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文档简介
安徽省怀远三中2022届第五次月考数学(理科)试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一.选择题(每小题5分,共8小题,共40分),把答案涂在答题卡上.1已知,,则和的大小关系中正确的是 A.< B. C.> D.2.已知平面向量,且∥,则=A.(-2,-4) B.(-3,-6) C.(-4,-8) D.(-5,-10)3.已知集合,则=A. B. C. D.4.已知,是平面,,是直线,给出下列命题①若,,则.②若,,,,则.③如果.n是异面直线,那么相交.④若,∥,且,则∥且∥.其中正确命题的个数是A.4 B.3 C.2 D.15.将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,然后再将图象向左平移1个单位,所得图象的函数表达式为A. B.C. D.6.设函数定义如下表,数列满足,且对任意自然数都有,则1234541352A.1 B.2 C.4 D.57.已知函数,,无理数是自然对数的底,则A. B. C. D.8.如图所示,墙上挂有一块边长为2的正方形木板,上面画有振幅为1的正弦函数半个周期的图象,这部分图象与正方形的一边围成图中的阴影区域.某人向此板投镖,假设每次都能击中木板并且击中木板上每个点的可能性都一样,则他击中阴影区域的概率等于A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题共100分)二.填空题:(本大题共6小题;每小题5分,共30分)9.数列中,,,则.10已知,则的最小值等于.11.已知展开式中所有项的二项式系数的和等于32,则其展开式中的常数项为.12.已知,,则=.13.已知是以2为周期的偶函数,且当时,,若在区间内,函数有4个零点,则实数的取值范围是.14.下图是一个物体的三视图,根据图中尺寸(单位:cm),可求得该物体的体积为cm3.三.解答题.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(共6小题,共80分)15.(本小题满分12分)在△ABC中,角A.B.C的对边分别为..,且满足.(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)设,求的最小值.16.(本小题满分12分)某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行4次统一测试,学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不再参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加4次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是,每次测试时间间隔恰当,每次测试通过与否互相独立.(=1\*ROMANI)求该学生在前两次测试中至少有一次通过的概率;(=2\*ROMANII)如果考上大学或参加完4次测试,那么测试就结束.记该生参加测试的次数为,求的分布列及的数学期望.17.(本题满分14分)如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)被平面DEF所截而得.AB=2,BD=1,CE=3,AF=,O为AB的中点.(=1\*ROMANI)当时,求证:OC//平面DEF;(=2\*ROMANII)当时,求平面DEF与平面ABC相交所成且为锐角的二面角的余弦值;(=3\*ROMANIII)当为何值时,在DE上存在点P,使CP平面DEF?18.(本小题满分14分)某工厂生产了一批产品共有100件,尺寸大小属于区间,或,的为合格品,属于区间,的为优等品.根据尺寸大小按如下区间进行分组:,.,.,.,.,,得到这批产品的频率分布直方图如图所示(单位:).(=1\*ROMANI)求这批产品中合格品与优等品共有多少件?(=2\*ROMANII)只有合格品与优等品才可以在市场上销售,且优等品的售价每件不超过31元,优等品的售价不低于合格品的售价.当合格品的售价为每件元,优等品的售价每件元时,合格品的销售量为件,优等品的销售量为件,那么.分别为多少时,这批产品的销售总量最大,最大销售总量是多少件?55尺寸()O3419.(本题满分14分).等差数列中,,为方程的两根,前项和为.等比数列的前项和(为常数).(=1\*ROMANI)求;(=2\*ROMANII)证明:对任意,;(=3\*ROMANIII)证明:对任意,.20.(本小题满分14分)已知函数.(=1\*ROMANI)当时,求函数的极值;(=2\*ROMANII)若函数的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2,求证:;(=3\*ROMANIII)对任意的图像在处的切线的斜率为,求证:是成立的充要条件.参考答案一.选择题(58=40)BCACACDA二.填空题(56=30)9.110.411.212.13.14.256+64π三.解答题:(共6小题,共80分)15.(本小题满分12分)在△ABC中,角A.B.C的对边分别为..,且满足.(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)设,求的最小值.解:(I)由正弦定理,有,,代入(2a-c)cosB=bcosC,得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.……………4分即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA.