高中数学初升高衔接教材专题12一元二次不等式的解法(解析版)

高中数学初高升连结教材专题12一元二次不等式的解法(解析版)高中数学初高升连结教材专题12一元二次不等式的解法(解析版)/高中数学初高升连结教材专题12一元二次不等式的解法(解析版)专题12一元二次不等式的解法一、知识点精讲【引例】二次函数＝x－－6的对应值表与图象以下：x－3－2－101234y60－4－6－6－406由对应值表及函数图象(如图－1)可知－x－6

＝xy＞0y＞0－2xy＜0图2.3－1当＝－，或＝3时，＝0，即x－x＝6＝；当＜－，或＞3时，＞0，即x－x－6＞；当－＜x＜3时，y＜，即x－x－＜0．2这就是说，若是抛物线y=x－－6与x轴的交点是(－，0)与(3，，那么一元二次方程2－x－6＝0的解就是xx一元二次不等式x2－－6＞0的解是＜－，或＞；一元二次不等式x2－x－＜0的解是－＜＜3．上例表示：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．2那么，怎样解一元二次不等式ax＋bx＋c＞0(a≠)？我们可以用近似于上面例子的方法，借助于二次函数＝ax＋bx＋a≠)图象来解一元二次不等式ax＋bx＋＞0(a≠)为了方便起见，我们先来研究二次项系数＞0时的一元二次不等式的解．我们知道，关于一元二次方程ax＋bx＋＝0(a＞0)，设b2－4ac，它的解的状况依照，△=00分别为以下三种状况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线＝ax2＋bx＋c（＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)我们可以分以下三种状况谈论对应的一元二次不等式ax＋bx＋＞0（a＞）与ax＋bx＋＜（a＞）的解．（1）当0时，抛物线y＝ax1，0)和(x2，0)，方程ax＋bx＋（a＞0）与x轴有两个公共点(x＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和21＜2)，由图－①可知不等式ax2＋bx＋＞0的解为x＜1，或x＞2；不等式ax2＋bx＋＜0的解为x＜＜x．22（2）当0时，抛物线＝ax＋bx＋c（＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax＋bx＋＝0有两个相等的实数根＝＝－b，由图2.3－②可知b不等式ax2＋bx＋＞0的解为x2a；不等式ax2＋bx＋＜0无解．22（3）若是0，抛物线＝ax＋bx＋c（a＞）与x轴没有公共点，方程ax＋bx＋＝0没有实数根，由图－2③可知不等式ax2＋bx＋＞0的解为一的确数；不等式ax2＋bx＋＜0无解．今后，我们在解一元二次不等式时，若是二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；若是二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．二、典例精析【典例1】解以下不等式：（1）x＋2x－（2）－x＋6＜0；22（3）4x＋4x＋（4）x－6x＋（5）－4＋x－x2＜．【答案】见解析【解析】（1）∵，方程x＋2x－＝0的解是x＝－，x＝1．∴不等式的解为－（2）整理，得x－x－＞．0，方程x2－－6=0的解为＝－，x＝3．∴原不等式的解为＜－，或＜3．2（3）整理，得(2x＋1)

