2019年乌鲁木齐高三数学上期中一模试题附答案

2019年乌鲁木齐市高三数学上期中一模试题（附答案）一、选择题1・1・已知等比数列4｝,。广1,a4=8，且qa2+a2a3+…+aa1<k，则k的取值范围是（）[2 、A.C.D.[A.C..《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（）A.一尺五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸.设｛“J是首项为ai，公差为-1的等差数列，Sn为其前n项和，若牛S2,S4成等比数列，则a1=（）A.2 B.-2 C.- D.一二2 2.已知｛an｝为等差数列，Sn为其前n项和，若a3+7=2a「则*3=（）A.49 B.91 C.98 D.182.在VABC中，/ABC=-，AB=<2，BC=3，则sin/BAC=（）4TOC\o"1-5"\h\zA河 D汨 「3元 -A. B. C. D.10 5 10 5.已知A、B两地的距离为10km,B、C两地的距离为20km,现测得NABC=120°，则A、C两地的距离为（）A.10km B.<3km C.10%5km D.10、7km.若关于x的不等式x2+ax—2>0在区间h，5］上有解，则a的取值范围是（）(23A.,，+(23A.,，+8)(1，+8)D.(231J"，彳.在AABC中，a，b，c分别是角A,B,C的对边，若bsinA—<3acosB=0,且b2=ac，a+c则—的值为（）A.B.D.49.A.B.D.49.已知：x>0，21_1

且一+—=1xy若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值CC.(-2,4)范围是()A.(―4,2) b.(—"，—4[。[2,+")D.(—8,—2]d[4,+8).如果等差数列XJ中，a3+a4+a5=12,那么。1+a2+…+a7=()A.14 B.21 C.28 D.35.设等差数列｛an｝的前n项和为[,已知(可一1)3+2016(a4-1)=1,(a2013-1)3+2016•电013-1)=-1,则下列结论正确的是()S201f=—2016,a2013>a4S2016=2016,a2013>a4S2016=—2016,a2013<a4S2016=2016,a2013<a4 112.若函数f(x)=x+--(x>2)在x=a处取最小值，则a等于()x-2A.3 B.1+<3 C.1+媪2 D.4二、填空题13.已知数列｛〃/、句｝均为等差数列，且前n项和分别为S”和Tn,13.a贝ub=•41,15.已知数列(a｝中，nTOC\o"1-5"\h\z14.已知命题p:3xeR,ax2+x+<0，若命题P是假命题，则实数15.已知数列(a｝中，n .(用数字a-1，且 =一十3(neN*)，则 .(用数字1 aa 1 10n+1 n作答)16.对一切实数x，不等式x2+aIxI+1>0恒成立，则实数a的取值范围是17.若数列4｝通项公式是17.若数列4｝通项公式是an2n-1,1<n<23-n,n>3前n项和为S，则limS=nn nfs.已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c-1,AABC的面积为a2+b2—1，则AABC面积的最大值为 .4.已知无穷等比数列｛an｝的各项和为4,则首项a1的取值范围是 .数列｛an｝满足an+1+(—1)nan-2n—1，则｛an｝的前60项和为.三、解答题 "+ " n21.在VABC21.在VABC中，cosA--153,3 3cosB-5(1)求sinC的值；(2)设BC-5，求VABC的面积..已知数列｛〃』是公差为—2的等差数列，若a+2,a3，a4成等比数列.(1)求数列｛〃｝的通项公式；n(2)令bn=2n-i—an,数列｛bn｝的前n项和为Sn，求满足S―0成立的n的最小值..如图，在平面四边形abcd中，AB=4<2,BC=2<2,AC=4.(1)求cos/BAC；(2)若/D=45°,/BAD=90。，求CD..D为VABC的边BC的中点.AB=2AC=2AD=2.(1)求BC的长；(2)若ZACB的平分线交AB于E，求SVACE..已知各项均为正数的数列｛。』的前n项和为Sn，且4=1,an=4s+JS二(ngN*，且n>2)(1)求数列｛a｝的通项公式；n111r1 3⑵证明：当n>2时，>石+37+L+方<21 2 3 n26.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元).(I)将y表示为x的函数；(II)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题1.D解析：D【解析】设等比数列｛aj的公比为q,・•・an2n・•・an2n-11 1 1——义——二 2--1 2n 22n-11・•・1・•・数列｛aa｝是首项为n n+1 21公比为4的等比数歹u,nn+1TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2(1-4n)-2(1-1)<2

