【人教版】高中数学必修四期末试卷(含答案)

一、选择题1.在AABC中,c-a=sin2B(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则AABC的形状为2c2A.C.直角三角形等腰三角形或直角三角形B.D.2.已知a,pA.C.直角三角形等腰三角形或直角三角形B.D.2.已知a,p均为锐角，cos(a+p)——-5,等边三角形等腰直角三角形「兀3 兀、sin(p+—)=—，则sin(a——)—()A.3365B.3365C.6365D.56653.3.已知cos(a+P)=4cos(a-B)=1，贝tana-tanp的值为(

^5A.B.D.4.求sin10°sin50°sin70°的值()A.B.D.4.求sin10°sin50°sin70°的值()A.B工3B.2D.3<3

""F5.已知ABC为等边三角形，AB=2ABC所在平面内的点P满足APAP—AB—AC=1AP的最小值为(A.<3WA.<3W△C.2V3-1D.<7-19口图，正方形ABC〃J边长为6,点E,F分别在边AD,BC上，且DE―2AE,CF―2BF.若有九£(7,16)，则在正方形的四条边上，使得PEPF二九成立的点P有()个.D pC()个.D pCTOC\o"1-5"\h\zA.2 B.4 C.6 D.07.已知O是三角形ABC内部一点，且OA+2OB+OC―0，则AOAB的面积与AOAC的面积之比为()A.— B.1 C.3 D.22 ———, 兀 一.在ABC中，/RAC——,AB—AC—2,p为ABC所在平面上任意一点，则paLb+PC)的最小值为()△△

A.11-2C.-1A.11-2C.-1D.-21.将函数）=sin（x+（p）的图像上所有点的横坐标缩短到原来的彳倍（纵坐标不变），再JT将所得图像向左平移6个单位后得到的函数图像关于原点中心对称，贝Usin2（p=（）_LA.1B.—A.27110.=sin2x+—,

I4j=/G）-〃恰好有三个不同的零点,分别为7110.=sin2x+—,

I4j=/G）-〃恰好有三个不同的零点,分别为x、X、x(x<x<x12 3 12 3A.兀371B,T）,则q+Z'+q的值为（）3kC.一27兀D.—411.已知函数/（x）=sin（cox+（p）,具有以下性质:(1)对任意的xsR,都有/。"/⑴少”(1)对任意的xsR,都有/。"/⑴少”71,且5一九2的最小值为万；(2)(3)，当Xwx时，都有尢/G)+x/G)〉xf(x)+x/(x).

1 2 1 1 2 2 2 1 1 2(3)同时满足上述性质的一个函数可以是（）A.y=sin2x-——B.C.y=sin2x+A.y=sin2x-——B.C.y=sin2x+——I3D.71y=sin2x~—j=sin2x+—A.(0,7l)B.C.(57r0,—I2eA.(0,7l)B.C.(57r0,—I2e57rD.——,+oo2e)12.函数/（x）=sincox—lnx（3〉°）只有一个零点，则实数①的取值范围是（）12.二、填空题413.在ABC中,三个内角A、B、。满足13.在ABC中,cosC.14.已知函数/（%）=cos2x+J3sinxcosx在区间［o,根］上单调递增，则实数m的最大值是15.已知15.已知si/a+?]=亚，aw

6( 兀、贝ijcos2a+—=、I 6；.如图，在等腰三角形A5C中，已知到二|AC|=1,ZA=120°,E、尸分别是边AB、AC上的点，且/=piAC,其中九，四£(。,1)且九十4日=1,若线段EF、5C的中点分别为V、N,贝小肱V|的最小值是.\^，一AEB.已知1041=1,1061=追,OA・OB=0|,点。在/内，<ZAOC=30°,设mOC=mOA+nOB(m,ngR),则一等于.n2兀.在△A3C中，已知C4=4,cp=6NACB=f-,点。是边A5的中点，贝|CP,CA的值为..〃一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明〃描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为60后米.其中外岸为半圆形7丙尾圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为米..已知函数/G)=2sinCDx(co>0)在区间-K上的最小值是一2,则①的最小值等于.三、解答题，兀、 5 1.已知。平£0,-,sina=-,cos(a+P)=--.\2/ / 3(1)求tan2a的值;(2)求cos(2a+B)的值..已知函数/Cx)=asin2x+2cos2x-l,再从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求：(I)/(%)的最小正周期；

