中考精英数学总复习专题学案(14份)人教版12(下载)

专题十一二次函数与几何图形综合题与线段相关的问题【例】(·梅州)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线＝＋＋过，，三点，点的坐标是(，)，点的坐标是(，－)，动点在抛物线上．( )＝－，＝－，点的坐标为(－，)；(直接填写结果)( )能否存在点，使得△是认为直角边的直角三角形？若存在，求出全部切合条件的点的坐标；若不存在，说明原因；( )过动点作垂直轴于点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，连结，当线段的长度最短时，求出点的坐标．剖析：( )分别过点，作的垂线，交抛物线于，两点，求出交点坐标即可；( )连结，证四边形为矩形获得＝，由垂线段最短求出点的纵坐标，进而获得点的纵坐标，即可求出点的坐标．解：( )存在．原因：如图，①当∠＝°，易求直线的分析式为＝－，∴直线的分析式为＝－－，将＝－－与＝－－联立解得＝，＝(舍去)，∴点的坐标为(，－)；②当∠＝°时，易求直线的分析式为＝－＋，将＝－＋与＝－－联立解得＝－，＝(舍去)，∴点的坐标为(－，)．综上所述，的坐标是(，－)或(－，)( )如图，连结，由题意可知，四边形是矩形，则＝.依据垂线段最短，可适当⊥时，最短，即最短．由( )可知，在△中，∵＝＝，⊥，∴是的中点．又∵∥，∴＝＝，∴点的纵坐标是－，令－－＝－，解得＝.∴当最短时，点的坐标是(，－)或(，－)与面积相关的问题【例】(·永州)已知抛物线＝＋－经过(－，)，(，)两点，与轴交于点，直线＝与抛物线交于，两点．( )写出点的坐标并求出此抛物线的分析式；( )当原点为线段的中点时，求的值及，两点的坐标；( )能否存在实数使得△的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明原因．剖析：( )将＝代入抛物线分析式获得对于的一元二次方程，由根与系数的关系可得＋＝＋，由点为线段的中点可得＋＝，由此求出值，代入一元二次方程求出，，即可求出点，的坐标；( )假定存在，利用三角形的面积公式及( )中根与系数的关系，可得出对于的一元二次方程，依据此方程解的状况判断能否存在．解：( )(，－)，＝－－( )将＝代入＝－－中得＝－－，整理得－(＋)－＝，∴＋＝＋，＝－.∵原点为线段的中点，∴＋＝＋＝，∴＝－.当＝－时，－＝，解得＝－，＝，∴＝－＝，＝－＝－.故的值为－，点的坐标为(－，)，点的坐标为(，－)( )假定存在．由( )可知＋＝＋，＝－，△＝·－＝××＝，∴(＋)－×(－)＝，即(＋)＋＝.∵(＋)≥，∴方程无解，故假定不建立，即不存在实数使得△的面积为与三角形全等、相像相关的问题【例】(·黔东南州)如图，直线＝－＋与轴、轴分别订交于点，，经过，两点的抛物线＝＋＋与轴的另一个交点为，极点为，且对称轴为直线＝.( )求该抛物线的分析式；( )连结，，求△的面积；( )连结，在轴上能否存在一点，使得以点，，为极点的三角形与△相像？若存在点的坐标；若不存在，请说明原因．

