理论力学动力学部分试题及答案(非课后习题)

1物体自地球表面以速度V。铅直上抛.试求该物体返回地面时的速度VL假定空气阻力

R=mkv2,其中k是比例常量，按数值它等于单位质量在单位速度时所受的阻力.m是物体质

量，v是物体速度，重力加速度认为不变.

答：为%

得

解：阻力方向在上升与下降阶段不同(其方向与速度P相反)，故分段考虑

(2)下落阶段:

2.静止中心0以引力F=-妙mr吸引质量是m的质点M,其中k是比例常量，r=OM是

点M的矢径.运动开始时OMo=b,初速度时即并与0M成夹角a.求质点M的运动方程.

答.V

x=i>costo+—cosasinfe

k

y--sinasin

」k

解：取坐标如图，质点M在任意位置。将我万=F

沿工、」轴投影，得

mx=-Fcos0=-k'mrc4s(p--k2mx

my=-Fsin(p--k^mrsincp=-k^my

即£+/x=0,y+k2y=0

微分方程得通解为：x=c1cosAr/+c2sinkt,y=c3cos+sinkt(1)

求导得x=sinkt+kc2coskt,y=-kc3sinkt+kc^coskt(2)

已知初始条件t=0zx0=b,7o=O，x0=v0sina,yQ=v0sina

、、vV

代入方程(1),(2)得c,1=b,c,2=—cos>c,=0>c.=—sina质

R3k

点〃的运动方程为

x=-—cosasinkt

^y=—sinasinkt

3单摆M的悬线长/,摆重G,支点B具有水平向左的均加速度a.如将摆在6=0处静止

释放，试确定悬线的张力T（表示成9的函数）.

答；T=G(3sine+3gcos0-2g)

gg

解：质点的相对微分方程为

ma,,=mg+T+Qe

投彩到切线方向

G■■

—10=Geos9—Qesin0(1)

g

投影到法线方向

Gv2

----=T—Gsin9—Qecos0(2)

g/

由式(1)得=gcos0—asin0

分离变量并积分=|geos[asin田9

v2=2Agsin0+acos0-a)(3)

GG

由式（2）得T=Gsin6d—acos5H---v2

gg?

将式（3）代入上式T=G|3sin^+3-cos6»-2-|

1gg)

4.水平面内弯成任意形状的细管以匀角速度。绕点0转动。光滑小球M在管内可自由

运动.设初瞬时小球在MQ处，OMo=r0,相对初速度的=。，求小球相时速度大小v,与极径r

的关系.

答：V,=0炉一,

解：取小球为研究时象，动系固连细管，动系

以匀角速度。绕点。转动，玲、佐、4如图所示.

幽访=徵亘+网+用+◎+。（1）

其中腔与M沿铅直方向自行平衡.

式（1）沿切线方向投彩得

dv_2

m-r-=U^cosOf=mro）cosa（2）

dte

由图中可知?=%+生上，且

dtr

4)

drcosa=4-,

=vrcosa

dt4

代入式（2）得

♦vz0*r

积分得|»/八=3|Hr

•，

vr=CD-

5.一重量为P的重物IA,沿与水平面成or角的棱柱的斜面下滑.棱柱沿水平面以加速度

a向右运动.试求重物相对于棱柱的加速度和重物对棱柱斜面的压力，假定重物对棱柱斜面的

滑动摩擦系数为九.

答:%=gisin/cos0i-aicos6+/sin9।

解：取A为研究对冢，动系固连棱柱。

ma^=W+F?）+F+Q6

沿r轴投影一ar=Wsra0-Qecos0-F(1)

g

沿J轴投影0=氐-Wcosd-Qesin9(2)

(3)