(口)f(X)的单调递增区间.文 兀、，条件①：f(X)图像的对称轴为X=-；条件②：f-二1；条件③：a=J3.注：如8 V47果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分..已知A(x,2)，B(2,3)，C(—2,5).(1)若X=1,判断ABC的形状，并给出证明；(2)求实数X的值，使得C：Ai+CB|最小；(3)若存在实数九，可使得CA八CB,求X、九的值..如图所示，在ABC中，已知CA=3,CB=4,ZACB=60。，CH为AB边上的高.(1(1)求CA-AB；(2)设CH=mCB+nCA，其中m,neR，求m,n的值..已知函数f(x)=sin2x+73sinxcosx+1.^八叶一(1)当xe0,-1时，求f(x)的值域;(2)若关于X的方程f2(X)—(m+1)f(X)+m=0在区间［0,g］上恰有三个不同的实根，求实数m的取值范围.「26.已知sin「26.已知sin一V一一acos——十a12云■，其中ae0，y.25 V4725(1)求tana的值;、 sin3a 八八小(2)求「一二的值.sina-3cosa【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题解析：解析：B【分析】A解析：A【解析】sinC-sinA 1-cosB依题意，利用正弦定理及二倍角公式得 =一--，即sinA=sinCcosB，又2sinC2sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，故sinBcosC=0,三角形中sinB丰0,故兀 cosC=0,C=5，故三角形为直角三角形，故选A.B解析：B【分析】由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出sin（a+P）、cos(a(a+p)-P+Jk37，利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即可.【详解】','a，P均为锐角，cos(a+','a，P均为锐角，cos(a+P)=—13<0「.a+p(兀1e万,兀k2 7「.sin—cos2(a+P)=12,13则则cosk2’270+])=±』1-sin2P...sin(a—g)=sin(a+0)—P+—k3=sin(a+p)-cos—cos(a+P).sinP3 33=x13k—=x13k—575 65.故选：B【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号，属于中档题.B

根据两角和与差的余弦函数的公式，联立方程组，求得13cosacosP=-,sinasinP=-，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】4由cos(a+P)=cosacosP-sinasinP=-，5cos(a-P)=cosacosP+sinasinP=-，513联立方程组，可得cosacosP=—,sinasinP=—,，sinasinP 3又由tanatanP=cos(a+P)= -=一一cosacosP 5故选：B.【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.4．C解析：C【分析】由诱导公式可转化为cos20ocos40ocos80。，利用二倍角公式正弦公式求解即可.【详解】Lin160o18二1sin20o8sin10osin50。sin70。=Lin160o18二1sin20o8sin20osin20ocos20ocos4Qocos800_sin20o即sin10。sin50。sin70o=8故选：C【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦公式，考查了运算能力，属于中档题.5．C解析：C【分析】计算出AB+AC的值，利用向量模的三角不等式可求得AP的最小值.【详解】|AB+AC|AB+AC|2=AB2+AC2+2AB-AC=|AB|2+AC一兀一ACcos—=12，3 ，所以，|AB+ac|=273P-P-AB-AC)+(AB+AC)AP二=2J'3-1.>||AP—AB—AC|-|AP二=2J'3-1.当且仅当AP-AB-AC与AB+AC方向相反时，等号成立.因此,|A4的最小值为2\回—.——一一一一一故选：C.一一一一一【点睛】结论点睛:在求解向量模的最值时，可利用向量模的三角不等式来求解：a-b|<a±b<a+b.6.B解析：B―>―►―►►―►―►【分析】建立坐标系，逐段分析PE•PF的取值范围及对应的解.【详解】以DC为以DC为X轴，以DA为y轴建立平面直角坐标系，如图，则E（0,4）,F（6,4）,(1)若P在CD上，设P(羽。),0<x<6,PE=(-x,4),PF=(6-x,4),PE・PF=x2-6x+16,xe[0,6], 7<PE•PF<16,.・・当九二7时有一解，当7<X<16时有两解；(2)若P在ad上，设p(0,y),0<y<6,PE=(0,4-y),P二(6,4-y),...PE.PF=(4-y)2=y2-8y+16,0<y<6, 0PE•PF<16,・・・当x=0或4<九<16时有一解，当7<X<16时有两解;

