九年级数学学习·探究·诊断(上册)

第二十一章二次根式

测试1二次根式

学习要求

掌握二次根式的概念和意义，会根据算术平方根的意义进行二次根式的运算.

课堂学习检验

一、填空题

1.”7^表示二次根式的条件是.

2.当x____时，J--2—有意义，当x______时，不二有意义.

VX—1Jx+3

3.若无意义&工，则x的取值范围是.

4.直接写出下列各式的结果：

(1)749=：⑵(近1;(3)(-V7)2;

⑷-必了______；(5)(765)2;⑹［而了］2.

二、选择题

5.下列计算正确的有().

①(_a)2=2②口=2③正2)2=2④(G)2=-2

A.①、②B.③、④c.①、③D.②、④

6.下列各式中一定是二次根式的是().

A.V-32B.J(-0.3)2C.7^2D.Vx

7.当x=2时，下列各式中，没有意义的是().

A.Jx-2B.xC.7X2-2D.V2-x2

8.已知J(2a-1)2=1-2a,那么a的取值范围是().

A1

A.d>一B.a<—C.a>-D.a<-

2222

三、解答题

9.当x为何值时，下列式子有意义?

⑴Tit；⑵C7；

(4)^11.

(3)Vx2+l;

⑺2+x

10.计算下列各式:

⑵(“2+1)2；(3)-2x^(-1)2：

(1)(3扬2；(4)(-3序.

综合、运用、诊断

一、填空题

H.表示二次根式的条件是.

12.使翁有意义的x的取值范围是.

13.已知JE+JK=y+4,则/的平方根为

14.当x=-2时，yl\-2x+x2-Vl+4x4-4x2=.

二、选择题

15.下列各式中，X的取值范围是x>2的是().

A.Jx-2B.-----c.1D

Vx-2A/2-x-V2ZT

16.若lx—51+2Jy+2=0,则x—y的值是().

A.-7B.-5C.3D.7

三、解答题

17.计算下列各式：

22⑶招尸］2;3

⑴J(3.14—兀尸；(2)-(-V3);(4)W,9

18.当a=2,6=—1,c=-1时，求代数式一"土?-史上的值.

拓广、探究、思考

19.已知数a,b,c在数轴上的位置如图所示：---c-7-0---------r~

化简：肝-1a+cI+J(c-6)2-1-61的结果是:

20.已知△ABC的三边长a,b,c均为整数，月.a和b满足而与+川-6b+9=0.试求

△ABC的c边的长.

测试2二次根式的乘除（一）

学习要求

会进行二次根式的乘法运算，能对二次根式进行化简.

课堂学习检测

一、填空题

1.如果y/4xy=2y/x-后成立，x,y必须满足条件.

；(2)(-3七)(-4病=

2.计算：（1）后x

(3)-27(127x7(103=

3.化简：(1),49x36=；(2)70.81x0.25=；(3)-745=

二、选择题

4.下列计算正确的是（).

A.V2-V3=75B.V2-V3=V6C.78=4D.7^37=-3

5.如果Vx-Jx-3=Jx(x-3)，那么().

A.B.工23C.0«3D.x为任意实数

行的值是（

6.当x=-3时,).

A.±3B.3C.—3D.9

三、解答题

7.计算：（1）后x后;⑵-5百x(-3石);⑶3五x2痘

27(5)-Jab2a2b

(4)l25；

3Va⑹归5a'

(7)V(-7)2X49;(8)V132-52;⑼472x2丫7.

8.已知三角形一边长为0cm,这条边上的高为疵cm,求该三角形的面积.

综合、运用、诊断

一、填空题

9.定义运算“@”的运算法则为：x@y=J可，+4,则（2@6）@6=

10.已知矩形的长为2辰m,宽为“5cm,则面积为cm2.

11.比较大小：（1）3后___273；（2）5724A/3；（3）-272一几

二、选择题

12.若4a2b=-a、份成立，则a,〃满足的条件是（）.

A.。＜0且匕＞0B.aWO且b20C.。＜0且b20D.a,b异号

13.把412；根号外的因式移进根号内,结果等于().

A.-VTTB.vnC.-V44D.2VTT

三、解答题

14.计算：（1）5而＞3而=;(2)也7。2+9八2=；

(4)V3-(V3+712)=.