/\

由(2)得=Wcos6+Qsin9—Wcos54-—sin6

\SJ

由（1）得以＞=gisin。一/cos6)一«icose+/sin•

1.在图示质量弹簧系统中，质量是m的物块M可以沿光滑水平导杆运动。已知：m=

10g,Ci=c：=2N/m0求系统的固有频率。设振幅是2cm,求M的最大加速度。

解：（1）取物块M为研究对象。

（2）运动分析：M沿水平导杆自由振动，取静平衡位置为坐标原点，x轴方向水平

向右,

（3）受力分析，重力与杆支持力平衡，受水平弹力A、正。

（4）列方程求解：物块在任意位置运动微分方程。

?nx=一及一居=一（5+c?q=-ex(1)

其中匕=%+。2=4%

可见图示相当于两弹簧并联。由（1）式得物块M振动规律

x=上siniH+Qi

其中固有圆频率上$=岛=2。皿

由式⑵得a1m=//=002x202=8%2

2.弹簧的上端固定，下端悬挂两个质量相等的重物Mn心当系统处于静平衡时，弹簧

被拉长6,=4cm.现在突然把此除去，求以后M的振动规律.

解：振动系统由重物Mi和弹簧组成，在重物Mi作一f

用下，弹簧的静伸长==2。加J：

取重物Ml的静平衡位置为坐标原点0轴x铅直向下3|：

由ma=F,投影x轴[

mx=mxg-Fx=mxg-c\651+xi=-ex

Mi的振动方程x=A^kt+a^

初始条件t=0,x0=6S-=2cm,x0=0

则

相角

所以x=2sinI22.1/+—I=2cos22.\tcm

3.质量m=2000kg的重物在吊索上以匀速V=5m/s下

降.由于吊索突然嵌入滑轮的夹子内，其上端被卡住不动.

试求以后重物振动时吊索的最大拉力.假定吊索上端被卡住

以后，下端吊索的弹簧刚度系数c=3920kN/m,又吊索质量

不计.

解：取重物为研究时冢，静平衡位置为坐标原点0,x轴

铅直向下

mx=mg-c(d3-x)=-ex

x-k2x=0

其中丁辱快黑=442md/s

x=工sinkE+ai

因为运动初始条件RO,Jtb=O,x0=v=5

所以4=x；+"=ya=arctg^-=0

因为振动方程为X=-sinkt

k

吊索最大拉力％=c，（5,+^•=wg+—=2000x9.8+-392°--5=462.6kN

Jk44.2

4.在弹簧上悬挂质量m=6kg的物块.当无阻力时，物块的振动周期是T=0.4”s；而在有

正比于速度一次方的阻力时，振动周期Ti=0.5%s.现在把物块从静平衡位置下拉4cm,然

后无初速度的释放，求以后物体的振动规律.

解：先求阻尼系数n.

因为耳=k2-n2即制售）1

n=3

有阻尼自由振动规律是

x=ef*j4sini/iZ+ai

运动初始条件t=0时，即=0.04m,=0

.(A44

所以x=0.05e~5tsinI4/+arctg—5esinI+arctg—lew

5.硅码M悬挂在弹簧CB上，弹簧的上端沿铅直方向作简谐运动，岁=2sin7。cm（时间

以s计，角度以rad计）.底码质量m=0.4kg,弹簧刚度系数c=39.2N/m.求M对固定坐标

的强迫振动.

答x=4sin7tcm

解：取弹簧上端不动时物块的平行位置作为固定坐标轴系的原点，令Ox轴铅直向下.