(3)若P在AB上，设P(羽6),0<x<6,PE=(—x,-2),PF=(6—x,-2),PE-PF=x2-6x+4,0<x<6,...-5JPE•PF<4,.・・当九二-5或X=4时有一解，当-5<九<4时有两解；(4)若万在BC上，设P(6,y),0<y<6,PE=(-6,4-y),PF=(0,4-y),...PE.PF=(4-y)2=y2-8y+16,0<y<6, 0PE•PF<16,当4f或4<X<16时有一解，当0<九<4时有两解，综上可知当九£(7W6)时，有且只有4个不同的点P使得PE•PF二九成立.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，二次函数的根的个数判断，属于中档题.A解析：A【解析】L 由题意，O是AAB'C的重心，OB'=2OB，所以AOAB的面积与AOAC的面积之比为..故选A.点睛：本题考查平面向量的应用.由重心的结论：若OA+OB+OC=0,则O是AABC的重心，本题中构造AAB'C,O是AAB,C的重心，根据重心的一些几何性质，求出面积比值.C 一一解析：C【分析】以AB,AC为x,y建立平面直角坐标系，设P(x,y)，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值.【详解】解析：解析：B【分析】解析：解析：C【分析】如图，以AB,AC为羽y建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(2,0),C(0,2),设P(x,y),PA=(-x，-y),PB=(2-x,-y),PC=(-x,2-y),PB+PC=(2-2x,2-2y),PA.、PB+PC)=-x(2-2x)-y(2-2y)=2x2-2x+2y2-2y- 1 〜」、＜ ,=2(x--)2+2(y--)2-1,・•・当x=1,y=1时，PA.(PB+PC)取得最小值-1.故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示.9.C解析：C【分析】先根据条件写出图像变换后的函数解析式，然后根据图像关于原点中心对称可知函数为奇函数，由此得到①的表示并计算出sin24的结果.【详解】兀、因为变换平移后得到函数y=sin2x+-+9，由条件可知y=sin2x+-+9为奇函I6 ) \数,sin29=sin2k兀卜故选C.【点睛】本题考查三角函数的图像变换以及根据函数奇偶性判断参数值，难度一般.正弦型函数f(x)=Asin(3x+9)为奇函数时9=k兀,kgZ，为偶函数时9=k兀+%,kgz.210.C

