线性代数1.1 行列式定义

线

性

代

数

线

性

代

数xiesongfa126LinearAlgebra

线性代数谢松法华中科技大学数学与统计学院一、教学内容线性代数是工科各专业必修的重要基础理论课，线性代数的主要内容包括：行列式、矩阵、向量代数、是工科线性代数在工程技术、科学研究本课堂仅介绍前六个方面的内容，且其中带“*”号学习线性代数的难点在于“入门”，即如何尽快地去理解和适应它所引入的新的数学语言与数学工具。数学教学的主要课程之一。和各行各业中有着广泛的应用。线性方程组、特征值与特征向量、二次型、线性空间与线性变换等。的内容不需要掌握。二、教学及考核方式考试方式：闭卷作业：每周一次主要参考书（略）答疑：每周一次课堂教学：40学时考试成绩：作业占20%，考试占80%(练习册)线性代数研究的主要问题：

解线性方程组线性方程组的几种表示：1，标准式

三元一次方程组：N元一次方程组：2，矩阵式设3，向量式

设4，内积式设线性代数与解析几何的关系对于下面对象：从解析几何看它是一个平面，它的法向量是从线性代数看它是一个方程。线性代数与解析几何的关系对于下面对象：从解析几何看一般情况下它是两个平面交出的一条直线，从线性代数看它是一个方程组。线性代数与解析几何的关系同理对于下面对象：从解析几何看它是一个超平面，它的法向量是从线性代数看它是一个方程。线性代数与解析几何的关系对于下面对象：从解析几何看一般情况下它是m个平面交出的一个仿射体，从线性代数看它是一个方程组。线性代数与解析几何的关系结论：几何中多个平面相交的不同情况对应着线性代数中线性方程组的解的不同情况。第一章行列式§1.2行列式的性质与计算§1.3克莱姆

(Cramer)

法则§1.1行列式的定义§1.1行列式的定义一、二阶与三阶行列式二、n

阶行列式利用消元法求解二元线性方程组一、二阶与三阶行列式行列式的引入来源于求解线性方程组，求解是数学与工程中最基本的问题之一。而线性方程组的得得两式相减消去得引例P

1方程组的解为两式相减消去得类似地，消去得当时，由此引入二阶行列式的定义．称下式为二阶行列式

定义

对角线法副对角线主对角线一、二阶与三阶行列式1.二阶行列式P

2

利用二阶行列式求解二元线性方程组对于二元线性方程组当时，方程组的解为其中记记问题当时，方程组的解会怎么样？P

2解例求解二元线性方程组(惟一解)解例求解二元线性方程组(无穷多解

?

)解例求解二元线性方程组(无解

?

)2.三阶行列式一、二阶与三阶行列式1.二阶行列式利用消元法求解三元线性方程组逐步消去可得引例其中由此引入三阶行列式的定义．补称下式为三阶行列式

定义2.三阶行列式一、二阶与三阶行列式1.二阶行列式问题三阶行列式有何计算规律？它与二阶行列式如何统一？补(1)对角线法

三阶行列式计算规律的探讨

?补(2)沙路法

三阶行列式计算规律的探讨

?补(3)排列法三阶行列式共有6项，即3!项．每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．为排列的逆序数

(?)．为自然数的一个排列;其中

三阶行列式计算规律的探讨

?补(4)递推法

三阶行列式计算规律的探讨

?利用已定义的二阶行列式来计算三阶行列式，即补计算三阶行列式例按对角线法则，有解方程左端为解例求解方程由解得或

利用三阶行列式求解三元线性方程组对于三元线性方程组则三元线性方程组的解为令补求解线性方程组例解故方程组的解为由题意得求一个二次多项式使例设所求的二次多项式为解故所求多项式为由有二、n阶行列式前面从二元与三元线性方程组的求解问题出发，分别引出了二阶与三阶行列式的概念，那么，这些行列式的概念以及线性方程组的求解方法阶行列式求解二元与三元线性方程组的方法。能否推广并应用到n

元线性方程组的求解问题呢？在对三阶行列式的计算所探讨的几种规律中，到底哪一种更具有一般性呢？并给出了利用二阶与三特别是P

2二、n阶行列式经过前人不懈的努力，终于摸索出了统一的规律。本课堂将采用递推法来定义一般的行列式，避开诸如排列、逆序等一些概念。人们发现前面提到的对角线法与沙路法并不适合一般的情形，还是对排列法有所了解。而排列法与递推法才是真正可以推广的方法。其目的是不过有兴趣的同学最好P

2并按照特定的运算法则对应到二、n阶行列式1.余子式和代数余子式把元素

ai

j

所在的第

i

行和第

j

列划去后，(n-1)

列元素组成

(n-1)

阶行列式，剩下的

(n-1)

行即：将个数排成

n

行

n

列,一个数，（?）称之为n

阶行列式，记为P

3二、n阶行列式1.余子式和代数余子式称Ai

j为元素ai

j

的代数余子式

.称

Mi

j为元素

ai

j

的余子式

.定义记P

3设行列式例如则为元素

a23的余子式，为元素

a23的代数余子式

.注意无论是行列式还是余子式，其结果都是“数”.那么它们到底以什么样的运算法则得到一个数呢？二、n

阶行列式1.余子式和代数余子式2.行列式的递推定义定义称下式为n

阶行列式

当时，当时.其中为的代数余子式

.P3定义1.1计算行列式例解定理其中为的代数余子式

.对于任意的j

都有称此计算方式为将行列式按第j列展开

.当时，当时.

将行列式按任意列展开

证明(略)P5定理1.1计算行列式例解按第二列展开，得例计算行列式解按第二列展开，得二、n

阶行列式1.余子式和代数余子式2.行列式的递推定义3.几个典型的行列式补(1)对角行列式注意：行列式不是对角行列式。3.几个典型的行列式(2)上三角行列式启发能否将一个