在任意瞬时t物块m的坐标为x

弹簧变形量：<5=%+瓦+X=瓦+X-f

附方=^g-（a+R一^）

2

其中C6=wg»令k=—,则上式为

5m

光+上。=/rsinpt这是无阻尼强迫振动标准微方程。

强迫振动部分为3=李丁smpt

k-p

其中k2=—=—=98尸7,，=2,代入上式

m0.4

98x2.r

得=------sin7/=4Asinr"cm

98-72

6.质量m=20g的小物块，悬在刚度系数c=3.92N/m的弹簧上，并受到干扰力

5=0.0125如0t+<5）和线性阻力1<=0.098底的作用，其中S、R以N计，t以s计，pt和<5以

rad计，v以m/s计，试间圆频率p等于何值时强迫振动获得最大振幅？该振幅是多少？

解：小物块的运动方程I

mx=mg_F-R+sW

V

一加+

=mg-ciS5+xi0.012sin|R+<5iV

W

即x=2nx+k2x=&sin।R+3•W

^

HFKU98CM.c3.92V

其中n-——=-------=2.45k2--=----------

2胸2xwm2x10-3Q

—

0.0120.012

=0.6*

20x1O-3

radxIS

共振频率Pt="2-2>=J196-2x2145、=13.6/s

共振振幅=—.=----------1

2T炉2x2.45x4196-2.45之

=0.00887m=0.887cm

7.质量m=2kg的质点在恢复力和正弦形扰力作用下沿X轴运动。恢复力0二-8工N,扰

力S.=0.4costN-已知：当t=0时，xo=O,试求质点的运动规律。

f

解：质点运动微分方程一w

w

wx=tng一F+S》iow

w

v

=mg-c[8+工)+0.4costj

5v

即x-{-k2x=kcosPt(1)xv

="="=0.28=上="」

m2k2-p24-115

式(1)通解工=々+才2=qcos比+勺sin+---------cospt

即x=qcos2+与sin2t+—cosZ

而

x=-2cy1sin2z4-cos2/--sin/

215

把初始条件t=o,即=0,分=0带入上两式，得

得ci=-^>勺=0

故质点的运动规律

x=—(cos/-cos2z।m

15

1.弹簧的刚度系数是c,其一端固连在铅直平面的圆环顶点0,另一端与可沿圆环滑动的

小套环A相连.设小套环重G.弹簧的原长等于同环的半径r；试求下列各情形中重力和弹性

力的功：

(1)套环由4到(2)套环由4到A3；

(3)套环由义到4；(4)套环由4到

解：

31,

(1)W=-rG,W=--cr2

P2e2

(2)Wf=Gr,

r2=cr2|l--/2'=-0.4cr

(3)Wf=Gr,明=c/i夜-「=0.4c/

⑷畋=0,勺=0

2.图(a)^(b)^(c)中的各句质物体分别绕定轴0转动，图(d)中的勺质圆盘在水平上

流动而不滑动.设各物体的质量都是M,物体的角速度是。.杆子的长度是,,扇盘的半径是

r;试分别计算物体的动能.

(2)T=g(切/

T171I12.2I2322

(3)Z=—L0a)=—I—mr+rm\a)=

(4)T=+//卜

4

3.质细杆AB的质量是m,长度是/,放在铅直平面内，杆的一端A靠墙壁，另一端沿

地面运动.已知当杆对水平面的颐角。=60•时B端的速度为丫或求杆在该瞬时动能•

答：T=

解：匀质细杆作平面运动，尸为速度瞬心

v52

以=方=而也

S1,21

T=_wv?1.。北

22

=左僧%+得加耳

=

也可以用下面方法计算：

T=^=T^2[^V^\=1^

4.长为人质量为m的句质杆以球银链0固定，并以匀角速度。绕铅直线转动,如图所

示.如杆与铅直线的夹角为8,求杆的动能.

答：T=-ml2a>2sin25

6

解：先计算杆对轴z的转动惯量.

xsinJ)?dx=g活尸sin*@

杆的动能叫纭/犷一呐［„6

5.托架ABC缓慢地绕水平轴B转动，当角比=15”时，托架停止转动，质量m=6kg的物

块D开始沿斜面CB下滑，下滑距离s=250mm时压到刚度系数c=1.6N/m的弹簧上.已测得

弹簧最大变形4=50施利.试求物块与斜面间的静摩擦因数和动摩擦因数.

答；/=0,268/(=0,151

解：1、求静摩擦系数.

当a=15•时，物块开始下滑，所以

/=吆。=坦15°=0.268

2、求动摩擦系数。

取物块D为研究对象，ri=T2=0.

%=wg's+/l*sin15°

Wn=一用is+41=-/'•」is+N)=-/%gcosl5・(s+N)

2

Wc=-1c^,力N不作功.

