2月20日，星期五矩估计法的具体步骤:矩法估计的操作步骤概率论与数理统计第44页，共62页，2023年，2月20日，星期五例1

设总体服从泊松分布，

求参数的估计量.解：设是总体的一个样本,由于,可得

概率论与数理统计矩法估计第45页，共62页，2023年，2月20日，星期五解例2概率论与数理统计矩法估计第46页，共62页，2023年，2月20日，星期五解方程组得到a,b的矩估计量分别为概率论与数理统计矩法估计第47页，共62页，2023年，2月20日，星期五解例3矩法估计概率论与数理统计第48页，共62页，2023年，2月20日，星期五解解方程组得到矩估计量分别为例4矩法估计概率论与数理统计第49页，共62页，2023年，2月20日，星期五上例表明:总体均值与方差的矩估计量的表达式，不因不同的总体分布而异.一般地:概率论与数理统计矩法估计第50页，共62页，2023年，2月20日，星期五矩法的优点是简单易行,缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息.一般场合下,矩估计量不具有唯一性.概率论与数理统计矩法估计第51页，共62页，2023年，2月20日，星期五2、最大似然估计法(MLE)最大似然法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的,然而，GaussFisher这个方法常归功于英国统计学家费歇

.

费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.概率论与数理统计第52页，共62页，2023年，2月20日，星期五最大似然原理的直观想法是：在试验中概率最大的事件最有可能出现。因此，一个试验如有若干个可能的结果A,B,…,若在一次试验中结果A出现，一般认为A出现的概率最大．概率论与数理统计最大似然估计第53页，共62页，2023年，2月20日，星期五似然函数实质上是样本的联合分布律于是定义下面的似然函数概率论与数理统计最大似然估计第54页，共62页，2023年，2月20日，星期五概率论与数理统计第55页，共62页，2023年，2月20日，星期五求最大似然估计量的一般步骤为：（1）求似然函数（2）一般地，求出及似然方程

（3）解似然方程得到最大似然估计值

（4）最后得到最大似然估计量

概率论与数理统计第56页，共62页，2023年，2月20日，星期五解似然函数例1概率论与数理统计最大似然估计第57页，共62页，2023年，2月20日，星期五这一估计量与矩估计量是相同的.概率论与数理统计最大似然估计第58页，共62页，2023年，2月2