根据三角函数的对称性，先求出函数的对称轴，结合函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可.【详解】由2x+—=k兀+—(kgZ)，得对称轴x=—+—(kgZ)，八9—x八9—xG°，一8,八，k兀兀，9兀,. 1,由0-2-+-- ，解得—--k-2，\o"CurrentDocument"2 8 8 4当k=0时，对称轴x=—，k=1时，对称轴x=^-.8 8由f(x)_a=0得f(x)=a，若函数J=f(x)-a恰好有三个不同的零点，等价于函数J=f(x)与y=a的图象有三个交点，作出函数f(作出函数f(x)的图象如图，得f(0)二¥，则漳-a<1，由图象可知，点Q1，fGJ)、£f(x2»关于直线x=—对称，则xi+x2=―，55—+x=-，3 4TOC\o"1-5"\h\z点6,f(x))、Qf(x))关于直线x=5—对称，则x2 2 3 3 8 2c —5— 3—I大I此，x+2x+x—x+x+x+x——+———1 23 122344 2故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数的零点之和问题的求解，解题的关键就是分析出正弦型函数图象的对称轴，结合对称性求解.B根据题设的条件可得正弦型函数的周期、对称中心以及函数在0,4上的单调性，再逐项检验各选项中的函数是否满足即可得到正确的选项.【详解】因为对任意的xeR，都有f(xi)<f(x)<f(x2)，且k]-x2|的最小值为y,故f(x)的半周期为:即周期为兀，此时ABCD各选项中的函数均满足.兀、因为fx+6为奇函数，故f(x)图象的对称中心为但,0I6对于D中的函数，

.(兀兀因为sin[2X6+6(冗、 兀、故-,0不是y=Sin2x+-

图象的对称中心，故排除D.因为xf(x)+xf(x)>xf(x)+xf(x)等价于(x-x)「f(x)-f(x)1 1 2 2 2 1 1 2 1 2L1 2」故f(。在0,4上为增函数，八兀当xe 0，Z时4兀5兀—〈一一3一6一•44兀5兀,a加

而y二sinu在--y,--为减函数故y=sin2x--在0,-为减函数，不合题意，舍;八兀，当xe0，Z时一. _兀兀一“，而y=smu在--,-为增函数故y=sin2x--在0,1为增函数，符合;兀兀当xe0,7时2兀小 2兀 7兀 . 2兀7兀T<2x+T<不,而y"sinu在？，可为减函数故y=sin2x+-在。4

为减函数，不合题意，舍;故选：B.【点睛】方法点睛：已知检验给定的点是否正弦型函数的对称中心，可以用代入检验法，而单调性的研究则需结合“同增异减〃的原则来判断.C解析：C【分析】函数f(x)=sin3x-Inx(3>0)只有一个零点，等价于y=sin3x与y=Inx图象只有

一个交点，作出两个函数的图象，数形结合即可求解.【详解】函数fG）=sin3%-lnx（3>0）只有一个零点，可得sin3%-ln%=0只有一个实根，等价于丁=sin3%与y=ln%图象只有一个交点，作出两个函数的图象如图所示，作出两个函数的图象如图所示，2兀由y=sin3%可得其周期T=——,3当%=e时，y=lne=1.一 /5兀八y=sin3%最高点a—,1123）5兀， 5兀所以若恰有一个交点，只需要ln丁>1，即丁>e，23 2355 555 5兀解得：3〈五，又因为3>0，所以05兀<3<——，2e故选：C【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题13．【分析】利用及易得由同角三角函数的关系易得的值然后由代值计算即可得解【详解】因为又所以因为所以故答案为：【点睛】关键点睛：本题的解题关键是利用公式并结合两角和的余弦公式展开进行计算解析：3"10【分析】兀利用A+C=2B及A+B+C=兀易得B=§，由同角三角函数的关系易得sinA的值，然后由cosC=-cos(A+B)=—cosAcosB+sinAsinB代值计算即可得解.【详解】因为A+C=2B，又A+B+C=兀，所以B——，4 ，二 r因为cosA=5，所以sinA—y1-cos2A—4 1310cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=—-x—+—x10525故答案为：与心【点睛】关键点睛：本题的解题关键是利用公式cosC=-cos(a+B)并结合两角和的余弦公式展开进行计算.14.【分析】利用辅助角公式进行化简结合函数的单调性进行求解即可【详解】解：当时:在区间上单调递增得即m的最大值为故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式化简考查三角函数的单调性属于基础题解析：^6【分析】利用辅助角公式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可.【详解】，\1+cos2xJ3._ .(_兀、1解：f(x)= +—sin2x=sin2x+—十一,2 2 I6)2c 兀 c兀当0<x<m时，一Vx<2m+—,6 6「f(x)在区间hm］上单调递增，o兀兀•=2m+—<一62兀得m<—,6