(1 )、,nn+1\o"CurrentDocument"11 3 4n 3，1—4\o"CurrentDocument",2 r2 、・•・k>3.故k的取值范围是［3,+8).选D.B解析：B【解析】【分析】n等差中项关系，求出通项公式，即可求解.【详解】从冬至日起各节气日影长设为&｝，可得&｝为等差数列，根据已知结合前n等差中项关系，求出通项公式，即可求解.【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为｛a｝,nS是其前S是其前n项和，则S=“a1+"9)=9a=85.5尺，2 5所以a5-9.5尺，由题知a]+a4+a7-3a4-31.5,所以a4-10.5，所以公差d-a5—a4--1,所以a12-a5+7d-2.5尺。故选:B.【点睛】本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.D解析：D

【解析】【分析】把已知S2=SS用数列的首项a和公差d表示出来后就可解得a.,2 14 1 1【详解】1因为S，S，S成等比数列，所以S2=SS，即(2a-1)2=a(4a—6)，a=--.1 2 4 2 14 1 1 1 1 2故选D.【点睛】本题考查等差数列的前n项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法.本题属于基础题.B解析：B【解析】:a+7=2a，.二a+2d+7=2(a+4d)，即a+6d-7,S3-13a7-13(a1+6d)-13义7-91，故选b.C解析：C【解析】试题分析：由余弦定理得b2-2+9-2江-3•cos:-5,b-v5.由正弦定理得3sinZBAC3sinZBACsin解得sinZBAC-吊0考点：解三角形.D解析：D【解析】【分析】直接利用余弦定理求出A,C两地的距离即可.【详解】因为A,B两地的距离为10km,B,C两地的距离为20km，现测得NABC=120°,贝UA,C两地的距离为：AC2=AB2+CB2-2ABBCcosNABC=102+202-一一(1)2x10义20义---700.k2J所以AC=10<7km.故选D.【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力.

A解析：A【解析】【分析】利用分离常数法得出不等式a>2-x在x£［5］上成立，根据函数fG)=2-x在x xX£［5］上的单调性，求出a的取值范围【详解】关于x的不等式x2+ax-2>0在区间h,5］上有解「.ax>2—x2在xgI15］上有解L5］上成立，设函数数f(x)=2-x,xe[15]xfr(x)=———1<0恒成立x2：・f(x)在xe\15]上是单调减函数且f且fG)的值域为一231 ,152323贝°a>——要a>2—x在x£05]上有解x(23 )即a的取值范围是---,十8即a的取值范围是V5J故选A【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题.A解析：A【解析】【分析】由正弦定理，化简求得sinB-J3cosB=0，解得B=(，再由余弦定理，求得4b2=(a+c)，即可求解，得到答案.【详解】在AABC中，因为bsinA—\'3acosB=0,且b2=ac,

由正弦定理得sinBsinA—<3sinAcosB=0,因为Ae(0,九)，则sinA>0,所以sinB一<3cosB=0，即tanB=J3，解得B=3,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-3b2,即4b2=(a+c),解得=c=2，故选A.b【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键.通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.A解析：A【解析】【分析】若x+2y>m2+2m恒成立，则x+2y的最小值大于m2+2m，利用均值定理及“1”的代换求得x+2y的最小值，进而求解即可.【详解】2 1 1由题,因为一+-=1,x>0,y>0,xy所以(x+2y)[-+1]=2+-+4y+2>4+2/±4y=4+4=8，当且仅当x="，即IxyJyx \yx yxx=4,y=2时等号成立，因为x+2y>m2+2m恒成立,则m2+2m<8,即m2+2m一8<0,解得一4<m<2,故选:A【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用，考查利用均值定理求最值，考查不等式恒成立问题.C解析：C试题分析：等差数列｛试题分析：等差数列｛a｝中，345)7x(2a)=7a=28a345)7x(2a)=7a=28考点：等差数列的前n项和D解析：D【解析】•・•(%—1)3+2016(%—1)=1,(a2013—1)3+2016(a2013—1)=—1,••・(a4—1)3+2016(a4—1)+(a2013—1)3+2016(a2013—1)=0,设a4—1=m,a2013一1=n,贝Um3+2016m+n3+2016n=0,化为(m+n)•(m2+n2—mn+2016)=0,, 1¥3 „m2+n2—mn+2016=m--n+—n2+2016>0,I2)4；.m+n=a4—1+a?。呼—1=0,..a4+a2013=2,.S_2016〃+a201p_2016(a4+a201P_••2016 2 2 .很明显a4—1>0,a2013—1<0,；.a4>1>a2013,本题选择D选项.12.A解析：A【解析】【分析】将函数y_f(。的解析式配凑为f(x)_(x-2)+工+2，再利用基本不等式求出该函x-2数的最小值，利用等号成立得出相应的x值，可得出a的值.【详解】当x>2时，x-2>0,则f(x)_x+—-__(x-2)+-^―+2>2]'(x-2). +2x—2 x—2 \x—2_4,_ 1当且仅当x-2_--(x>2)时，即当x_3时，等号成立，因此，a_3，故选A.x-2【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题二、填空题13•【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题23解析：」8