…………6分∵0<A<π,∴sinA≠0.∴cosB=.…………………7分∵0<B<π,∴B=.…………8分(II)=-sinA+1……10分由B=得A∈(0,)……11分所以,当时,取得最小值0.…………12分16.(本小题满分12分)某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行4次统一测试,学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不再参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加4次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是,每次测试时间间隔恰当,每次测试通过与否互相独立.(=1\*ROMANI)求该学生在前两次测试中至少有一次通过的概率;(=2\*ROMANII)如果考上大学或参加完4次测试,那么测试就结束.记该生参加测试的次数为,求的分布列及的数学期望.解:(=1\*ROMANI)记“该生在前两次测试中至少有一次通过”的事件为事件A,则P(A)=---4分答:该生在前两次测试中至少有一次通过的概率为---5分(=2\*ROMANII)参加测试次数ξ的可能取值为2,3,4, ---6分P(ξ=2)=,P(ξ=3)=C ,P(ξ=4)=, -----9分故ξ的分布列为:234Eξ=2×+3×+4×= -----12分17.(本题满分14分)如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)被平面DEF所截而得.AB=2,BD=1,CE=3,AF=,O为AB的中点.(=1\*ROMANI)当时,求证:OC//平面DEF;(=2\*ROMANII)当时,求平面DEF与平面ABC相交所成且为锐角的二面角的余弦值;(=3\*ROMANIII)当为何值时,在DE上存在点P,使CP平面DEF?(=1\*ROMANI)证:取DF的中点G,连结GE.由三棱柱得,AF//BD//CE,而BD=1,AF=5,∴四边形ABDF为梯形,∵OG为梯形ABDF的中位线∴OG//AF,且OG=3而CE//AF,且CE=3∴OGCE∴四边形OCEG为平行四边形∴GE//OC3分又OC平面DEF,GE平面DEF∴OC//平面DEF4分xyz(=2\*ROMANII)以直线OB.OC分别为轴.轴建立如图所示的空间直角坐标系,AF=,则D.E.F的坐标分别为:D(1,0,1).E(0,,3).F(-1,0,4),xyz∴=(-1,,2),=(-2,0,3)5分设平面DEF的法向量,由得可取6分平面ABC的法向量可以取7分∴8分∴平面DEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为.9分(=3\*ROMANIII)在(=2\*ROMANII)的坐标系中,AF=,=(-1,,2),=(-2,0,-1).因P在DE上,设,则∴11分于是CP平面DEF的充要条件就为12分由此解得,13分5尺寸()O34即当=2时,在DE上存在靠近D的第一个四等分点P,使CP平面DEF5尺寸()O3418.(本小题满分14分)某工厂生产了一批产品共有100件,尺寸大小属于区间,或,的为合格品,属于区间,的为优等品.根据尺寸大小按如下区间进行分组:,.,.,.,.,,得到这批产品的频率分布直方图如图所示(单位:).(=1\*ROMANI)求这批产品中合格品与优等品共有多少件?(=2\*ROMANII)只有合格品与优等品才可以在市场上销售,且优等品的售价每件不超过31元,优等品的售价不低于合格品的售价.当合格品的售价为每件元,优等品的售价每件元时,合格品的销售量为件,优等品的销售量为件,那么.分别为多少时,这批产品的销售总量最大,最大销售总量是多少件?解:(=1\*ROMANI)组距等于0.5,得到合格品与优等品的频率之和为所以,合格品与优等品共有90件.4分(=2\*ROMANII)由(=1\*ROMANI)可得,这批产品中,合格品有50件,优等品40件,则.满足的约束条件为即7分据此作出可行域如图中的阴影所示10分销售总量为11分作出直线:,平移直线过点时,取得最大值85,12分此时,合格品的销售件数为件优等品的销售件数为件13分所以,当合格品的销价为每件23元且优等品的销售价为每件31元时,这批产品的销售总量最大,最大销售总量为85件.14分19.(本题满分14分).等差数列中,,为方程的两根,前项和为.等比数列的前项和(为常数).(=1\*ROMANI)求;(=2\*ROMANII)证明:对任意,;(=3\*ROMANIII)证明:对任意,.(=1\*ROMANI)解:由得,∴,∵为等比数列∴∴=3分(=2\*ROMANII)证明:方程的两根为3.7,由知,∴∴等差数列的公差∴∴6分要证,只要证明即下面用数学归纳法证明成立(=1\*romani)当,2,3时,不等式显然成立,(=2\*romanii)假设当()时,不等式成立,即当+1时,即,此时不等式也成立.由(=1\*romani)(=2\*romanii)知,对任意,成立.所以,对任意,.10分(=3\*ROMANIII)证明:由(=2\*ROMANII)已证成立,两边取以3为底的对数得,∴∴∴14分20.(本小题满分14分)已知函数.(=1\*ROMANI)当时,求函数的极值;(=2\*ROMANII)若函数的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2,求证:;(=3\*ROMANIII)对任意的图像在处的切线的斜率为,求证:是成立的充要条件.20.解:(=
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