即m的最大值为£.6故答案为：—6【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式化简，考查三角函数的单调性，属于基础题..【分析】构造角再用两角和的余弦公式及二倍公式打开【详解】故答案为：【点睛】本题是给值求值题关键是构造角应注意的是确定三角函数值的符解析：筌【分析】, 兀构造角2a+-, 兀构造角2a+-求cosa+ ，再用两角和的余弦公式及二倍公式打开.k47【详解】a式0,兀）a式0,兀）.( 兀lsina+-k 47(兀lcosa+—k47<306，=cos2=cos2a+—cos一+sin2a+—sin—故答案为:2-<156TOC\o"1-5"\h\z一“ “ 2cos2a+--2cos2a+——1--.J兀l一・• ・•sin2a+—=2sina+—•cosa+—\o"CurrentDocument"1兀l「 .•cos2a+—=cos2a+—【点睛】本题是给值求值题，关键是构造角，应注意的是确定三角函数值的符号..【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数量积运算【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB•AC,连接AM,AN，由三角形中线的性质表示出AM,AN.根据向量的线性运算及数量积公式表示出MN—\~，结合二次函数性质即可求得最小

—\~值.【详解】值.【详解】根据题意，连接am,4V,如下图所示:在等腰三角形ABC中，已知|钻|=|AC|=i,ZA=120°则由向量数量积运算可知ABAC=AB\-\ACcosA=lxlxcos120线段跖、的中点分别为M、N则AM=-^AE+AF22(1 f1由向量减法的线性运算可得MN=AN—AM=---XAB+---nAC27I— —1211y---k211y---k2—2)2(11VABZ+---pi12TJAC2+2xfi-lxLfl-l|LiLA5-ACn(1+2xn(1+2x———AL7Cl)X---LIX

[22J07] 3 1 9i( [\2]因为九十4日=1,代入化简可得跖二―日2__日+_=一|Li-_ +-4 2 44C7j7因为九,|LL£(0,1)且九+4口=1(1UG0,-I411所以当N=7时，"N2取得最小值］因而MN=口=min，7 7故答案为：夸【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法，二次函数最值的应用,属于中档题.17.【详解】方法一：①又②③将②③代入①得：所以点在内所以方法二：以直线OAOB分别为轴建立直角坐标系则设又得即解得故答案为：3解析：【详解】方法一：//OAOCJ3cosZAOC= ；-： 7= ①OA|.|oc|2又OA0C=OA^mOA+nOB)=m|OA|2=m，②IOC|2=(mOA^nOB^=m^\OAI2十九2|OBI2+2mnOAOB=m2+3n2,③,一^—,m_,J3m2八将②W代入①W：j—=~z~?所以--9,Jg+3n2 2 n2 > A A ► ► ► ►m-点。在2496内，所以一二3.n方法二：以直线OAfOB分别为瑞,轴建立直角坐标系,又OC=mOA+nOB=m(l,0)+nQ6)=Ci,岛),mr解得一二3.n故答案为：3.18.6【分析】根据平方处理求得即可得解【详解】在中已知点是边的中点解得则故答案为：6【点睛】此题考查平面向量的基本运算关键在于根据向量的运算