【解析】【分析】aa+a根据等差数列中等差中项的性质，将所求的74=T1-77，再由等差数列的求和公式，转bb+bS化为节，从而得到答案.7【详解】因为数列"｝、｛b｝均为等差数列a2aa+a所以b=5r="4 4 1 77(a+a)_ 127_S=7(b+b)=工127 7_3义7+2_23-7+1-T【点睛】本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题..【解析】【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题…一门\解析：不，+8V2 )【解析】【分析】根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果【详解】、，一 1、，一 1C所以VxgR,ax2+x+—>0为真^2因为命题p:3x0gR，ax0+x0+-«0是假命题，【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题.【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题1解析：—28【解析】【分析】由—=—+3(neN*)得\—\为等差数列，求得\—\通项公式，则«。可求TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"aa IaI IaI 10n+1 n n n【详解】白=~+3(neN*)则i—r为以首项为i,公差为3的等差数列，则a+1an IanI\o"CurrentDocument"1 1=1+3(n-1)=3n-2a=-a 1028n1故答案为：—28【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题.—2+)【解析】【分析】根据题意分x=0与x=0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x/0时原式可变形为aN-(|x|+)由基本不等式的性质易得a的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两解析：［—2,+8)【解析】【分析】根据题意，分x=0与xW0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②xW0时，原1式可变形为aN-(|x|+同)，由基本不等式的性质，易得a的范围，综合两种情况可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论；①x=0时，原式为1三0,恒成立，则a£R；②xW0时，原式1可化为a|x|N-(x2+1),即aN-(|x|+—),x11又由|x|+：三2,则-(|x|+—)<2；x x要使不等式x2+a|x|+1三0恒成立，需有aN-2即可；综上可得，a的取值范围是［-2,+8)；故答案为［-2,+8).【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，运用分类讨论和参数分离、基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题.

.【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出结论【详解】数列通项公式是前项和为当时数列是等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查的是数列极限求出数列的和是关键考查等比数列前项和公式的应用是基础题55解析：To18【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论.【详解】Q数列｛Q数列｛〃/通项公式是an2n-1,1<n<213-n,n>3,前n项和为Sn，当n>3时，数列｛a｝是等比数列，n27S=1+2+-n327S=1+2+-n3J

v~181813J182limS-limnT9nT91825518,55故答案为：-18【点睛】本题主要考查的是数列极限，求出数列的和是关键，考查等比数列前n项和公式的应用，是基础题..【解析】【分析】结合已知条件结合余弦定理求得然后利用基本不等式求得的最大值进而求得三角形面积的最大值【详解】由于三角形面积①由余弦定理得②由①②得由于所以故化简得故化简得所以三角形面积故答案为【点睛解析：立里4【解析】【分析】n 结合已知条件，结合余弦定理求得C=4,然后利用基本不等式求得ab的最大值，进而求得三角形ABC面积的最大值.【详解】1 a2+b2-1 a2+b2—1_由于三角形面积S=absinC= ①，由余弦定理得cosC=——-——②，由2 4 2ab

TOC\o"1-5"\h\z①②得sinC—cosC，由于Ce（0,兀），所以C—n.故cosC—a2+"2一1——，化简4 2ab 2得,.;2ab—a2+b2-1，故％辽ab—a2+b2-1>2ab一1，化简得ab<竹与.所以三角形而知—1 12+垃「於_五+1\o"CurrentDocument"［面^\S——absinC«-x x—— .2 2 2 2 4故答案为X2士！.4【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值的方法，属于中档题.19•【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为4得且从而可得的范围【详解】由题意可得且且故答案为【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和而无穷等比数列的各项和是指当且时前n项和的极限属于基础题解析：(0,4)o(4,8)【解析】【分析】由无穷等比数列｛〃｝的各项和为4得,启—4,，।q1<1且q丰0,从而可得%的范围.n 1一q 1【详解】a1—4(1-q)由题意可得,a由题意可得,a——1-q—4,1q1<1厂.0<a1<8且a丰4故答案为(0,4)o(4,8)【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和，而无穷等比数列的各项和是指当,1q1<1且q丰0时前n项和的极限，属于基础题.20.1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：「.・…•・…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1解析：1830【解析】【分析】由题意可得a2一a1―1，a3+a2—3，a4-a3—5，a+a—7，a-a—9，a+a—11，…，a50—a49—97，变形可得a+a—2，a+a—8，a+a—2，