由冬-4=£取

得0-0=mg(s+处sin15°-/}«gcosl5'»s+^i--^c^2

尹1f.1S.c；l11fn_1600x0,05,1

J=---------sin15-----------=----------0.259-------------------

cosl5・(0,6^g)0.96010.6x6x98)

=0.151

6.滑轮的质量为m1，半径为r,可绕光滑水平轴。转动，它对转轴的回转半径为Q.滑轮

上套着不可伸长的柔绳，绳的一端挂着质量为52的重A,而另一端则用刚度为k的铅直弹簧

BD系在固定点D.假设绳与滑轮之间无相时滑动，绳和弹簧的质量忽略不计，试求物块A的

运动微分方■程.答：（的刍•+的）元+日=0

r

解：设滑轮顺时针转过的角度为防

系统的动能

+^w2rV=1(?«1^-+?M2)rV»(1)

222r

用微分形式的动能定理dT=£/印（或机械能守恒定理）求解.

由式（1）可得祀®

又£dW=[w2g-k{6t4-r<p)]r-dq>-kr2cpdcp

根据微分形式的动能定理，得（n=+次2）户加0=-兀户/中

r

化简后即得（%冬+加2）产。一°二-kP（p,（2）

r

即：（加1与-+加2）£+京=0

7,在曲柄滑杆机构中，曲柄0A受常值转矩作用.初瞄时机构处于静止且角@=物；试

求曲柄转过一整转时的角度。假设曲柄长r,对轴。的转动惯量是滑块A的重量是5；

滑道杆的重量是G2；滑块与滑槽间的摩擦力可认为是常力并等于F.

K~J（7^0-2Fr）g

Wog+G1户+5户sin?用

解：取整体为研究对象，只有转矩〃和滑动摩爆

力作功.曲柄转动一周，角位移为2n,滑块在滑道

中行程为s=2rx2=4r

2开一?4r

初瞬时Zi=0

末瞬时，曲柄角速度为s滑块4速度％=rs.

滑道速度v=p«=PASin=r<»sin

222222

T2=—Ztf<z»+--r®+——r<2Jsin

22g2g

2

22

=——1+Gp+G2rsinI

2g

由马-看=£取

—(1,g+5,+G2r2sin2®=2._ArF

2g

_Ig(^zA/-2Fr)

0=2

[0g+G1户+5户sm义0

8.已知轮子半径是r,对转轴0的转动惯量是1。；连杆AB长？，质量是闭1，并可看成句

质细杆；滑块A质量是演2,可沿光滑直导轨滑动，滑块在最高位置（6=0"）受到微小扰动

后，从静止开始运动.求当滑块到达最低位置时轮子的角速度.各处的摩僚不计.

prg(^t4-mJ

答：。=2寸微1户+31。

解：取整体为研究对象，系统受理想约束，其反力不作功,

只有mig与m2g作功，当滑块在最低位置时，A是杆的瞬心.

v1

p0，%=口n，y,=—3——rG），

6_VB_ra>

“T=T

71=0

乙乙\，乙/\/乙乙

=7-%户+31/

0

£印=।也］+加2»gx2r

由4一方二£取

凉O\

得——胸/2+31,1=2阻僧1+防2I

6

13rgi加1+的)

0=2I------A-----------

y的,+31。

9.椭圆规机构由曲柄0A、规尺BD以及滑块B、D组成。已知曲柄长八质量是m1；

规尺长2,，质量是2加1，且两者都可以看成句质细杆；两滑块的质量都是活y整个机构被

放在水平面上，并在曲柄上作用着常值转矩试求曲柄的角加速度，各处的摩爆不计.

（3%+4%）?

人

解：取整体为研究对象，只有转矩作功。应用微分、以

形式动能定理。

dT=dW（1）

系统动能7=T0A+T曲+4+7^）

1100

%二2（可知）。，

%二g.2的（，0尸\x2wi(2?)2<2?2

1&12

（cp⑦）,&=2咫⑵Sin(p-0)

TB=—W22ZCOS

T=（尸02（3利1+4m2）

元功d'W=Mod(p

@竽/(.1+4加2)=舷0?

