理科数学知识点梳理

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高中数学基础知识归类——献给2023年高三(理科)考生一、集合与规律

1、区分集合中元素的形式：如：?x|y?lgx?—函数的定义域；?y|y?lgx?—函数的值域；?(x,y)|y?lgx?—函数图象上的点集，

如：（1）设集合M?{x|y?x?3}，集合N＝y|y?x?1,x?M，则M?N?___（答：[1,??)

?????（2）集合M?xy?x2?4x?3，集合N??x?3coxs,x???,???yy?sin??63???2???M?N?（答：{1}）

2、条件为A?B，在探讨的时候不要遗忘了A??的状况

如：（1）若非空集合A?{x/2a?1?x?3a?5}，B?{x/(x?3)(x?22)?0}，则使

得A?A?B成立的a的集合是____________________（答：6?a?9）（2）集合M={x/x?4x?a?0},N={x/x?x?2?0},若M?N，则实数a的

取值范围为___a?3________（条件为A?B，在探讨的时候不要遗忘了A??的状况）（3）A?{x|ax2?2x?1?0}，假使A?R???，求a的取值。（答：a≤0）3、A?B?{x|x?A且x?B};A?B?{x|x?A或x?B}

CUA={x|x∈U但x?A};A?B?x?A则x?B;真子集怎定义？如：含n个元素的集合的

nn子集个数为2,真子集个数为2－1;如：满足{1,2}??M?{1,2,3,4,5}集合M有______个。（答：7）4、CU(A∩B)=CUA∪CUB;CU(A∪B)=CUA∩CUB;

5、A∩B=A?A∪B=B?A?B?CUB?CUA?A∩CUB=??CUA∪B=U6、补集思想常运用于解决否定型或正面较繁杂的有关问题。

如：（1）若关于x的不等式|x?2|?|x?1|?a的解集是?，则a的取值范围是_______（答：a?3）

（2）已知函数f(x)?4x?2(p?2)x?2p?p?1在区间[?1,1]上至少存在一个实

2222327、原命题:p?q;逆命题:q?p;否命题:?p??q；逆否命题:?q??p；互为逆

数c，使f(c)?0，求实数p的取值范围。（答：(?3,)）否的两个命题是等价的.

如：（1）“sin??sin?〞是“???〞的条件。（答：充分非必要条件）

（2）设命题p:“已知函数f(x)?x?mx?1,?x0?R,?y0?0，使得f(x0)?y0，命

2

题q：“不等式x?9?m有实数解〞，若?p且q为真命题，则实数m的取值范围为_______（答：(?3,?2]?[2,3)）

8、若p?q且q??p;则p是q的充分非必要条件（或q是p的必要非充分条件）;如：写出“x?1?2成立〞的一个必要而不充分条件________（答：比(?1,3)范围大即可）9、注意命题p?q的否定与它的否命题的区别:

命题p?q的否定是p??q；否命题是?p??q

命题“p或q〞的否定是“?P且?Q〞，“p且q〞的否定是“?P或?Q〞注意：如：命题：“若a和b都是偶数，则a?b是偶数〞

否命题：“若a和b不都是偶数，则a?b是奇数〞命题的否定：“若a和b都是偶数，则a?b是奇数〞

10.全称命题、特称命题

22二、函数与导数

1、指数式、对数式：

a?a，amnnm?mn?1，mann当n为奇数时，a?a；当n为偶数时，

nn?a,a?0an?|a|??.

??a,a?0b0loga0?1(a?0)，ab?N?logaa?b，aN?b(a?0,a?1,N?，

alogaN?N，

log(am)(bn)?nlogabm,

loga(MN)?logaM?logaN;

logaM1?logaM?logaN;logab?logaNb12log2如：()38的值为________（答：

31）64(lg2)?3lg2?lg5?(lg5)=（答：1）2、一次函数:y=ax+b(a≠0)b=0时奇函数;3、二次函数

b4ac?b2b,));顶点式①三种形式:一般式f(x)=ax+bx+c(对称轴x??,a≠0,顶点(?2a4a2a2

f(x)=a(x-h)2+k;零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(对称轴x?x1?x2);b=0偶函数;2②区间最值:配方后一看开口方向,二探讨对称轴与区间的相对位置关系;

如：(1)已知函数f?x??4x?4ax?a?2a?2在区间?0,2?上有最小值3，求a的值

22(答:a?1?2,5?10)