15.若（x—y+2）2与Jx+y-2互为相反数,求（x+y）x的值.

拓广、探究、思考

16.化简：（1）（五+1严（五-1）"=；

（2）J（石+1）.（6-1）=.

测试3二次根式的乘除（二）

学习要求

会进行二次根式的除法运算，能把二次根式化成最简二次根式.

课堂学习检测

一、填空题

1.把卜列各式化成最简二次根式：

(1)712=；(2)7187=；(3)748?/=；⑷/

(5)Jg=______;(6)J4g=______；(7)Jx，+3/=

2.在横线上填出一个最简单的因式，使得它与所给二次根式相乘的结果为有理式，如：372

与立

(1)2百与；(2)V32与

(3)y/3a与；(4)板7与⑸后与

二、选择题

A.xVl且xWOB.x>0且C.OVxWlD.0<x<l

4.下列计算不正确的是（）.

C.-V2D.-y/2

84

三、计算题

(3)“s(4)-5775-2V125;

J3

⑸余(6)6尺3底⑻+；J0」25.

综合、运用、诊断

一、填空题

7.化简二次根式：（1）五x"=.⑵.(3)-

8

8.计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：

⑴5=——⑵/——⑶拿=--------⑷Q---------

9.已知1.732,则g=；727».(结果精确到0.001)

二、选择题

10.已知a=Q+1,b=T—,则。与的关系为().

V3-1

A.a=bB.ab=]C.a=­bD.ab=—1

11.下列各式中，最简二次根式是（).

A.EB.:

C.Vx2+4D.J5a2b

\x-y\h

三、解答题

计算:⑴。(2)J12盯+,77；。+b

12.・Jabx⑶

>Ja+b

13.当x=4-后,丁=4+拒时，求和xj+fy的值.

拓广、探究、思考

14.观察规律：-1—=拒-1,——-——=V3-V2,―i—=2-75,...并求值.

V2+16+62+V3

(1)r-r==_______；(2)I—]I—=_______；(3)-j=~\------=_______•

J7+2J2Vil+V10y/n+Vn+1

15.试探究、(A/^)2与a之间的关系.

测试4二次根式的加减（一）

学习要求

掌握可以合并的二次根式的特征，会进行二次根式的加、减运算.

课堂学习检测

一、填空题

1.下列二次根式任，后,痴,2次，屈化简后，与血的被开方数

相同的有______，与J3的被开方数相同的有一一，与J5的被开方数相同的;

2.计算：（1）至+3^=________；（2）

3y[x-V4x=__________・

二、选择题

.化简后，与后的被开方数相同的二次根式是（

3）.

A.V10B.历C.

4.下列说法正确的是（）.

A.被开方数相同的二次根式可以合并B.我与胸可以合并

C.只有根指数为2的根式才能合并D.血与病不能合并

5.下列计算，正确的是（）.

A.2+>/3=273B.572-72=5

C.5-j2a+-Jia=D.y[y+2y[x=3y[xy

三、计算题

6.973+7V12-5A/48?7.V24+V12-V6^

8-1/I+/+咫9,（V12-4©-*-4历）

10.3岳-5次I+7V1获11.河6卜

综合、运用、i公断

一、填空题

12.已知二次根式",与国法是同类二次根式，（a+b）"的值是.

13.2厢7与6%色无法合并，这种说法是______的.（填“正确"或'‘错误”）

3\2b

二、选择题

14.在下列二次根式中，与、石是同类二次根式的是（）.

A.>/2aB.73a7C.后D."

三、计算题

15.M--^-^+（75-1）°.16.-（V2+A/3）--（V2-V27）.

A/2224

18.2a-b*+—y[a^b-[-Jab3.

四、解答题

19.化简求值：y,其“ix=4,>=

20.当工=—二三时，求代数式，-4x+2的值.

2-V3

拓广、探究、思考

21.探究下面的问题：

（1）判断下列各式是否成立?你认为成立的，在括号内画“，”，否则画“X”.

①、2+?2=2心(£（）

)②小+”

33

③卜+5=4A（）

)

524

（2）你判断完以上各题后，发现了什么规律?请用含有，，的式子将规律表示出来，并写出

n的取值范围.

