2.5静电场的基本方程.分界面边界条件

2.5静电场基本方程分界面上的衔接条件静电场的基本方程总结静电场环量特性及闭合面通量特性，得到了反映静电场基本特性的方程JE•d1=0 （2.5.1）iJD-dS=q （2.5.2）SVxE=0 （2.5.3）V-D=p （2.5.4）称之为静电场的基本方程，方程（2.5.1）和（2.5.2）是基本方程的积分形式，它们从整体上以表明静电场的无旋性（守恒性）和静电场的有散性（有源性）这两个基本特征。方程（2.5.3）和（2.5.4）是以上两基本方程对应的微分形式，它们更为直接地描述静电场的无旋性和有散性的分布特性。基本方程的微分形式显得更为重要。一方面，可以从散度和旋度角度描述静电场中各点场与源的关系；另一方面，在计算上反映静电场域空间各点场与源的变化情况。从计算角度看：基本方程的积分形式适用于大范围的分析计算，它们在静电场的任何区域都成立；而微分形式适合于在同种介质中求解场量（指E、D、。）的分布，在不同介质分界面上它不成立。由唯一性定理可知，散度和旋度再加上边界条件共同唯一地确定静电场，这边界条件还需要基本方程的积分来推求。研究介质极化的影响，有D=20E+P （2.5.5a）D=2E （2.5.5b）方程（2.5.5a）和（2.5.5b）是联系D、E的媒质的构成方程，它们不是基本方程，但其重要性是不言而喻的。（2.5.5a）对任何介质均成立，方程（2.5.5b）只适用于各向同性线性介质。介质分界面上的衔接条件在不同介质的分界面上，可能存在极化电荷和自由电荷，它们使场量的大小和方向（（2）D应满足的介质分界面衔接条件都可能发生突变，导致了在不同介质的分界面上D、E不连续。在此处，静电场基本方程的微分形式不再适用，我们从基本方程的积分形式出发，导出介质的分界面衔接条件的出发点。分界面两侧为各向同性线性介质，介电系数分别为句和句，同时还需要规定分界面正法线方向：由介质1指向介质2,有en。（1）E应满足的介质分界面衔接条件假设我们站在分界面上的某点P处，可视分界面为无限大。分解场量E为切向分量和法向分量。在P点处跨分界面处作十分窄小的矩形闭合回路l，与分界面平行的回路长边为△l，在△l上可认为E不变，回路短边为△m，它十分E11短Amf0。取回路l所围面积45的正方向为由屏幕穿出，其正法向单位矢量en,。在可介质侧定义回路l的循行方向，使AlAl=（exehln'neen2t分界面上E的衔接条件由环路定律的积分形式1E-dl=EAl+E《AlX—E).Al=0l 2 1 2 1(exe)&—E)Al=0n' n2 1e.ex(E—E)l=0n' n2 1ex(E-E)=0n21(2.5.6)得E应满足的介质分界面衔接条件。上式的标量式E=E1t 2t(2.5.7)它表明，在不同介质分界面上，电场强度的切向分量总是连续的。面上，由分界面衔接条件面上，由分界面衔接条件4=E21和E二-川，得分界面上D的衔接条件吗二分界面上D的衔接条件吗二tga2s182（2.5.10）在分界面上包围P点作一很小的扁圆柱，它的上下底面AS与分界面平行，且AS很小，可认为在AS上D近似不变；扁圆柱的高Ah十分小，可视Ahf0。对于这个小闭合面，应用高斯定律JD.dS=DAS+D.(-AS)S 2 1=e.(D-D)ASn21=oAS+pASAh当Ahf0时，体电荷的贡献为零，有e.(D-D)=o (2.5.8)n21得D应满足的介质分界面衔接条件。该式量值为（2.5.9）D-D（2.5.9）2n1n这说明介质分界面上存在有自由面电荷时，介质分界面两侧的电位移矢量不连续。(3)静电场的折射定律在介质分界面上若。=0，两侧的各向同性线性介质中有D=SED=8E，JL JLJL 乙 乙乙入射角a=P，折射角a=艮，则E、D的分界面衔接条件可写成JL JL 乙 乙Esina=Esina1122sEcosa=sEcosa11 1 22 2两式相除得称为静电场的折射定律。2.5.3电位表示的介质分界面衔接条件用电位进行计算，需要用到由它表示的分界面衔接条件。对于两种不同介质的分界

-Vq•-Vq•e=-Vq•e1t 2t和］dt…2+C其中C为积分常数。设Q和①2分别是分界面两侧的对应两点A、B的电位，而A、B两点非常靠近(距离dAB-0)，B两点间的电位差应等于零所以积分常数C为零，得再由D-D=o,得2点非常靠近(距离dAB-0)，B两点间的电位差应等于零所以积分常数C为零，得再由D-D=o,得2n 1n上两式即为电位表示的介质分界面衔接条件。2.5.4导体与介质相界面的情况设与导体相界的是媒质2，分界面正方向由导体指向介质。由分界面衔接条件ex(E-E)=0n21e•(D-D)=on21并考虑导体中没有电场，应有E=E。=0，D「D。e，于是在紧靠导体侧的介质表

1t2t 22nn面上有1=o2称为介质的边界条件。根据(2.5.14)式可计算出导体表面的自由电荷面密度。若用电位来表述这种边界条件，有q=q（二导体的电位）JL 乙9q£ 2=-O2dn2.5.5计算举例例1:图1所示平板电容器，已知4、4、*和三，极板间电压试求出其中的电场强度和电位的分布。解：平板电容器板间距离远小于平板尺寸，可认为极板为无限大，忽略边沿效应。如图1中所示，两种电介质均为各向同性线性均匀介质，同种介质电场均匀，£、。沿1轴方向与介质分界面垂直。在分界面上无自由电荷按衔接条件，应有电位移。相等，故EE=EE11 22Ed+Ed=U11 22 0求得E: 方向与介质分界面垂直。在分界面上无自由电荷按衔接条件，应有电位移。相等，故EE=EE11 22Ed+Ed=U11 22 0求得E: 22 eeEd+8d0%12 21E二 Ei UeEd+Ed0x12 21图1取右极板处为电位参考点，在第二种介质①(x)=Jd1+d2E•edx二2 \ 2x8d+8d12 21(d+d-x)1 2在第一种介质中①(x)=Jd1E.edx+fd1+d2E.edx

1x1xd2x18d+8d2112 21= U0 Ie(d-x)8d+8d2112 21例2：图2所示平板电容器，已知3、工、4和e，两极板上的总电荷分别为+北和一％，试求出其中的电场强度。对图2所示情况，由分界面衔接条件知，两种电介质中的电场强度E相等£=E=E=E而电位移。不相等，使得每个极板上面积切和两部分电荷密度JL JL2 /J-不相等，设它们分别是O］和应有由介质分界面条件和极板