代入式（1）得

一、，dodcp

因为畔:=E9--=0

dtdt

%

所以£=

(3掰］+4.2)，2

10.图示机构中，直杆AB质量为m,楔块C的质量为m1，项角为6L当AB杆铅垂下降

时，推动楔块水平运动，不计各处摩擦，求楔块C与AB杆的加速度.

次mgtgdmgtgid

aac=z，a二2

mtg9+mtg9+

解：取整体为研究对象.任一瞬时

丁12J2

T=2mv^+2miVc

由七=%+，，得vAJS=v+vr

Vc="tg0(1)

所以T=g加吮+gWi^ctg20=g(活+.Ftg20)V%

二dW=mgds

由dT=Yd'W^,

1

(m+9)vAsdvj1s=mgds)两边同除以dX,得

mg

aA£=m+m^d

2

式（1）在任何时刻都成立，对式（1）求导得：ac=aj^tgd

1L在矿井提升设备中，鼓轮由两个固连在一起的滑轮组成，总质量是m,对转轴。的回

转半径是p.在半径是0的滑轮上用钢绳悬挂质量等于a1的平衡锤A,而在半径是々的滑轮

上用钢绳牵引小车B沿斜面运动.小车的质量是m2,斜面与水平面的倾角是a.已知在鼓轮

上作用着转矩m，求小车上运动的加速度和两根钢绳的拉力.钢绳的质量和摩擦都不计.

M)+(的八一啊勺sina)g勺、丁,•八、

r

答：a=------j-----J-----J——2Tx=的出----a)，＜8=w2(gsina+a)

mp+n勺+w2r2r2

解：1、由动能定理求小车加速度.取整体为研究对

象，应用微分形式定理.

dT=YdW(1)

T=+1(W？2)02+g阳宕

£dW=M0d@+啊gdS1一搐2gds2sina

考虑到巨=",d(p=&=8,代入式(1)得

也/P]、也.M勺

P2T(也2+加方+的-y)=—(—+W]g—+的gsina)

dtr；r；d£、r2

dvds)

由于---2=Cl，---=Vo

dtdt

dv2_Mo+伽1勺-加2勺sina)g

所以—222「

dtmp+演1勺+根20

2、应用质点运动微分方程求绳的拉力。

(1)取A为研究对冢。根1'=铀g-TA

北二根追一加必1=也1他一一")

弓

(2)取小车为研究对冢。fn2a=TB-w2gsina

TB=w2a+w2gsina=(a+gsina)

12.句质轮A的半径？质量是施】，可在倾角为8的固定斜面上纯滚动.勺质轮B的半

径是勺，质量是也2。水平刚度系数是c.假设系统从弹簧未变形的位置静止释放，绳与轮B

不打滑，绳的倾斜段与斜面平行，不计绳重和轴承摩擦；求轮心C沿斜面向下运动的最大距

离以及这瞬时轮心C的加速度。

答：ac=^^（沿斜面向上）

c融］+%

由,得

T2-TX=I.WO-O=/gs1Mxsm

2»2igsin&

1、求轮心C的加速度ac

设轮心C沿斜面向下运动的距离为s.

八

=0,T2=1W1VC+1

匕

「I

T2=9立+乌+3)-T

24外4r2

3212

二不F,十产匕

Z印=fn】gs•sin6-

、v2c

2

所以；14-w2।=Wjgssin-s

视s为变量，两边对时间t求导

V2

0/3ml+fn1=ngsin&v-csv

~22ce

/B2］加］gsin6-csi将S=M空吧代入得,

特

ac=----------------------

3%+%C

久=萼吧（沿斜面向上）

3m、+

13物体A质量物i，挂在不可伸长的绳索上；绳索跨过定滑轮B,另一端系在滚子C的

轴上，滚子C沿固定水平面流动而不滑动.已知滑轮B和滚子C是相同的匀质圆盘，半径都

是r,质量都是加2。假设系统在开始处于静止，试求物块A在下降高度h时的速度和加速度.