（2）若函数y?12x?2x?4的定义域、值域都是闭区间[2,2b]，则b＝（答：2）

2③实根分布:先画图再研究①开口、②△>0、③对称轴与区间关系、④区间端点函数值符号;

cac4、反比例函数:y?(x?0)平移?y?a?(中心为(b,a))，对勾函数y?x?是奇函

x?bxx数,a?0时,在区间(??，0),(0，??)上为增函数，a?0时,在(0，a],[?a,0)递减

在(??，?a],[a,??)递增

5、幂、指数、对数函数的图象和性质：（1）若a?25.0b?logπ3，c?log2sin，

2π,则a,b,c的大小关系为（答：c?b?a）5a（2）设a???1，1，，3?，则使函数y?x的定义域为R且为奇函数的所有a值为（答：1或3）

（3）不等式lg(x?1)?1的解集是方程9?6?3?7?0的解是

xx??1?2?g7}）（答:(1,11){lo3?4x?4，x?1，（4）函数f(x)??2的图象和函数g(x)?log2x的图象的交点个数是

?x?4x?3，x?1（答：3个）

（5）幂函数y=x，当?取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图B像是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x，y=x的图像三等分，即有BM=MN=NA．那么，??=_______（答：1）（6）设二元一次不等式组

???yMNxA?x?2y?19?0?x?x?y?8?0所表示的平面区域为M，若函数y?a(a?0,a?1)的图象没有经?2x?y?14?0?过域M,则a的取值范围（答：0?a?1,1?a?2,a?9）6、单调性①定义法;②导数法.（1）设x1?x2??a,b?,x1?x2那么

(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；

x1?x2f(x1)?f(x2)(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0??0?f(x)在?a,b?上是减函数.

x1?x2

(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，假使f?(x)?0，则f(x)为增函数；假使f?(x)?0，则f(x)为减函数.

如:(1)已知函数f(x)?x?ax在区间[1,??)上是增函数，则a的取值范围是___

(答：(??,3]))；

(2)函数f(x)?|x|?|x?a|在[0,??)上为增函数，则a的取值范围为_____（答：a?0）注意①：f?(x)?0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f(x)?x在(??,??)上单调递增，但f?(x)?0，∴f?(x)?0是f(x)为增函数的充分不必要条件。注意②：函数单调性与奇偶性的逆用吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如：已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数,若f(m?1)?f(2m?1)?0，求实数m的取值范围。（答：?3312?m?）23③复合函数由同增异减判定④图像判定.⑤作用:比大小,解证不等式.如：（1）函数y?log1?x?2x的单调递增区间是________(答：（1,2）)。

2?2?（2）若函数f(x)?loga(x?ax)(0?a?1)在区间(?范围是________________(答：[,1))

31,0)内单调递增，则a的取值2347、奇偶性：f(x)是偶函数?f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。

x如：（1）若函数f(x)?k?2x（a为常数）在定义域上为奇函数，则k=（答：k??1）

1?k?2（2）定义在R上的偶函数f(x)在(??,0]上是减函数，若f(a?1)?f(2?a)，则a的取

值范围是_______________（答：a?（3）已知函数y=f(x),x∈[－1，1]的图象是由以原点为圆心的两段圆弧及原点构成（如下图）,则不等式的

3）2f(?x)?f(x)?2的解集为3x

（答：[?1,?)?(0,)）

（4）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)?0，

1212xf?(x)?f(x)2xf(x)?0的解集是（答：(?1,0)?(1,??)），则不等式?0（x?0）2x8、周期性。

（1）类比“三角函数图像〞得：

如：已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)?0在[?2,2]上

至少有_________个实数根（答：5）

（2）由周期函数的定义“函数f(x)满足f?x??f?a?x?(a?0)，则f(x)是周期为a的周

期函数〞得：

①函数f(x)满足?f?x??f?a?x?，则f(x)是周期为2a的周期函数；

1(a?0)恒成立，则T?2a；f(x)1③若f(x?a)??(a?0)恒成立，则T?2a.

f(x)②若f(x?a)?如：(1)设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(x?2)??f(x)，当0?x?1时，f(x)?x，

则f(47.5)等于_____(答：?0.5)；

（2）若f(x)是R上的偶函数，f(x?1)是R上的奇函数，则f(x?4)与f(x)的大小

关系为_____________________

（

f(x?4)?f(x)）

（3）定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?2)?f(x)，且在[?3,?2]上是减函数，若

?,?是锐角三角形的两个内角，则f(sin?),f(cos?)的大小关系为_________

(答：f(sin?)?f(cos?))