（3）请你用所学的数学知识说明你在（2）题中所写式子的正确性.

测试5二次根式的加减（二）

学习要求

会进行二次根式的混合运算，能够运用乘法公式简化运算.

课堂学习检测

一、填空题

1.当。=时，最简二次根式J2a—1与一J3a-7可以合并.

2.若a=出+2,b=V7—2,那么a+6=，ab=.

3.合并二次根式：（1）病+（-炳）=⑵一5x

二、选择题

4.下列各组二次根式化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是（

A.4ab与^ab2

C.Vm2+n2与y/m2—n2

5.下列计算正确的是().

A.(2^[a+4b)(-Ja-4b)=2a-bB.(3+石产=9+3=12

C.V6-(V3+V2)=V2+V3D.(2石-扬2=12_476+2=14-476

6.(3-收)(2+6)等于().

A.7B.6-V6+373-272

C.1D.V6+3V3-2V2

三、计算题(能简算的要简算)

8.(V2-V12)(V18+V48).

9.10.(-V3+V8)(V8--V3).

22

2

11.(10748-6后+4712)4-76?12.(V12-2Vi8).

综合、运用、诊断

-**、填空题

13.（1）规定运算：（“%）=Ia-bI,其中a,。为实数，贝1」（6*3）+屿=

（2）设。=逐，且b是a的小数部分，则a-3=.

—、选择题

14.与—的关系是（）.

A.互为倒数B.互为相反数C.相等D.乘积是有理式

15.下列计算正确的是（）.

A.+>[b）〜=a+b

C.yja2+b2=a+b

三、解答题

"61+痣17.必盅+；）-岩里

16.

F2~'yl2y/2

18.（1+行严8（1-/严上19.（五+而2一（〃■一回2.

四、解答题

20.已知x二6+V2,y=6-V2,求⑴/一孙+9；（2*y+盯3的值.

21.已知X=K-2,求（9+4石）-—（7?+2）*+4的值.

拓广、探究、思考

22.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式

互为有理化因式.如：JZ与3+m与3-而互为有理化因式.

试写下列各式的有理化因式：

(1)572与；(2)y/x-2y与；(3)4mn与:

(4)2+当与；(5)3+2后与；(6)3丘-26与.

23.已知收々1.414,6之1.732,求太+(6-0).(精确到0.01)

第二十二章一元二次方程

测试1一元二次方程的有关概念及直接开平方法

学习要求

1.掌握一元二次方程的有关概念，并应用概念解决相关问题.

2.掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法.

课堂学习检测

一、填空题

1.一元二次方程中，只含有个未知数，并且未知数的次数是2.它的一般形

式为.

2.把2?—1=8化成一般形式为，二次项系数为,一次项系数为,

常数项为.

3.若（k+4）x2-3x-2=0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是.

4.把（x+3）（2x+5）—x（3x—1）=15化成一般形式为,a-,b=,c=.

5.若（团一2）/人2+工—3=0是关于x的一元二次方程，则m的值是.

6.方程y2—12=0的根是______.

二、选择题

7.下列方程中，一元二次方程的个数为（）.

2

(1)2?—3=0(2)X2+/=5⑶&-4=5(4)X+4=2

厂

A.1个B.2个C.3个D.4个

2[

8.在方程：3x2-5x=0,"+=x+5,7x2—6xy+y2=0,ax2+2x+x2+=0,2x~-------3=0,

3X

3X2—3X=3X2—1中必是一元二次方程的有（).

A.2个B.3个C.4个D.5个

9.f-16=0的根是().

A.只有4B.只有一4C.±4D.±8

10.3*2+27=0的根是().

A.X|=3,X2=-3B.x=3

C.无实数根D.以上均不正确

三、解答题（用直接开平方法解一元二次方程）

11.2y2=8.12.2(x+3)2—4=0.

2

13.1(X+1)=25.14.(2x+l)=(x-l)2.

4

综合、运用、诊断

一、填空题

15.把方程石-五=^x+x化为一元二次方程的一般形式（二次项系数为正）是

一,一次项系数是.

16.把关于x的一■元二次方程(2——"(3—x)+1=0化为一般形式为

次项系数为，一次项系数为,常数项为.