，求出剖析：( )利用各点坐标求出三边长，得出△是直角三角形，即可求出头积；( )分状况讨论：①当＝，∠＝∠＝°时，依据比率关系式得出的长，即可得出点的坐标；②当＝，∠＝∠＝°时，同理可求出点的坐标；③当点在点右边时，可得出∠≠∠，所以此种状况不建立，综上所述即可得出切合条件的点的坐标．解：( )＝－＋( )∵＝－＋＝(－)－，∴(，－)，又∵(，)，(，)，∴＝＝，＝＝，＝＝，∴＋＝，∴△是直角三角形，且∠＝°，∴△＝·＝××＝( )如图，设抛物线的对称轴交轴于点，∵在△中，＝＝，∴∠＝°，＝.由点(，)，(，)易得＝＝，在等腰直角三角形中，∠＝°，由勾股定理得＝.假定在轴上存在点，使得以点，，为极点的三角形与△相像．①当＝，∠＝∠＝°时，△∽△，即＝，解得＝，又∵＝，∴点与点重合，∴的坐标是(，)；②当＝，∠＝∠＝°时，△∽△，即＝，解得＝，∵＝，∴＝－＝－＝，∴的坐标是(，)；③当在点右边，则∠＝°－°＝°，∠＜°，故∠≠∠，则点不行能在点右边的轴上．综上所述，点的坐标为(，)或(，)特别三角形问题【例】(·漳州)如图，抛物线＝＋＋与轴交于点和点(，)，与轴交于点(，)．( )求抛物线的分析式；( )若点是在轴下方抛物线上的动点，过点作∥轴交直线于点，求线段的最大值；( )在( )的条件下，当获得最大值时，在抛物线的对称轴上能否存在点，使△是等腰三角形？若存在，请直接写出全部点的坐标；若不存在，请说明原因．剖析：( )设出点的坐标，联合点的坐标和直线的分析式可得点的坐标，由此得出线段的长度对于的函数关系式，由点在轴下方可找出的取值范围，利用二次函数的性质即可求出最值；( )假定存在，设出点的坐标，联合( )的结论可求出点的坐标，进而利用两点间的距离公式求出线段，，的长度，依据等腰三角形的性质分类议论即可求出值，进而得出点的坐标．解：( )＝－＋( )设点的坐标为(，－＋)，易求直线的分析式为＝－＋.∵∥轴，∴点的坐标为(，－＋)．∵抛物线的分析式为＝－＋＝(－)－，∴抛物线的对称轴为＝，与轴另一交点为(，)，∴＜＜.∵＝－＋－(－＋)＝－＋＝－(－)＋，∴当＝时，线段取最大值，最大值为( )假定点存在．设点的坐标为(，)．当＝时，点的坐标为(，)，∴＝＝，＝，＝＝.△为等腰三角形分三种状况：①当＝时，即＝，解得＝，此时点的坐标为(，)；②当＝时，即＝，解得＝±，此时点的坐标为(，－)或(，)；③当＝时，即＝，解得＝，此时点的坐标为(，)或(，)．综上可知，点的坐标为(，)，(，－)，(，)，(，)或(，)特别四边形问题【例】(·毕节)如图，已知抛物线＝＋与直线＝＋交于(，)，两点，点是抛物线上，之间的一个动点，过点分别作轴、轴的平行线与直线交于点，.( )求抛物线的分析式；( )若为的中点，求的长；( )如图，以，为边结构矩形，设点的坐标为(，)，恳求出，之间的关系式．剖析：( )联立抛物线和直线分析式求出点坐标，进而求出点坐标，联合条件可知点纵坐标，代入抛物线分析式可求点横坐标，进而可求的长；( )依据矩形的性质分别用，表示出点，的坐标，依据＝，可获得，的关系式．解：( )＝＋( )联立抛物线和直线分析式可得解得∴点坐标为(－，)，∵(，)，(－，)，为中点，∴点坐标为(，)，又∥轴，∴点纵坐标为，∵点在抛物线上，令＝＋，解得＝－－或＝－，又点在，之间的抛物线上，∴＝－－不合题意，舍去，∴点坐标为(－，)，∴＝－－＝－( )∵(，)，且四边形为矩形，∴点横坐标为，点纵坐标为，∵，都在直线＝＋上，∴(，)，(，)，∵∥轴，∥轴，∴点纵坐标为＋，横坐标为，即点的坐标为(，＋)．∵点在抛物线上，∴＋＝( )＋( )，整理可得－－－＝，∴＝－－．(导学号)(·遵义)如图，在平面直角坐标系中，△的三个极点分别是(－，)，∠＝α°.抛物线＝＋＋经过点，且对称轴为＝－，并与轴交于点.( )求抛物线的分析式及点的坐标；( )将△沿轴向右平移个单位，使点移到点，而后将三角形绕点顺时针旋转若点恰巧落在抛物线上．①求的值；②连结交轴于点，连结交轴于点，过作∥，交于点，求证：＝.

(－，)，(－，)，α°获得△，解：( )＝＋－，点(，－)( )①过作⊥轴，交于点，交轴于点，由题意可知＝，＝，则＝，＝，∵△沿轴向右平移个单位，使点移到点，∴(－＋，)，＝＝－，＝－(－)＝－，在△中，由勾股定理得＝＝，∴(－，)，∵点在抛物线上，∴＝(－)＋(－)－，即－－＝，解得＝－(舍去)，＝，则的值为②易求得的分析式为＝－，分析式为＝－－，令－＝，得＝，则(，)，令－－＝，得＝－，则(－，)，∴＝－＝，＝＋＝，∴＝，∵∥，∴∠＝∠，∠＝∠，∴△≌△( )，∴＝．(导学号)(·枣庄)如图，已知抛物线＝＋＋(≠)的对称轴为直线＝－，且抛物线经过(，)，(，)两点，与轴交于点.( )若直线＝＋经过，两点，求直线和抛物线的分析式；( )在抛物线的对称轴＝－上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；( )设点为抛物线的对称轴＝－上的一个动点