9、常见的图象变换

①函数y?f?x?a?的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向左(a?0)或向右(a?0)平移a个单位得到的。

如：（1）要得到y?lg(3?x)的图像，只需作y?lgx关于_____轴对称的图像，再向

____平移3个单位而得到(答：y；右)；（2）函数f(x)?x?lg(x?2)?1的图象与x轴的交点个数有____个(答：2)

②函数y?f?x?+a的图象是把函数y?f?x?助图象沿y轴向上(a?0)或向下(a?0)平移a个单位得到的；

③函数y?f?ax?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴伸缩为原来的如：（1）将函数y?f(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的

1得到的。a1（纵坐标不变），再将3此图像沿x轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：f(3x?6))；（2）如若函数y?f(2x?1)是偶函数，则函数y?f(2x)的对称轴方程是_______

1(答：x??)．

2④函数y?af?x?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到

的.

10、函数的对称性

a?b对称。22如：已知二次函数f(x)?ax?bx(a?0)满足条件f(5?x)?f(x?3)且方程

①满足条件f?x?a??f?b?x?的函数的图象关于直线x?

（4）方程x?6x?9x?10?0的实根的个数为_（答：1）

（5）若点P是曲线y=x2－lnx上任意一点，则点P到直线y=x－2的最小距离为____（答：2）

（6）已知?,?是三次函数f(x)?321312x?ax?2bx的两个极值点，且321b?2的取值范围是答：(,1)）??(0,1),??(1,2)，a,b?R，则a?14特别提醒：（1）x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，而不仅是f??x0?＝0，f??x0?＝0是x0为极值点的必要而不充分条件。

（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f?(x0)?0，又要考虑检验“左正右负〞(“左负右正〞)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！

如：函数f?x??x?ax?bx?a在x?1处有微小值10，则a+b的值为____（答：－7）

322三、数列

1、an={

S1(n?1)Sn?Sn?1(n?2,n?N*)注意验证a1是否包含在an的公式中。

2?6(n?1)如：(1)数列｛an｝中,已知Sn?2n?3n?1,求an?（答：an??）

4n?1(n?2)?2、判断和证明：

（1）｛an｝是等差数列?an?an?1?d(常数)?2an?an?1?an?1(n?2,n?N*中项)

?an?an?b(一次)?sn?An2?Bn(常数项为0的二次);a,b,A,B??

?an2?an-1?an?1(n?2,n?N)a｛an}等比???n?q(定);an?1an?0??an?a1?qn?1?sn?m?m?qn;m??

（2）常见结论：①若{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差②若{an}、{bn}等比，则{kan}(k≠0)、??1??an?ca?(c>0)成等比；、{ab}、若{an}等差,则?若{bn}(bn>0)nn???等比；

?bn??bn?n等比,则{logcbn}(c>0且c?1)等差。

如：（1）若{an}是等比数列，且Sn?3n?r，则r＝（答：－1）（2）已知?an?是等比数列，a2?2，a4?8，则a1a2?a2a3?a3a4???anan?1=____

2(1?4n)（答：?）

3

（3）数列?an?满足an?2an?1?2?1(n?N,n?2),a3?27.

n（1）求a1,a2的值；（答：a1?2,a2?9）

1(an?t)(n?N?),且数列?bn?为等差数列？若n2存在，求出实数t；若不存在，请说明理由。（答:t?1）

（2）是否存在一个实数t，使得bn?3、首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n项和最大(或最小)问题,转化为解不等式

?an?0?an?0(或?),或用二次函数处理;(等比前n项积?)，?a?0a?0?n?1?n?1由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

如:（1）等差数列{an}中，a1?25，S9?S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

（答：前13项和最大，最大值为169）；

（2）若{an}是等差数列，首项a1?0,a2023?a2023?0，a2023?a2023?0，则使前n项和

Sn?0成立的最大正整数n是（答：4006）

（3）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3?a9?0,S9?0,则S1,S2,S3,?中最小的是__________(答S5)

（4）已知{an}为等差数列，若a11a10??1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得

最小正值时，n=______（答：19）

（5）等差数列{an}满足3a8?5a13，且a1?0，Sn为{an}的前n项和，则Sn中的最大项是（答：S20）

4、基本量方法：等差数列中an=a1+(n-1)d;Sn=na1?n-1

n(n?1)n(a1?an)d=

22a1(1?qn)a1?anq等比数列中an=a1q;当q=1,Sn=na1当q≠1,Sn==

1?q1?q如：数列?an?是公差不为零的等差数列，并且a5，a8，a13是等比数列?bn?的相邻三项，若b2?5，则bn等于（答：bn?5?()5、利用等差（比）数列的性质：等差数列中,（1）an=am+(n－m)d,d?am?an;m?n53n?2）