17.若方程2自2+x一忆=0有一个根是一1,则4的值为.

二、选择题

18.下列方程：(x+1)(x—2)=3,/+y+4=0,(x—I)2—x(x+l)=x,x+—=0,

x

4r3—2^=4,」(炉+3)=后,其中是一元二次方程的有().

2

A.2个B.3个C.4个D.5个

19.形如of+辰+c=0的方程是否是一元二次方程的一般形式，下列说法正确的是().

A.〃是任意实数B.与b,c的值有关

C.与。的值有关D.与。的符号有关

20.如果x=g是关于x的方程2^+3以-2a=0的根，那么关于y的方程/-3=a的解是

().

A.+V5B.±1C.±2D.±V2

21.关于x的一元二次方程(x-&)2+k=0,当我＞0时的解为().

A.k+4kB.k-4kC.k土口D.无实数解

三、解答题(用直接开平方法解卜列方程)

22.(3x—2)(3x+2)=8.23.(5-2x)=9(x+3)2.

24.2—y4)----6=0.25.(x-m)2=n.(n为正数)

拓广、探究、思考

26.若关于x的方程(&+1)/—(k—2)x—5+&=0只有唯一的一个解，则k=,此方程的

解为•

27.如果(〃[-2)*碗'1=0是关于x的一元二次方程，那么"?的值为().

A.2或一2B.2C.-2D.以上都不正确

28.已知关于x的一元二次方程(团-1)/+2^+"/-1=0有一个根是0,求加的值.

29.三角形的三边长分别是整数值2cm,5cm,kcm,且k满足一元二次方程2炉一9k—5=0,

求此三角形的周长.

测试2配方法与公式法解一元二次方程

学习要求

掌握配方法的概念，并能熟练运用配方法与公式法解一元二次方程.

课堂学习检测

一、填空题

1.X2—8x+________=(x-__________)2

3.

2.x2—X十_________=(x_________)2

2

3.X2-px+________=(x-____—)2

b.

4.X2——X十_________=(x-________)2

5.关于x的一元二次方程a『+fer+c=O（aNO）的根是.

6.一元二次方程（2X+1）2-（X-4）（2A-1）=3X中的二次项系数是,一次项系数是

，常数项是.

二、选择题

7.用配方法解方程1=0应该先变形为（）.

3

A.B./1、28

3939

「,J10U-|)2=0

C.(%--)=—D.

39

8.用配方法解方程/+2x=8的解为（).

A.Xj=4,必二―2B.x\=—10,%2=8

C.%i=10,工2=—8D.xi=-4,X2=2

9.用公式法解一元二次方程2x,正确的应是（）.

4

.-2±752±V5

A.x-2B.x-2

广1+751±V3

C.x=-2—D.x2

10.方程加4x+1=0（机V0）的根是（).

2±V4-/n

A.-B.

4tn

_2±2)4-〃z2±机J4一加

C.-------m--------D.m

三、解答题（用配方法解一元二次方程）

11.%2-2%—1=0.12.J-6y+6=0.

四、解答题（用公式法解一元二次方程）

13.x2+4x~3=0.14.V3x2-x-273=0.

五、解方程（自选方法解一元二次方程）

15.x2+4x=-3.16.5『+4x=l.

综合、运用、诊断

一、填空题

17.将方程-+X+百=3-2瓜化为标准形式是,其中a=

_,b=,c=.

18.关于x的方程f+mx—8=0的一个根是2,则加=,另一根是.

二、选择题

19.若关于尢的二次三项式/—or+Zz—3是一个完全平方式，则。的值为（）.

A.-2B.-4C.-6D.2或6

20.4』+49），2配成完全平方式应加上（）.

A.14xyB.-14xy

C.±28xyD.0

21.关于工的一元二次方程向+缶2=3ax的两根应为（）.

-y/2±a

B.,---a

2

2土小

D.±y[la

三、解答题（用配方法解一元二次方程）

22.3%2—4x=2.23.x?+2mx=n.(〃+m20).

四、解答题（用公式法解一元二次方程）

24.2x~\=~2x.25.31+1=2氐

26.2(x—I)2—(x+1)(1—x)=(x+2)2.

