弹性力学空间轴对称问题有限元法

弹性力学空间轴对称问题有限元法第1页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.1弹性力学空间轴对称问题的描述物体几何形状、约束及外力都对称于某一轴线(z轴)第2页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.1弹性力学空间轴对称问题的描述轴对称问题—物体几何形状、约束及外力都对称于某一轴线(z轴)，则物体的位移、应变、应力也都对称于这一轴线。第3页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.1弹性力学空间轴对称问题的描述一、柱坐标系

由于轴对称性质，采用柱坐标系（r、θ、z

）分析轴对称问题第4页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.1弹性力学空间轴对称问题的描述a:通过对称轴的任一平面都是对称平面b:子午面—通过对称轴的任一平面（r-z平面）c:如果以对称轴为z轴，则位移、应变、应力都仅为r、z的函数而与θ无关空间的三维问题化为平面的二维问题，即空间域回转体简化为定义在回转体的某个子午面平面域上的物体。第5页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.1弹性力学空间轴对称问题的描述二、基本变量(1)位移矢量(2)应变(3)应力环向位移uθ=0即在子午面（rz面）上的点无离面位移。第6页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.1弹性力学空间轴对称问题的描述三、基本方程（1）平衡微分方程设微元体上作用有体力第7页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.1弹性力学空间轴对称问题的描述三、基本方程（2）应变与位移的关系—几何方程有，即轴对称的径向位移会引起环向应变

第8页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.1弹性力学空间轴对称问题的描述三、基本方程（2）应力应变关系—物理方程(E是杨氏模量，μ为泊松比)第9页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.1弹性力学空间轴对称问题的描述三、基本方程(10个未知函数在域内的控制方程)第10页，共45页，2023年，2月20日，星期四四、边界条件3.1弹性力学空间轴对称问题的描述su表示位移边界点的集合位移边界条件应力边界条件

表面力分量,l是边界外法线与夹角的余弦，n是边界外法线与夹角的余弦，第11页，共45页，2023年，2月20日，星期四

因为：上式先对θ积分，化为在子午面上的以下积分在位移中求解时，虚功方程等价于力边界条件与平衡微分方程。3.1弹性力学空间轴对称问题的描述五、虚功方程第12页，共45页，2023年，2月20日，星期四对稳定的线弹性体的平衡而言，真解使取最小值，至少是取驻值。3.1弹性力学空间轴对称问题的描述六、总势能[泛函]第13页，共45页，2023年，2月20日，星期四第14页，共45页，2023年，2月20日，星期四受均匀内压的球体计算分析模型

3.2三结点环状单元分析受均匀内压的球体有限元模型

第15页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.2三结点环状单元分析第16页，共45页，2023年，2月20日，星期四单元结点的位移列阵记为一、单元位移模式

3.2三结点环状单元分析第17页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.2三结点环状单元分析第18页，共45页，2023年，2月20日，星期四二、单元内的应变

3.2三结点环状单元分析第19页，共45页，2023年，2月20日，星期四二、单元内的应变

3.2三结点环状单元分析第20页，共45页，2023年，2月20日，星期四二、单元内的应变

为单元应变转换矩阵,子块

环状三角形单元不是常应变单元

3.2三结点环状单元分析第21页，共45页，2023年，2月20日，星期四三、单元内的应力

为单元应力转换矩阵。其子块为

三角形环状单元也不是常应力单元

3.2三结点环状单元分析第22页，共45页，2023年，2月20日，星期四三、单元刚度矩阵的计算

其子块为

3.2三结点环状单元分析第23页，共45页，2023年，2月20日，星期四三、单元刚度矩阵的计算

计算以上积分的方法有三种：①导出精确的积分公式；②采用通常的数值积分公式；③简单的近似积分。

3.2三结点环状单元分析第24页，共45页，2023年，2月20日，星期四三、单元刚度矩阵的计算

单元中心坐标

3.2三结点环状单元分析第25页，共45页，2023年，2月20日，星期四三、单元刚度矩阵的计算

3.2三结点环状单元分析第26页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.2三结点环状单元分析三、单元刚度矩阵的计算

(E是杨氏模量，μ为泊松比)

第27页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.2三结点环状单元分析四、等效结点力的计算

①受自重作用设γ是物体比重，重力只有z方向分量且与z轴反向，其体积力密度为

第28页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.2三结点环状单元分析四、等效结点力的计算

①受自重作用第29页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.2三结点环状单元分析四、等效结点力的计算

②惯性离心力作用

物体绕z轴转动的角速度为ω(rad/s)，γ是比重，g是重力加速度，则惯性离心力为第30页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.2三结点环状单元分析四、等效结点力的计算

②惯性离心力作用

第31页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.2三结点环状单元分析四、等效结点力的计算

③受均布压力

rz面上的压力矢量

ij边外法线与r轴夹角为

第32页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.2三结点环状单元分析四、等效结点力的计算

③受均布压力

由于是在ij边上，则形函数矩阵为

第33页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.2三结点环状单元分析四、等效结点力的计算

③受均布压力

第34页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.2三结点环状单元分析四、等效结点力的计算

④热应变作为初应变

若单元结点的温度升高为，则单元的平均温升为单元热应变为

单元等效结点力

第35页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.2三结点环状单元分析四、等效结点力的计算

④热应变作为初应变

子块为第36页，共45页，2023年，2月20日，星期四3.2三结点环状单元分析四、等效结点力的计算

④热应变作为初应变

第37页，共45页，2023年，2月20日，星期四本章小结：

(1)由于轴对称性质,轴对称问题可简化为二维问题处理,只分析其一子午面,并在子午面离散.(2)与平面问题中的三结点三角形平面单元不同，在本章对轴对称问题的分析中，采用的单元类型为三结点三角形环状的实体单元，采用的坐标系为柱坐标系.在单刚及等效载荷的计算中采用的近似积分方式是相当简单也相当有效的，且三结点三角形环状实体单元不是常应变单元或常应力单元。

(3)轴对称问题有限元法中,刚体位移仅为轴向移动.第38页，共45页，2023年，2月20日，星期四膨胀节

例子：

第39页，共45页，2023年，2月20日，星期四总应力云图

总位移云图

第40页，共45页，2023年，2月20日，星期四例:某立式压力容器如图所示，其设计压力p=10MPa，在常温下工作，材料为16Mn，弹性模量E=210GPa,泊松比为0.3，筒体内径D1=3400mm，壁厚t1=110mm，球形封头内半径R2=1720mm，t2=70mm，筒体削边长度l=270mm，忽略自重，对容器筒体与封头的连接区进行应力分