a+a=a+a=24,a+a=2,a+a=40,构特征，求出｛aJ的前60项和.【详解】a.+a,=2,a6+a4=56，•一利用数列的结解：Qa1+(-1)nan=2n-1,a2-a.=1,a3aa2=3,a4-a3=5,aaa=7,a-a=9,aaa=11,…,a-a=97,；.aaa=2,aaa=8,aaa=2,aaa=24,aaa_=2,aaa=40,aaa=2,aaa=56,…，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2,从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，｛a｝的前60项和为15x2a(15x8a15^14x16)=1830，n 2故答案为：1830.【点睛】本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前n项和，属于中档题.三、解答题(1)——；(2)65【解析】【分析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换求得结果;(2)利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果.【详解】(1)在VABC中，AaBaC=兀,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"由cosA=-A,晨A〈兀，得smA=U13 2 13九 40<B<—，得sinB=—.2 516所以sinC=sin(AaB)=sinAcosBacosAsinB=一.65BC

sinA解得：AC=解得：AC=BC-sinB

sinA13所以VABC的面积：s=—•BC-AC-sinC=—'5,v'7f=12 2 3653【点睛】

本题考查的知识点：三角函数关系式的恒等变换，三角形内角和定理，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说，当条件中同时出现ab及b2、a2时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答。(1)a=9—2n；(2)5.n【解析】【分析】(1)根据等差数列｛an｝的公差为-2,且a1+2,a3M4成等比数列列出关于公差d的方程，解方程可求得d的值，从而可得数列｛an｝的通项公式；(2)由(1)可知b=2n-1-9+2n，根据分组求和法，利用等差数列与等比数列的求和公式可得结果.n【详解】Qai+2,a3,a4成等比数列，・•.([-4)="+2)(4-6),解得：%=7,...a—9—2n.(2)由题可知S=200+21+22+L+2n-1)—(7+5+3+L+9—2n),n—2n( )= -8nn—n2=2n+n2—8n—1,—2显然当n<4时，Sn<0,S5=8>0,又因为n>5时，S”单调递增，故满足SnN0成立的n的最小值为5.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式以及等比数列的求和公式，利用“分组求和法”求数列前n项和，属于中档题.利用“分组求和法”求数列前n项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减./、5<2 /、(1) ；(2)CD=58【解析】【分析】522(1)直接利用余弦定理求cosNBAC；(2)先求出sinNDAC= ，再利用正弦定理求8CD.【详解】(1)在4ABC(1)在4ABC中，由余弦定理得：cos/BAC=AB2+AC2—BC22AB•AC32+16-85722x4x4-J2 8.(2)因为(2)因为NDAC=90°—NBAC一 5J2所以sinZDAC=cosZBAC= ,8所以在AACD中由正弦定理得:CD所以在AACD中由正弦定理得:CDACsin/DAC—sin450所以CD=5.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2…BC=而⑵吗巫【解析】【分析】（1）由题意知AB=2,AC=AD=1.设BD=DC=m，在△ADB与VADC中，由余弦定理即可解得m的值.（2）在^ACE与VBCE中，由正弦定理，角平分线的性质可得AE=AC=匹.可求BE=<6AE,AE=2（工运—1）.利用余弦定理可求BEBC6 5cos/BAC的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin/BAC的值，利用三角形的面积公式即可计算得解.【详解】解：（1）由题意知AB=2,AC=AD=1.设BD=DC=m.在VADB与VADC中，由余弦定理得：AB2=AD2+BD2—2AD•BDcos/ADB,AC2=AD2+DC2—2AD•DCcos/ADC.即：1+m2—2mcos/ADB=4，①1+m2+2mcos/ADB=1.②由①+②，得：m2=3,所以m=上6，即BC=<6.2（2）在VACE与VBCE中，由正弦定理得:AEECBEECAEECBEECsin/ACEsin/EAC'sin/BCEsin/CBE'由于/ACE=/由于/ACE=/BCE,且BCACsin/BAC—sin/CBA'所以些=AC=61BEBC6所以BE=66.AE