刚体的平面运动

Cp出CCAiBlB图3(h)5图3(a)Cp出CCAiBlB图3(h)5图3(a)刚体的平面运动在前面几节中，物体被看成了没有形状、没有大小的质点.然而，实际的物体总是有其形状和大小的，而且常常发生形变.作为一种理想模型，我们把形状和大小不变的物体叫做刚体.刚体上质点之间的距离在刚体运动时保持不变.那末，刚体运动有些什么规律呢？一、刚体运动有两种基本形式：平动和定轴转动1、平动刚体上任意两点的连线保持平行的运动叫做刚体的平动，如图1所示.图中是一个正方体刚体在作曲线平动.不难看出，刚体上各点的轨迹曲线的形状相同，各点的速度也相同.因此，只要弄清楚了刚体上任意一点的运动过程，也就弄清楚了整个刚体的运动过程.这就是说，刚体的平动可以用刚体上任意一个质点的运动来代表.因此，前面几章研究质点运动实际上就是研究刚体的平动.2、定轴转动若刚体上的所有质点围绕同一直线作圆运动，则称这种运动为刚体转动，该直线叫做刚体的转轴.转轴可以穿过刚体，也可以不穿过刚体.转轴静止的刚体转动叫做刚体定轴转动.如图2所示。刚体定轴转动时，刚体上任意质点的轨迹圆所在的平面叫做转动平面.刚体的各个转动平面相互平行，都垂直于转轴.刚体定轴转动的描述。类似于圆周运动的描述刚体上各点都绕同一转轴作半径不同的圆周运动，在相同时间内转过相同的角度。刚体上各点的角位移A9、角速度w、角加速度B均相同。二、刚体平面运动刚体的平动和转动是最常见、最简单的刚体运动。我们感兴趣的是另一种刚体运动称为刚体的平面运动。例如汽车在平直路面上行驶时，其轮子在路面上滚动就是一例。刚体平面运动的特点是，刚体在运动中刚体上各点始终处在平行于空间一固定平面的各自平面中。

1、刚体平面运动概述和运动分解（1） 如图1、刚体平面运动概述和运动分解（1） 如图3所示，刚体运动中由位形I到位形II,总可以认为以刚体上任意选定的参考点（称为基点）为代表的刚体的平动，加上刚体绕此参考点的一个转动的叠加完成。（2） 由图3（a）、（b）看出，基点选取不同，刚体平动运动将不同，但绕基点的转动却是相同的。因此：尽管选取不同的基点，但绕任一基点转动的角速度和角加速度均一致。例如：图4车轮的运动车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成．车轮对于静系的平面运动——绝对运动车厢（动系Axy）相对静系的平动—牵连运动车轮相对车厢（动系Axy）的转动——相对运动车轮的平面运动 随基点昇的平动 绕基点的转动我们称动系上的原点A为基点，于是刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动．2、平面图形内各点的速度求法2.1．基点法（合成法）已知：图形S内一点A的速度丁，图形角速度®求：丁AB取A为基点,将动系固结于A点,动系作平动。取B为动点，则B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成：绝对=B;牵连=A;相对=BAVBA大小°-AB，方向丄AB，指向与①转向一致.根据速度合成定理:V绝对=V牵连+V相对则B点速度为：VB=VA+VBA即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法，也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．2.2、速度投影法由于A,B点是任意的，因此vB—vA+vBA表示了图形上任意两点速度间的关系.由于恒有VBA丄AB，因此将上式在AB连线上投影，有vB] —[vA] ——速度投影定理

即平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等．这种求解速度的方法称为速度投影法例1•曲柄连杆机构OA=AB=l,取柄OA以匀w转动。求：当9=45°时，滑块B的速度及AB杆的角速度。基点法速度投影法解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运动，滑块B作平动。基点法（合成法）研究AB,以A为基点，且v=wl，方向如图示。根据vB=vA+vBA，在B点做速A度平行四边形，如图示。v=v/cos9=lw/cos45。=721w(j)BAv=vtg9=Iw-tg45。=IwBAAnw=v/AB=lw/1=wABBA速度投影法研究AB,v=lw,方向丄OA,Av研究AB,v=lw,方向丄OA,AvB方向沿BO直线BABAABv=vcos9ABv=v/cos9=lw/cos45°=\2lw（j）BA不能求出wAB2.3．瞬时速度中心法（速度瞬心法）2.3.1.问题的提出若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？2・3・2.速度瞬心的概念平面图形s,某瞬时其上一点A速度vA,图形角速度w,沿AvA方向取半直线AL,然后顺w的转向转90°至AL'的位置,A在AL'上取长度AP=v/wA则：vp=vA+vv=AP-w=v,方向丄PA，恰与v反向.所以v=0PAPAPA A A P即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心简称速度瞬心.2・3・3.几种确定速度瞬心位置的方法已知图形上一点的速度VA和图形角速度3,可以确定速度瞬心的位置.（P点）AP=—,AP丄V,且P在V顺3转向绕A点3 A A转90°的方向一侧.已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动，则图形与固定面的接触点P为速度瞬心.已知某瞬间平面图形上A0两点速度V,V的方向，且ABABV不平行V过A,B两点分别作速度V,V的垂线，交点P即为AB该瞬间的速度瞬心.已知某瞬时图形上A,B两点速度V,V大小，且V丄AB，V丄ABV丄AB，V丄ABAB(a)V与V同向，AB(b)VA与VB反向，33V一V BABV+V—A BAB⑤已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线垂直.此时，图形的瞬心在无穷远处，图形的角速度3=0，图形上各点速度相等，这种情况称为瞬时平动.（此时各点的加速度不相等）另：对第④种（a）的情况，若v=v则是瞬时平动.AB注意：瞬时平动与平动不同瞬时平动构件上各点的速度都相等，但各点的加速度并不相等。例如:曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动.此时连杆BC的图形角速度3 =0,BC杆上各点的速度都相等,BC但各点的加速度并不相等。设匀3,则a=an=AB-32(J)BB而ac的方向沿AC的，町丰a。瞬时平动与平动不同2.3.4.速度瞬心法利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法，称为速度瞬心法.平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心\又称为平面图形的瞬时转动中心。若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度V=AP-3，方向丄AP，指向与3一致。A