绳索的质量以及滚动摩阻和轴承摩瘵都不计.

猿3约gh㈣

答：y=-------,a=------g

、幽1+2的+2加2

解：取整体为研究对象。

?!=0

T2=TA+T£+TC

=；I%+2活2/

£取=

由T「T\=£W

得-(附1+2冽2*2=僧igh，V2=2加1旗(1)

2%+2%

2%g以

1%+2m

对式（1）两边求导得

mx+2m,

14.外啮合的行星齿轮机构放在水平面内，在曲柄0A上作用着常值转矩弧，来带动齿

轮1沿定齿轮2流动而不滑动。已知齿轮1和2分别具的质量汹］和52,并可看成半径是勺和

「2的句质图盘；曲柄具有质量m,并可看成句质细杆.已知机构由静止开始运动，试求曲柄

的角速度和转角*之间的关系.摩擦不计.

答:2SE

勺+巳)2m+9搐1

解：取整体为研究对象。

由运动学得知vA=力+々。

看二0

=*।勺+々再9活］+2m•

在水平面重力与支承力不作功，有

二甲=川加

由心一看=工用

得—(/j+々139ml+2/i=M。。

勺+0'2m+9%

15.小球具有质量m=0.2kg,在位置A时弹簧被压缩4=75mm.小球从位置A无初速

地释放后沿光滑轨道ABCD运动.已知r=150MM,求弹簧刚度系数的容许最小值.

答：c=366N/m

解：1.先求小球能沿轨道ABCD运动时在C点的最小速度vc.

在C点写出小球的动力学方程

53

v2

mg+/=man=w—,

r5

小球不脱离轨道的条件是反力外出，即

v2

m--mg>0,

在FN=O的极限情况下，有mg=w—

r

匕=病

2,再应用机械能守恒定理求解.

取弹簧不变形位置为弹性力场的零点位置，取A点为重力场的零点位置。

&=。，匕1=5©箫;方=5mT=mgx3r

乙乙

由普+嗫=%+%

得0+-c・=gmv^+mgx3r

c=366

1.已知条件和动能定理题1相同，试分别计算各物体的动量。

(a)a>/2,(b)K=muo=0

(c)K=mvc=mra>,(d)K=mvc=mra>

2,试求下列各物体系的动量：

(1)物体A和B各重％和GB,GA>GB,滑轮重G,并可看作半径为r的勺质圆盘.

不计绳索的质量，试求物体A的速度是v时整个系统的动量.

⑵正方形框架ABCD的质量是边长为L以角速度电绕定轴转动；而勺质圆盘的

质量是取“半径是r，以角速度町绕重合于框架的对角线BD的中心轴转动.试求这物体系

的动量

B

V工

n____

解：(1)K=KA^KB,K=^V-马"上9厂GB•方向向下.

ggg

II,

(2)K.=掰]，—电+Wa•万⑦]=5'"5+%d。］

方向为垂直框架平面，顺着a”前进方向。

3.物体A和B的质量分别是酒i和a2,借一绕过滑轮C的不可伸长的绳索相连，这两个

物体可沿直角三棱柱的光滑斜面滑动，而三棱柱的底面DE则放在光滑水平面上,试求当物体

A落下高度h=10cm时，三棱柱沿水平面的位移。设三棱柱的质量搐==16根2，绳索和

滑轮的质量都不计。初瞄时系统处于静止。

答：向右移动3.77m

解：取整个系统为研究对象.系统的外力只有铅直方向的重力mig、igg、mg和法向反

力N.又因系统在初瞬时处于静止，故整个系统的质心在水平方向x的位置守恒，即

三棱柱移动前系统质心的横坐标

mx+mx+mx

x=-------=----l---1-------2---2--------,

c羽］+加？+也

设三棱柱沿水平面的位移是s,则移动后系统质心的横坐标

冽151一%cot300+s1+冽JX】-----------sin30°+s+wix+si

j_\sin30")

=

啊+用2+也

由得三棱柱沿水平面向右的位移

岛l\+f»2^x4+l

s=------!--------=-------------xlO=3.17cm<>

孙+咻+根4=1+16

4.图示机构中，鼓轮A质量为加J转轴0为其质心.重物B的质量为徵“重物C的质

量为切3・斜面光滑，倾角为6.已知B物的加速度为如求轴承。处的约束反力.