，求使△为直角三角形的点的坐标．解：( )＝－－＋，＝＋( )设直线与对称轴＝－的交点为，则此时＋的值最小．把＝－代入＝＋得＝，∴(－，)( )设(－，)，又∵(－，)，(，)，∴＝，＝(－＋)＋＝＋，＝(－)＋(－)＝－＋，①若点为直角极点，则＋＝，即＋＋＝－＋，解得＝－；②若点为直角极点，则＋＝，即＋－＋＝＋，解得＝；③若点为直角极点，则＋＝，即＋＋－＋＝，解得＝，＝.综上所述的坐标为(－，－)或(－，)或(－，)或(－，)．(导学号)(·安顺)如图，抛物线经过(－，)，(，)，(，－)三点．( )求抛物线的分析式；( )在抛物线的对称轴上有一点，使＋的值最小，求点的坐标；( )点为轴上一动点，在抛物线上能否存在一点，使以，，，四点组成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明原因．解：( )＝－－( )∵抛物线的分析式为＝－－，∴其对称轴为直线＝－＝，如图，连结，＋＝且为最小值．∵(，)，(，－)，可求直线的分析式为＝－，当＝时，＝－＝－，∴(，－)( )存在．如图，①当点在轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线＝，(，－)，∥轴，则＝－，＝，∴(，－)；②当点在轴上方时，过点作⊥轴于点，可证△≌△( )，∴＝＝，即点的纵坐标为，令－－＝，解得＝＋或＝－，∴(＋，)，(－，)．综上所述，切合条件的点的坐标为(，－)，(＋，)或(－，)．(导学号)(·深圳)如图，抛物线＝＋－与轴交于，两点，且(，)．( )求抛物线的分析式和点的坐标；( )如图①，点是直线＝上的动点，当直线＝均分∠时，求点的坐标；( )如图②，已知直线＝－分别与轴、轴交于，两点，点是直线下方的抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，点在线段的延伸线上，连结.问：认为腰的等腰△的面积能否存在最大值？若存在，恳求出这个最大值；若不存在，请说明原因．解：( )＝＋－，(－，)( )若＝均分∠，则∠＝∠，如图，若点在轴上方，与轴交于点′，因为点在直线＝上，可知∠＝∠′＝°，可证△≌△′( )，∴＝′＝，易求直线分析式为＝＋，联立解得∴点坐标为(，)；若点在轴下方时，同理可得△≌△′，∴∠＝∠′，又∠′在∠的内部，∴∠≠∠，即此时没有知足条件的点．综上可知点坐标为(，)( )如图，作⊥于点，可求(，)，(，－)，∴∠＝＝，∵∥轴，∴∠＝∠＝∠，∴∠＝，设＝，可求＝，＝，∵△是认为腰的等腰三角形，若＝，则△＝·＝××＝；若＝，则△＝·＝×·＝××＝，∵＜，∴当＝时，△的面积最大．设点坐标为(，＋－)，则(，－)，∵点在直线的下方，∴＝＝－－(＋－)＝－－＋，当＝－时，＝，∴(△)＝＝，即认为腰的等腰三角形的面积最大值为．(导学号)(·山西)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线＝＋－与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过坐标原点，与抛物线的一个交点为，与抛物线的对称轴交于点，连结，已知点，的坐标分别为(－，)，(，－)．( )求抛物线的函数表达式，并分别求出点和点的坐标；( )尝试究抛物线上能否存在点，使△≌△？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明原因；( )若点是轴负半轴上的一个动点

，设其坐标为

(，)，直线与直线交于点

，尝试究：当为何值时，△是等腰三角形．解：( )易求抛物线分析式为＝－－，∵＝－－＝(－)－，∴抛物线对称轴为直线＝，又∵抛物线与轴交于，两点，点坐标(－，)，∴点坐标(，)．易求直线的分析式为＝－，∵点为直线与抛物线的对称轴的交点，∴点的横坐标为，纵坐标为－×＝－，∴点坐标(，－)( )抛物线上存在点使得△≌△，此时点纵坐标为－，∴－－＝－，∴－－＝，解得＝±，∴点坐标为(＋，－)或(－，－)( )①如图，当＝时，△是等腰三角形，∵点坐标(，－)，∴＝＝，过点作直线∥，交轴于点，交轴于点，则＝，∴＝＝，∴点坐标(，－)，可求直线分析式为＝－，令＝，得－＝，解得＝，∴点坐标为(，)，∵∥，∴＝，即＝，∴＝－；②如图，当＝时，△是等腰三角形，∵当＝时，＝－－＝－，∴点坐标(，－)，∴＝＝，∴＝，∴∠＝∠，∵＝，∴∠＝∠，∴∠＝∠，∴∥，可求直线分析式为＝－，令＝，得－＝，∴＝，∴点坐标(，)，∵∥，∴＝，∴＝，∴＝－.综上所述，当＝－或－时，△是等腰三角形(导学号)(·聊城)如图，已知抛物线＝＋＋经过点(－，)，(，)和(，)，垂直于轴，交抛物线于点，垂直于轴，垂足为，是抛物线的对称轴，点是抛物线的极点．( )求出二次函数的分析式及点的坐标；( )若△沿轴向右平移到其直角边与对称轴重合，再沿对称轴向上平移到点与点重合，得到△，求此时△与矩形重叠部分的图形的面积；( )若△沿轴向右平移个单位长度(＜≤)获得△，△与△重叠部分的图形面积记为，求与之间的函数分析式，并写出自变量