分数的巧算和速算

分数的速算与巧算【专题解析】在分数的简便计算中，掌握一些常用的简算方法，可以提高我们的计算能力，达到速算、巧算的目的。约分法：在分数乘除法运算中，如果先约分再计算，可以使计算过程更简便。两个整数相除(后一个不为0)可以直接写成分数的形式。两个分数相除，可以根据分数的运算性质，将其写成一个分数乘另一个分数的倒数的形式。错位相减法：根据算式的特点，将原算式扩大一个整数倍(0除外)，用扩大后的算式同原算式相减，可以使复杂的计算变得简便。【典型例题】例1.例1.计算：(1)56|三81⑵166函一188分析与解：(1)直接把56§拆写成(56+§),除以一个数变成乘1以这个数的倒数，再利用乘法分配率计算。(2)把题中的166—分成41的倍数与另一个较小的数相加的形式，再利用除法的运算性质使计算简便。1181X1181X8=56X8+9X856—4-8=(56+—)4-8=(56+—)1=7+—=7—TOC\o"1-5"\h\z9 9164x1+164x1+ilx丄二4120 41166一4-41二(164+_)X—=20 20 41

【举一反三】、丄特 8⑵咛12计算：(1)64—⑵咛12171(4)170—4-1312例2例2・计算：200Z04黑+12006分析与解：数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。分母2004x2005-2004,这算式可以运用乘法分配律等于2004x2006,又可以约分。聪明的同学们，如果你的数感很强的话，不难看出20042004^2005——的被除数与除数都含有2004,把他们同时除于20042005I I 1得到1-1^7也是很好算的，这一方法就留给你们吧！200520062006原式=2004^2004x20062005=2004xTOC\o"1-5"\h\z1=2004x + 2004x2006 20061 + 2006=1【举一反三】计算:(5)20004-200020002001H 2002(6)2384-238 1238239+240例3.计算:例3.计算:1993x1994-11993+1992x1994分析与解：仔细观察分子和分母中各数的特点，可以考虑将分子变形。1993X1994-1=(1992+1)X1994-1=1992X1994+1994-1=1992X1994+1993,这样使原式的分子、分母相同，从而简化计算。1993x1994-1 (1992+1)x1994-11993+1992x1994 ~ 1993+1992x1994 ~1992x1994+1993 =11993+1992x1994【举一反三】

计算：(7)计算：(7)2012+2011x20131988+1989x19871988x1989-1例4•计算：例4•计算：128128323232161616256256+20072007+2007200720072005+20052005+200520052005分析与解：根据算式中各数的特点，变形后再约分计算。128128161616 128x100116x10101 1(1) X = X =—32323225625632x10101256x100142007+20072007+200720072007(2) 2005+20052005+2005200520052007+2007x10001+2007x1000100012005+2005x10001+2005x100010001_2007x(1+10001+100010001)_2007-2005x(1+10001+100010001)-2005(10)(10)【举一反三】计算：(9)25+2525+25252536+3636+363636484848.242424254254丁127127例5.计算:1111111例5.计算:分析与解：此题的解法有两种。第-种方法:观察上面的算式发现,2个占相加得右,2个右因此，在原算式中可以先“借”1 1 1因此，在原算式中可以先“借”相加得石，2个石相加得芒，•…

32 32 1611构造-个亦+两，使计算1111+—11构造-个亦+两，使计算1111+—矿两’则2SF第二种方法：设3=14416-32111111-)—_|_——+——+——+——+——2481632641 1 1+—+—+—)

1 1 1+—+—+—)

163264TOC\o"1-5"\h\z两式相减得：2S—S=(l+t+：+石2 4 81111111(—+—+—+ + + 1 )248163264128（即错位相减法）111111 1 127（即错位相减法）即一+—+—+ + + 1 = 248163264128 128【举一反三】(12)1+*计算：(11)丄+丄+1+丄+丄+丄(12)1+*4 8 16 32 64+”丄+丄+丄+丄12 24 48 96(13)(14)丄+丄+丄+丄+丄+丄(13)(14)9 27 81 243 729111115+25+125+625+3125壮井皆 111 1111 1 1 1例b.TT＞：(i+-+-+-)x(-+-+-+-)-(i+-+-+-1111+5)X(2+3+4)分析与解：本题就是设数法解题的典型，可设：1+土+土+卜a,i+-+—=b.则:2 3 4111」11/原式=a(b+-)—(a+-)b=ab+-a—ab——b—-(a—b)=-5【举一反三】计筍斥1 1 1 I1 1 1 1 1 111+5+6}21X