法则求出模长根据数量积的运算律计算求解解析：61^CA+CB)CA即可得解.2根据CP=1（CA+CB1^CA+CB)CA即可得解.2根据CP=1（CA+CB），平方处理求得|CB卜2，CP-CA=【详解】在^ABC中，已知CA=4，cp=、△，/ACB=2Y点P是边AB的中点，CP=CP21(CA+CB)+CB2+2CA-CB1, 93=—16+CB2+8CBx41-2k.2解得CB=21-CcA+CB)CA=1+CB-CA)=116+2x4x故答案为：6【点睛L一一一一一一此题考查平面向量的基本运算，关键在于根据向量的运算法则求出模长，根据数量积的运算律计算求解..【分析】如图作出月牙湖的示意图由题意可得可求的值进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解【详解】如图是月牙湖的示意图是的中点连结可得由条件可知所以所以所以月牙泉的周长故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的解析：（40+30”）兀【分析】如图，作出月牙湖的示意图，由题意可得sin/QPO-史，可求NQp0,ZQPT的值,2

进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解.【详解】如图，是月牙湖的示意图，。是。丁的中点，连结P。，可得PO1QT，由条件可知QT=60v3，PQ=60所以1c 一一兀一 2兀sin/QPO=—，所以/QPO——，/QPT——r-，^2 *3 *3所以月牙泉的周长l=所以月牙泉的周长l=手义60+kx30J3=(40+30故答案为：Q。+30<3\【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据实际问题抽象出图象，再根据数形结合分析问题..【分析】先根据函数在区间上的最小值是确定的取值范围进而可得到或求出的范围得到答案【详解】函数在区间上的最小值是则的取值范围是当时函数有最小值或或的最小值等于故答案为：【点睛】本题主要考查正弦函数的最3解析：-2【分析】先根据函数在区间［-g,:］上的最小值是-2确定兀 兀 —3兀3兀 兀 —3兀3兀 77T-2，或TT，kez，JI D 4或?当，求出3的范围得到答案.4 2【详解】兀兀」函数f(x)=2sin3x(3〉0)在区间［—-,—］上的最小值是-2,34「 3兀3兀r则3x的取值范围是［---,—］,兀 ，一当①x=-—+2k兀,keZ时，函数有最小值-2,3.,.①2,，或36,keZ,2<33>0,A3的最小值等于5.故答案为：—., 2【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用.考查基础知识的运用能力.三角函数式高考的重要考点，一定要强化复习.三、解答题2<6+10<2.(1)-20J6；⑵-- —.21【分析】先判断角的范围，利用sin2a+cos2a=1求出cosa，再利用和差角公式求出tan2a,cos(2a+P)的值【详解】解：(1)因为0<a<g,sina=?,所以cosa=49,tana=s'na=3J1,2 7 7 cosa125<6TOC\o"1-5"\h\z2tana6 27tan2a= =―6-^=-20七6.1-tan2a 251- 24一c1兀、,一c、1 - 2.万(2)因为a,pe0,-,cos(a+p)=--,所以sin(a+P)=工.I27 3 3cos(2a+p)=cos[a+(a+p)]=cosacos(a+p)-sinasin(a+p)=2质xf-11_5x272=_2而+10”一〒[377 21 .【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：⑴角的范围的判断；⑵根据条件进行合理的拆角，如p=(a+p)-a,2a+p=(a+p)+a等.22.(工)答案见解析；(n)答案见解析.【分析】选①(工)逆用余弦的二倍角公式降幕后，使用辅助角公式化简得f(x)=\：0msin(2x+6，根据对称轴求得①的值，进而求得a的值，得到函数的解析式，求得最小正周期；(n)根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得f(x)的递增区间.

