安徽省怀远三中2022届第五次月考

安徽省怀远三中2022届第五次月考数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题（每小题5分，共8小题，共40分），把答案涂在答题卡上．1已知，，则和的大小关系中正确的是 A．< B． C．> D．2．已知平面向量，且∥，则=A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-4，-8） D．（-5，-10）3．已知集合，则=A． B． C． D．4．已知，是平面，，是直线，给出下列命题①若，，则．②若，，，，则．③如果．n是异面直线，那么相交．④若，∥，且，则∥且∥．其中正确命题的个数是A．4 B．3 C．2 D．15．将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，然后再将图象向左平移1个单位，所得图象的函数表达式为A． B．C． D．6．设函数定义如下表，数列满足，且对任意自然数都有，则1234541352A．1 B．2 C．4 D．57．已知函数，，无理数是自然对数的底，则A． B． C． D．8．如图所示，墙上挂有一块边长为2的正方形木板，上面画有振幅为1的正弦函数半个周期的图象，这部分图象与正方形的一边围成图中的阴影区域．某人向此板投镖，假设每次都能击中木板并且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影区域的概率等于A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题：（本大题共6小题；每小题5分，共30分）9．数列中，，，则．10已知，则的最小值等于．11．已知展开式中所有项的二项式系数的和等于32，则其展开式中的常数项为．12．已知，，则=．13．已知是以2为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是．14．下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm），可求得该物体的体积为cm3．三．解答题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（共6小题，共80分）15．（本小题满分12分）在△ABC中，角A．B．C的对边分别为．．，且满足．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设，求的最小值．16．（本小题满分12分）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行4次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不再参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加4次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．（=1\*ROMANI）求该学生在前两次测试中至少有一次通过的概率；（=2\*ROMANII）如果考上大学或参加完4次测试，那么测试就结束．记该生参加测试的次数为，求的分布列及的数学期望．17．（本题满分14分）如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）被平面DEF所截而得．AB=2，BD=1，CE=3，AF=，O为AB的中点．（=1\*ROMANI）当时，求证：OC//平面DEF；（=2\*ROMANII）当时，求平面DEF与平面ABC相交所成且为锐角的二面角的余弦值；（=3\*ROMANIII）当为何值时，在DE上存在点P，使CP平面DEF？18．（本小题满分14分）某工厂生产了一批产品共有100件，尺寸大小属于区间，或，的为合格品，属于区间，的为优等品．根据尺寸大小按如下区间进行分组：，．，．，．，．，，得到这批产品的频率分布直方图如图所示（单位：）．（=1\*ROMANI）求这批产品中合格品与优等品共有多少件？（=2\*ROMANII）只有合格品与优等品才可以在市场上销售，且优等品的售价每件不超过31元，优等品的售价不低于合格品的售价．当合格品的售价为每件元，优等品的售价每件元时，合格品的销售量为件，优等品的销售量为件，那么．分别为多少时，这批产品的销售总量最大，最大销售总量是多少件？55尺寸()O3419．（本题满分14分）．等差数列中，，为方程的两根，前项和为．等比数列的前项和（为常数）．（=1\*ROMANI）求；（=2\*ROMANII）证明：对任意，；（=3\*ROMANIII）证明：对任意，．20．（本小题满分14分）已知函数．（=1\*ROMANI）当时，求函数的极值；（=2\*ROMANII）若函数的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2，求证：；（=3\*ROMANIII）对任意的图像在处的切线的斜率为，求证：是成立的充要条件．参考答案一．选择题（58=40）BCACACDA二．填空题（56=30）9．110．411．212．13．14．256+64π三．解答题：（共6小题，共80分）15．（本小题满分12分）在△ABC中，角A．B．C的对边分别为．．，且满足．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设，求的最小值．解：（I）由正弦定理，有，，代入(2a－c)cosB=bcosC，得（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC．……………4分即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA．…………6分∵0<A<π,∴sinA≠0．∴cosB=．…………………7分∵0<B<π，∴B=．…………8分（II）=－sinA+1……10分由B=得A∈（0，）……11分所以，当时，取得最小值0．…………12分16．（本小题满分12分）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行4次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不再参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加4次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．（=1\*ROMANI）求该学生在前两次测试中至少有一次通过的概率；（=2\*ROMANII）如果考上大学或参加完4次测试，那么测试就结束．记该生参加测试的次数为，求的分布列及的数学期望．解：（=1\*ROMANI）记“该生在前两次测试中至少有一次通过”的事件为事件A，则P(A)=---4分答：该生在前两次测试中至少有一次通过的概率为---5分（=2\*ROMANII）参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4， ---6分P(ξ=2)=，P(ξ=3)=C ，P(ξ=4)=， -----9分故ξ的分布列为：234Eξ=2×+3×+4×= -----12分17．（本题满分14分）如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）被平面DEF所截而得．AB=2，BD=1，CE=3，AF=，O为AB的中点．（=1\*ROMANI）当时，求证：OC//平面DEF；（=2\*ROMANII）当时，求平面DEF与平面ABC相交所成且为锐角的二面角的余弦值；（=3\*ROMANIII）当为何值时，在DE上存在点P，使CP平面DEF？（=1\*ROMANI）证：取DF的中点G，连结GE．由三棱柱得，AF//BD//CE，而BD=1，AF=5，∴四边形ABDF为梯形，∵OG为梯形ABDF的中位线∴OG//AF，且OG=3而CE//AF，且CE=3∴OGCE∴四边形OCEG为平行四边形∴GE//OC3分又OC平面DEF，GE平面DEF∴OC//平面DEF4分xyz（=2\*ROMANII）以直线OB．OC分别为轴．轴建立如图所示的空间直角坐标系，AF=，则D．E．F的坐标分别为：D（1，0，1）．E（0，，3）．F（-1，0，4），xyz∴=（-1，，2），=（-2，0，3）5分设平面DEF的法向量，由得可取6分平面ABC的法向量可以取7分∴8分∴平面DEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为．9分（=3\*ROMANIII）在（=2\*ROMANII）的坐标系中，AF=，=（-1，，2），=（-2，0，-1）．因P在DE上，设，则∴11分于是CP平面DEF的充要条件就为12分由此解得，13分5尺寸()O34即当=2时，在DE上存在靠近D的第一个四等分点P，使CP平面DEF5尺寸()O3418．（本小题满分14分）某工厂生产了一批产品共有100件，尺寸大小属于区间，或，的为合格品，属于区间，的为优等品．根据尺寸大小按如下区间进行分组：，．，．，．，．，，得到这批产品的频率分布直方图如图所示（单位：）．（=1\*ROMANI）求这批产品中合格品与优等品共有多少件？（=2\*ROMANII）只有合格品与优等品才可以在市场上销售，且优等品的售价每件不超过31元，优等品的售价不低于合格品的售价．当合格品的售价为每件元，优等品的售价每件元时，合格品的销售量为件，优等品的销售量为件，那么．分别为多少时，这批产品的销售总量最大，最大销售总量是多少件？解：（=1\*ROMANI）组距等于0．5，得到合格品与优等品的频率之和为所以，合格品与优等品共有90件．4分（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）可得，这批产品中，合格品有50件，优等品40件，则．满足的约束条件为即7分据此作出可行域如图中的阴影所示10分销售总量为11分作出直线：，平移直线过点时，取得最大值85，12分此时，合格品的销售件数为件优等品的销售件数为件13分所以，当合格品的销价为每件23元且优等品的销售价为每件31元时，这批产品的销售总量最大，最大销售总量为85件．14分19．（本题满分14分）．等差数列中，，为方程的两根，前项和为．等比数列的前项和（为常数）．（=1\*ROMANI）求；（=2\*ROMANII）证明：对任意，；（=3\*ROMANIII）证明：对任意，．（=1\*ROMANI）解：由得，∴，∵为等比数列∴∴=3分（=2\*ROMANII）证明：方程的两根为3．7，由知，∴∴等差数列的公差∴∴6分要证，只要证明即下面用数学归纳法证明成立（=1\*romani）当，2，3时，不等式显然成立，（=2\*romanii）假设当（）时，不等式成立，即当+1时，即，此时不等式也成立．由（=1\*romani）（=2\*romanii）知，对任意，成立．所以，对任意，．10分（=3\*ROMANIII）证明：由（=2\*ROMANII）已证成立，两边取以3为底的对数得，∴∴∴14分20．（本小题满分14分）已知函数．（=1\*ROMANI）当时，求函数的极值；（=2\*ROMANII）若函数的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2，求证：；（=3\*ROMANIII）对任意的图像在处的切线的斜率为，求证：是成立的充要条件．20．解：（=