R

答：M*=%一ac°sd+啊gcosdsin6

r

r2R

%.=伽］+加2+w3)g-w3gcos6+冽3—asm6-m^a

解；取系统为研究对冢.

气r

—=—所以

ac=­a

aR

由质心运动定理

二昭3=R

mzaccos9--JVsin9,其中2v'n^gcose

m3acsinQ-m^a-N0y—(也1+也2+^)g+Nc4sB

R

解得N°x-叫一acos0=m3gcos6sin9

r

2R

N0y=伽］+加2+切3)-w?gcos9-mz—asin9-m^a

5.匀质圆盘质量是n半径是r,可绕通过边缘。点且垂直于盘面的水平轴转动.设国盘

从最高位苴无初速地开始绕轴。转动,试求当圆盘中心C和轴。的连线经过水平位置的随时,

轴承0的总反力的大小.

胶"而

答:No=~^~tng

解一：设圆盘的中心C'与轴。的连线与铅垂线成任意角度/,园

盘所受的外力和质心的加速度如图(b).

由质心运动定理，有

ma0=mrq^=Nx+mgcos(p(1)

(0s

由积分形式的动能定理，有

*-。=

mgri1-cosqi

即mgr'l-cos(p)8)

故/■/=ggtl-COS0

(3)

把上时两端对时间t求导.得

故

也可由微分形式的动能定理求出。，通过积分得。.

当e=工时，把式(3)和(4)分别代入式(1)和(2),得

2

“4

M=Jg，

11r21

Jv2=mg--mg=-mgo

总反力N的大小为

N=+咫=wg«

解二：可由刚体定轴转动微分方程1,0=Z也,(20求。和0

(5用户+wr2J^=wgrsin(p

，.2g

故<p=—sin<p,

3r

因为。=丝.竺=史空，积分有

dtdtpd(p

(和。二,1：smR。

福

02=—'1-COS<Z>I»

把式(5)和(6)分别代入式(1)和(2),可求出反力N1和Nm

解三可分别应用动能定理由式(3)求出角速度。，应用刚体定轴转动微分方程由式(5)

求出角加速度“，再根据质心运动定理由式(1)和(2)求反力Ni和N?.

解四：根据达朗伯原理，在质心C'上加惯性力0〈=一网先，

6=一»J火以及矩为的惯性力偶(图0,有

EF*=O,N、=-tngcos@

g%=0,忆=mrip-mgsin(p,

Zm0(F)=0,Zc^?+mrcfr-mgrsin0=0,

即

-2g

r0=—sin6

显然，以上三式分别与式(l)s(2)s(4)相同.

也可以在点。上加惯性力0%=一池上和。,=一切以及矩为一/源的惯性力偶(图4,

仍可得到相同的结果.

6.匀质曲柄0A重5,长r,受力偶作用以角度。转动，并带动总重色的滑槽、连杆和

活塞B作水平往复运动。已知机构在铅直面内，在活塞上作用着水平常力F.试求作用在曲

柄0上的最大水平分力。滑块质量和摩擦都不计.

2

答：叫=尸+受(G+2G?)

2g

解一:取整个系统为研究对象,受力如图a所示。

将质心运动定理的方程投影到水平轴x上,可得

(1)

其中

二mx_GJ0.5/CQSa)t)4-G2+rco

G]+G.

——?——叵+2弓

rcos0r4-2G2Z>]

f

2(G1+G2r

故x=----------•5+2G202cos(Dt,(2)

c2iG]+G?)

:寸..cacos魏(r2,2)COSa

k尔=-IGg+GA)-------=-Gx—ar+G2xr(D--------

12gI