选②(工)逆用余弦的二倍角公式降尿得到/G)=asin2x+cos2x，根据选择的条件求得〃的值，得到函数的解析式，并利用辅助角公式化简，然后求得f(x)的最小正周期；(口)根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得f(x)的递增区间.选③逆用余弦的二倍角公式降幕后，使用辅助角公式化简得到fG)=2sin(2x+g)6然后求得f(x)的最小正周期；(口)根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得f(x)的递增区间.【详解】选①(f(x)图像的一条对称轴为x=£)8解：(I)f(x)=asin2x+2cos2x-1=asin2x=asin2x+cos2x=aa2+1sin2x+.1 cos2xaa2+1 1=aa2+1sin(2x+6(其中tan①=_)a—因为f(x)图像的一条对称轴为x=-8TOC\o"1-5"\h\z所以f(—-)=aa2+1sin(三+①)=±\-a2+18 4，—— —即有4+中=k—+y，k£Z~, — — 1所以tan①=tan(k—+—)=tan=1=—4 4a故f(x)=缶皿2x+—〃2― 2―所以f(x)的最小正周期为：T=面=T=—— —一一———一(口) +2k—W2x+—W—+2k—,k£Z2 423-一— -一-—+2k—<2x<—+2k—,k£Z4 4371 71厂. 1■左兀WxW—l■左兀,ksZ\o"CurrentDocument"8 83k n所以的递增区间为［-p7i,-+k7i］,keZo oTT选②(〃w)=l)解：(工)/(%)=asin2x+2cos2x-1=4sin2x+cos2x/(x)=sin2x+cos2x=拒(■^sin2x+-^coslx)TOC\o"1-5"\h\z2 2二应sin(2x+；)t2兀 2ti所以/(x)的最小正周期为：7二信=可=兀1coi2\o"CurrentDocument"兀 7C7T(U) f2左兀W2xH—W—f2左兀，左£Z2 423k 71一一—+2kn<2x<—+2kn,keZ3k 71厂. 1■左兀WXV1■左兀，左£Z\o"CurrentDocument"8 83k 71\o"CurrentDocument"所以的递增区间为［-丁7i,-+Z：7i］,keZo o选③(Q=y/3)解：(I)f=^sin2x+2cos2x-1=#sin2x+cos2x2(^-sin2xicos2x)三2sin(2九+看］〃2兀 2兀所以的最小正周期为：T二K二亏二兀IcoI2

兀一一兀兀一一(U) +2k兀«2x+—«—+2k兀，keZTOC\o"1-5"\h\z2 62\o"CurrentDocument"2兀…八兀… .—+2k兀<2x<—+2k兀,keZ\o"CurrentDocument"兀 兀」. +k兀«x«—+k兀,keZ\o"CurrentDocument"3 6\o"CurrentDocument" 兀 兀所以f(x)的递增区间为［-- k，+k兀］,keZ3 6【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的性质，关键是逆用余弦的二倍角公式降幕后，并使用辅助角公式化简.3(1)AABC为直角三角形；(2)5；(3)x=4,X=-乙(1)(2)(1)(2)值；(3)利用向量共线可得方程组，解得即可.根据题意可得CA+CB=(x+6,值；(3)利用向量共线可得方程组，解得即可.【详解】 一一(1)当x=1时，AABC为直角三角形.证明如下：当x=1时，由A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则AC=(一3,3),AB=(1,1),兀此时AC-AB=-3x1+3x1=0，即AC1AB，即NA=-,乙所以，AABC为直角三角形, 一 一(2)由题意，CA=(x+2,-3),CB=(4,-2)，则CA+CB=(x+6,-5),所以，CA+CB=«+6)+25>5，当且仅当x所以，CA+CB故当x=-6时，卞A+CB|取得最小值为5. ———x=43.人=—2(3)由题意,—CA=(x+2,-3),CB=(4,-2)，因x=43.人=—2x+2=4九一一-3=-2「解得1【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，考查了向量共线，训练了利用配方法求函数的最值，属于基础题.3 3 10(1)-3,(2)m=—,n=—【分析】

(1)用CB,CA表示AB，然后代入CA•AB中化简即可得答案;(2)根据向量垂直和共线向量列出方程组可求出m，n的值.【详解】解：(1)因为AB二CB—CA，CA¥，-CB=4，ZACB=60。，所以CA-AB=CA-(CB-CA)=CA-CB-CA2=CACBcos60。-CA2一=3x4x1-32二3，一一一一2(2)因为CH1AB厂所以CH•AB=0，即(mCB