≥0.由于上式对任意实数x都成立，∴原不等式的解为一的确数．（4）整理，得(x－3)≤0.由于当x＝3时，(x－3)＝0成立；而对任意的实数x，(x－3)＜0都不成立，∴原不等式的解为＝3．（5）整理，得x－x＋＞0，因此，原不等式的解为一的确数．【典例2】已知不等式20(0)axbxca的解是x2,或x3求不等式20bxaxc的解．【答案】见解析【解析】由不等式20(0)axbxca的解为x2,或x3，可知a0，且方程bc20axbxc的两根分别为2和3，∴5,6aa，bc即5,6aa．由于a0，因此不等式20bxaxc可变成bc20xxaa，即－25xx60,整理，得25xx60,因此，不等式20bxaxc的解是＜－，或＞65．【说明】：本例利用了方程与不等式之间的互有关系来解决问题．【典例3】解关于x的一元二次不等式x2ax10(a为实数).【答案】见解析【解析】关于一元二次不等式，按其一般解题步骤，第一应该将二次项系数变成正数，本题已满足这一要求，欲求一元二次不等式的解，要谈论根的鉴识式的符号，而这里的是关于未知系数的代数式，的符号取决于未知系数的取值范围，因此，再依照解题的需要，对的符号进行分类谈论.【解析】:24a，2①当0,即a或a2时,方程xax10的解是22aa4aa4x,x.1222因此，原不等式的解集为24aax,或224aax；2②当，即a＝±2时，原不等式的解为a2；③当即2a时,原不等式的解为一的确数.综上，当a2，或≥2时，原不等式的解是24aax,或224aax；2当2a时,原不等式的解为一的确数．【典例4】已知函数＝x－2ax＋1(a为常数)在－xn，试将n用a表示出来．【答案】见解析【解析】：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的地址有关，于是需要对对称轴的地址进行分类谈论．【解析】∵y＝(x－a)2＋－a，∴抛物线y＝x2－＋1的对称轴方程是＝．2（1）若－2.3-3①可知，当＝a时，该函数取最小值＝1－a；（2）若＜-2时，由图2.3-3②可知，当＝-2时，该函数取最小值＝；（3）若＞1时，由图③可知，当＝1时，该函数取最小值＝-2a+2.5,a2,综上，函数的最小值为2n1a,2a1,2a2,a1.三、对点精练1．解以下不等式：（1）3x2－－4＞0；（2）2－－22（3）x＋3x－4＞0；（4）16－8x＋x【答案】见解析【解析】（1）3x2－－4＞014x或x3（2）x－x－≤03x4（3）x＋3x－4＞0x或x1；2≤0x4．（4）16－8x＋x2＋2x＋－2a解关于x的不等式x【答案】见解析【解析】不等式可以变成(x＋1＋a)(＋1－a)（1）当－1－a＜－1＋，即a＞0时，∴－1－x1＋a；2（2）当－1－a＝－1＋，即a＝0时，不等式即为(x＋1)

＝－；（3）当－1－a＞－1＋，即a＜0时，∴－1＋x1－a．综上，当a＞0时，原不等式的解为－1－ax1＋；当＝0时，原不等式的解为＝－；当＜0时，原不等式的解为－＋1－．解以下不等式：(1)x2x60(2)(x1)(x2)(x2)(2x1)【答案】见解析【解析】⑴解法一：原不等式可以化为：(x3)(x2)0，于是：xx3020或xx3020x3x3或x或x2因此，原不等式的解是x或x2．x2x2解法二：解相应的方程x2x60得：13,x22，因此原不等式的解是x或x2．(2)解法一：原不等式可化为：240xx，即240(4)0xxxx于是：x0x0或x0或x4，因此原不等式的解是x或x4．x40x40解法二：原不等式可化为：x24x0，即240xx，解相应方程x24x0，得10,x24，因此原不等式的解是x或x4．【说明】：解一元二次不等式，实质就是先解相应的一元二次方程，尔后再依照二次函数的图象判断出不等式的解．求关于x的不等式m2x22mxm的解．【答案】见解析【解析】原不等式可化为：m(m2)xm2(1)当m2即m2时，mx1，不等式的解为x1m；(2)当m2即m2时，mx1．①0m2时，不等式的解为x1m；②m0时，不等式的解为x1m；③m0时，不等式的解为全体实数．(3)当m2即m2时，不等式无解．综上所述：当m0或m2x1m0m2x1mm0时，不等式的解为全体实数；当m2时，不等式无解．解以下不等式：(1)2280xx(2)2440xx(3)220xx【答案】见解析【解析】(1)不等式可化为(x2)(x4)0∴不等式的解是2x4(2)不等式可化为2(x2)0∴不等式的解是x2；(3)不等式可化为172(x)0∴不等式无解。24已知关于任意实数x，kx22xk恒为正数，求实数k的取值范围．【答案】见解析【解析】显然k0不合题意，于是：k0k0k0222(2)4k0k10k或k1k1解以下不等式：(1)2x3x10(2)1x23【答案】见解析【解析】(1)近似于一元二次不等式的解法，运用(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转变成整式不等式求解．(2)注意到经过配方法，分母实际上是一个正数．【解析】(1)解法(一)原不等式可化为：