拓广、探究、思考

27.解关于x的方程：x2+〃zx+2=mx2+3x.(其中1)

28.用配方法说明：无论x取何值，代数式/一人+5的值总大于0,再求出当x取何值时,

代数式f一人+5的值最小?最小值是多少？

测试3一元二次方程根的判别式

学习要求

掌握一元二次方程根的判别式的有关概念，并能灵活地应用有关概念解决实际问题.

课堂学习检测

一、填空题

1.一元二次方程af+法+c=0(a¥0)根的判别式为△=/—4ac,

(1)当&/C。时，方程有两个不相等的实数根；

(2)当/一&zc0时，方程有两个相等的实数根：

(3)当/一面0时，方程没有实数根.

2.若关于X的方程》2一入一机=0有两个相等的实数根，贝lj〃?=.

3.若关于x的方程2x—A+1=0有两个实数根，则k.

4.若方程(x—"?尸=机+团2的根的判别式的值为0,则m=.

二、选择题

5.方程,-3x=4根的判别式的值是().

A.-7B.25C.±5D.5

6.一元二次方程a』+bx+c=0有两个实数根，则根的判别式的值应是().

A.正数B.负数C.非负数D.零

7.下列方程中有两个相等实数根的是().

A.7?-x-l=0B.9X2=4(3X-1)

C.X2+7X+15=0D.-怎-2=0

8.方程/+2百*+3=0有().

A.有两个不等实根B.有两个相等的有理根

C.无实根D.有两个相等的无理根

三、解答题

9.1为何值时,方程fc?_&+9=0有：⑴不等的两实根；⑵相等的两实根；(3)没有实根.

10.若方程(a—l)x2+2(a+l)x+a+5=0有两个实根，求正整数。的值.

II.求证：不论"，取任何实数，方程--（〃?+1）》+丝=0都有两个不相等的实根.

2

综合、运用、诊断

一、选择题

12.方程。，+加+。=0（。^0）根的判别式是（).

-b±ylb~-4ac

A.B.yjb2-4ac

2

C.b2~4acD.abc

13.若关于i的方程a+i/二i—火没有实根，则攵的取值范围是（).

A.k<iB.k<-\C.k2lD.k>l

14.若关于x的方程3丘2+1级+攵+1=0有两个相等的实根，则上的值为（）.

19

A.-4B.3C.-4或3D.2或一二

23

15.若关于x的一元二次方程（加一1）/+2m/+阳+3=0有两个不等的实根，则”的取值范围

是（）.

33

A.m<—B.机<一且mWl

22

33

C.机«—且mHlD.m>—

22

16.如果关于x的二次方程。（1+/）+2以=c（l—i）有两个相等的实根，那么以正数a,b,c

为边长的三角形是（）.

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.任意三角形

二、解答题

17.已知方程〃i/+mx+5=机有相等的两实根，求方程的解.

18.求证：不论人取任何值，方程（必+1）/一2人:+（炉+4）=0都没有实根.

19.如果关于冗的一元二次方程2x（ax—4）—f+6=0没有实数根，求。的最小整数值.

20.已知方程『+2%—加+1=0没有实根，求证：方程f+/wx=l—2m一定有两个不相等的

实根.

拓广、探究、思考

21.若a,b,c,d都是实数，且ah=2(c+d),求证：关于x的方程f+〃x+c=O,x2~\~bx+

d=0中至少有一个方程有实数根.

测试4因式分解法解一元二次方程

学习要求

掌握一元二次方程的重要解法——因式分解法.

课堂学习检测

一、填空题(填出下列一元二次方程的根)

1.X(J—3)=0.2.(2x—7)(x+2)=0.

3.3X2=2X.4.X2+6X+9=0.

5.V2X2-25/3X=0.6.(1+V2)x2=(1-V2)x.

7.(%—1)2—2(x-1)=0..8.(x-1)2—2(x—1)=—1.

二、选择题

9.方程。一〃)。+份=0的两根是().

A.X\=a9X2=bB.x\=a,x?=­b

C.X]=­〃,x^=bD.x\=­a,xi=­b

10.下列解方程的过程，正确的是().

A.x2=x.两边同除以x,得x=l.

B.¥+4=0.直接开平方法，可得x=±2.