2.3.5.注意的问题速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。速度瞬心处的速度为零,加速度不一定为零。不同于定轴转动刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度是不一定相同的。不同于刚体作平动。例2•曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄OA以匀w转动。用瞬心法求：当9=45°,0°，90°时,滑块B的速度及AB杆的角速度9=45°时研究AB，已知v,v的方向，因此AB可确定出P点为速度瞬心•/v= ,AP=lAw=v/AP=lw/1=wAB Av=BP-w=I21w(J)B AB9=0°时v=lw,AP=AB=lAw=v/AP=lw/1=wABAv=0B9=90°时v=lw,v=v=lwA BAw=0AB例3.行星齿轮机构已知:R,r,wo轮A作纯滚动，求v,vM1M2v=(R+r)w=rw・.w=wAov=(R+r)w=rw・.w=wAorov=PM-w=丫'2rR+r- w=72(R+r)wM11roov=PM-w=2r-R+r2(R+r)ww—M22roo方向如图所示。R+r平面图形内各点的加速度求法基点法（合成法）已知：图形s内一点a的加速度a和图形的角速度①,角加速度AB（某一瞬时）。求：该瞬时图形上任一点B的加速度。取A为基点，将平动坐标系固结于A点取B动点，则B点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动．a二a;a二a;a二a二aT+an绝对B 牵连 A 相对 BABABA于是，由牵连平动时加速度合成定理a绝对=a牵连+a相对可得如下公式.a=a+aT+anBABABA其中：at=AB-p，方向丄AB,指向与卩一致;BAan=AB2，方向沿AB，指向A点。BA即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度的方法称为基点法，也称为合成法。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求出其余两个。由于町a,aBA方位总是已知，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。例4半径为R的车轮沿直线作纯滚动，已知轮心O点的速度VO及加速度a，求车轮与轨道接触点p的加速度.O分析：a=a+at+anPO PO PO轮O作平面运动，P为速度瞬心，.•.®=V/RO由于此式在任何瞬时都成立，且Op=1dvdtdt以O为基点，=a+at+aPOPO其中：PO=R-p=PO点作直线运动，故而做出加速度矢量图，由图中看出：a=anPPO

（a与at等值反向）即a=v2/R（T）OPO PO由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心．当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心P的加速度指向轮心．巩固练习：1.一碗置于水平桌面上，碗内壁呈半球形状，球半径为R。如图说是，竖直面内有一细直杆AC(不计质量)，杆一端A与碗内壁接触，杆上B点位于碗沿。AC杆在竖直面内运动到图示位置(即0角时)，A端得速度值正好是C端速度值的一半，试求AB长与BC长之比。2.—个半径为R的半圆柱置于水平地面上，在与柱轴垂直的平面内有一轻杆AD搁置在柱面上。A端在地面上，杆与柱面的接触点为B。已知B点处柱半径OB与竖直半径夹角为0，如图所示。求当杆端A在地面滑动过程中达图示位置时，AB中点C的速率与A点速率之比为多大？如图.图细杆AB长1,端点A、B分别被约束在x和y轴上运动，杆上P点离杆A端距离为杆长的a倍(0<a<1).试求：(1)确定P点的运动轨迹⑵如果图中0角和为已知，那么P点的x和y方向分运动的速率v和v是多少？pxpy

4.曲柄滚轮机构，曲柄OA=15cm,n=60rpm，滚子半径R=15cm。求：当a=60°时(OA1AB),滚轮的角速度®e，角加速度BB分析和解：本题中的内部约束就是杆长和P点在杆中的位置，而外部约束是A、B分别被约束在x和y轴上运动，这样就确定了它们之间的几何关系。(1)杆A端在y轴上的位置用坐标y九表示，杆B端的位置用坐标x表示，P点的坐标为ABx、y)，利用几何关系，得出x、y与x、y的关系为pPpPBAxal~p= =axlBl—alyA艮卩x=ax=alsin0PBy=(1一a)x=(1一a)lcos0PA由以上两式，得一=+再=1(al)2 1(1—a)lJ2这是一个椭圆方程，故P点的运动轨迹为椭圆.(2)设在At寸间内，P点坐标的改变量为Ax和Ay，杆A、B两端坐标的相应改变量为AyP P A和Ax，利用P点坐标与A、B两端坐标在几何上的关连有^p=a =(1—a)B AtAtAt At根据速度分量的定义，当AtT0时u=au，u=(1—a)uPx B Py A式中u和u分别是A端和B端的速度.由AB杆不可伸长，有ABucos0=usin0AB最后得出P点的速度分量为u=auco10 u=(1—auPx A Py A(第15届复赛第2题)如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为h。轨道上有两个物体A和B,它们通过一根绕过定滑轮O的