C.(x—2)(x+1)=3X2.Vx—2=3,x+1=2,/.j|=5,孙=1・

2

2

D.(2-3X)+(3X-2)=0.整理得3(31一2)。-1)=0,A=-,x2=1.

三、解答题(用因式分解法解下列方程，*题用十字相乘法因式分解解方程)

11.3x(x—2)=2(%—2).12.y/3x2=x.

*13.x2_3x-28=0.14.x2—hx-2h2=0.

*15.(2X-1)2-2(2X-1)=3.*16.2X2~X—15=0.

四、解答题

17.x取什么值时，代数式f+8x—12的值等于2?+x的值.

综合、运用、诊断

一、写出下列一元二次方程的根

18.V2X2-2X=0.__________________.

19.(x-2)2=(2X+5)2._______________________.

二、选择题

20.方程x(x—2)=2(2—x)的根为().

A.-2B.2C.±2D.2,2

21.方程(工一1尸=1一X的根为().

A.0B.-1和0C.1D.1和。

a1a

22.方程(X-士)2+*一与*一士)=0的较小的根为().

424

3I„5c3

AA.----BD・—C.-D.一

三、用因式分解法解下列关于X的方程

23.-5x=—%2.24.4(x+3)2—(x—2f=0.

2

25.x2-“x+宁-r=0.26.abx2-(a2+b2')x-{-ab=O.(abWO)

四、解答题

27.已知关于x的一元二次方程mx2—(ni2+2)x+2m=0.

(1)求证：当“取非零实数时，此方程有两个实数根;

(2)若此方程有两个整数根，求m的值.

测试5—元二次方程解法综合训练

学习要求

会用适当的方法解一元二次方程，培养分析问题和解决问题的能力.

课堂学习检测

一、填空题(写出下列一元二次方程的根)

1.3(x~1)2_1=0.__________________

2.(2x+l)2-2(2r+1)=3.

3.3x2—5x+2=0.__________________

4.x—4x_6=0.__________________

二、选择题

5.方程/一4x+4=0的根是().

A.x=2B.XI=X2=2C.X=4D.XI=%2=4

6.：/+0.7=2.5的根是（）.

A.x=3B.x=±3C.x=±9D.x=±V3

7./7%2-》=0的根是（）.

Ax=

•人一旦7B.x{=0,x2

C.X|=0,x2=y/1D.X=y[7

8.（X—1）2=%一1的根是（）.

A.x—2B.x=0或x=l

C.x=\D.41或42

三、用适当方法解下列方程

9.6x2—JC—2=0.10.（x+3）（;t—3）=3.

11.x1—2inx+m2-n2=0.12.为2?—5ax+2=0.（a#0）

四、解下列方程（先将你选择的最佳解法写在括号中）

13.5X2=X.（最佳方法：）

14.X2-2X=224.（最佳方法：）

15.6X2-2X-3=0.（最佳方法：）

16.6—2X2=0.（最佳方法：）

17.X2-15X-16=0.（最佳方法：）

18.4X2+1=4X.（最佳方法：）

19.(x-l)(x+l)-5x+2=0.(最佳方法：)

综合、运用、诊断

一、填空题

X2-7r-8

20.若分式已~~巴上的值是0,则％=.

X+1

21.关于/的方程f+Zax+M—/=0的根是.

二、选择题

22.方程3X2=0和方程5X2=6LX的根().

A.都是40B.有一个相同，x=0

C.都不相同D.以上都不正确

23.关于x的方程"f—(〃2+辰)尤+。力=036/0)的根是().

.2b2anba

A.Xj=—,%2=—B.X|=一,%2=一

abab

2t2

C.々==营,%=0D.以上都不正确

1ab/

三、解下列方程

24.(X+1)2+(X+2)2=U+3)2-25.(y-5)&+3)+。-2)(j+4)=26.

26.—3x+V2-0.27.日2一伙+i)x+l=0.

四、解答题

28.已知：f+3孙一4)2=0(yW0),求上？的值.

x+y

29.已知：关于x的方程2x2+2(a—c)x+(a—b)2+(b—c)2=0有两相等实数根.

求证：a-\-c=2b.(a,b,c是实数)

拓广、探究、思考

22

30.若方程3x+bx+c=0的解为xj=l,x2=—3,则整式3x+bx+c可分解因式为

31.在实数范围内