（2）当m+n=p+q,am+an=ap+aq；若m?n?2p，则am?an?2ap

（3）任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等差数列.（4）等差数列{an},项数2n时,S偶-S奇＝nd;项数2n-1时,S奇-S偶＝an;项数为2n时，则

S偶S奇?q;项数为奇数2n?1时，S奇?a1?qS偶

等比数列中，（1）an?amqn?m;

an?qn?mam

（2）若，则

;若m?n?2p，则an?am?ap；

2（3）等比数列{an}的任意连续m项的和且不为零时构成的数列

Sm、S2m?Sm、S3m?S2m、S4m?S3m?仍为等比数列.如：公比为-1时，S4、S8-S4、

S12-S8、…不成等比数列。

如：（1）在等比数列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比q是整数，则a10=___（答：512）；

（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5?a6?9，则log3alog3a?log3a1?2??10?（答：10）。

（3）一个等差数列共n项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n为____（答：18）

（4）等比数列{an}中，前四项之和为240，其次、第四项之和为180，则首项为（答：6）

（5）等差数列{an}的前12项的和是98，前98项的和是12，则{an}的前110项的和为__________（答：?110）

（6）设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn?1,Sn,Sn?2成等差数列，则q的

值为______________（注意在运用等比求和公式时对公比q进行探讨）（答：q??2）（7）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a2?1)?2023(a2?1)?1,

3(a2023?1)3?2023(a2023?1)??1，则以下结论正确的是______________

（1）S2023?2023,a2023?a2（2）S2023?2023,a2023?a2（3）S2023?2023,a2023?a2（4）S2023?2023,a2023?a2

6、等差三数为a-d,a,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;

等比三数可设a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3(为什么？)

如：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，其次个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）

7、求数列{an}的最大、最小项的方法（函数思想）：

?0①an+1-an=……??

??0??0?如an=-2n+29n-3②an?1an2

??19n(n?1)?(an>0)如an=????110n??1?答：a9?a10

n（答：a12?a13）2n?1568、求通项常法:（1）已知数列的前n项和sn,求通项an，可利用公

③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=

式:

(n?1)?S1an??(n?2)?Sn?Sn?1

如：数列{an}满足

11114,n?1）a1?2a2???nan?2n?5，求an（答：an?n?12,n?2222?（2）先猜后证

（3）递推式为an＋1＝an＋f(n)(采用累加法)；an＋1＝an×f(n)(采用累积法)；如：已知数列{an}满足a1?1，an?an?1?1n?1?nn(n?2)，则an=________

（答：an?n?1?2?1）

n?1（4）构造法形如an?kan?1?b、an?kan?1?b（k,b为常数）的递推数列

如：已知a1?1,an?3an?1?2，求an（答：an?2?3?1）；

（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法〞解决，适当注意以下3个公式的合理运用an＝（an－an-1）+(an-1－an-2)+……＋（a2－a1）＋a1；an＝

anan－1a2??a1an－1an－2a1如：数列｛an｝中,已知a1?1,nan?1?(n?1)an?2,则an=________

（答：an?3n?2）

an?1的递推数列都可以用倒数法求通项。

kan?1?ban?11如：（1）已知a1?1,an?，求an（答：an?）；

3an?1?13n?2（6）倒数法形如an?（2）已知数列满足a1=1，an?1?an?anan?1，求an（答：an?1）n29、数列的求和

数列求和的常用方法：―――关键找通项公式，确定项数。公式法：⑴等差数列的求和公式，⑵等比数列的求和公式

分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式〞中的“同类项〞先合并在一起，再

运用公式法求和（如：通项中含(-1)因式，周期数列等等）

如：已知数列{an},满足an=2n?3，求Sn

倒序相加法：在数列求和中，假使和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）如：（1）设f(x)?log2nnx12n?1?1，an?f()?f()??f(),n?N?，则1?xnnna2023=_____（答：2023）

x2111（2）已知f(x)?，则f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f()?f()?f()＝__1?x22347（答：）

2错位相减法：（“差比数列〞的求和）

如：已知数列{an},满足an=(2n-1)2n，求Sn

裂项相消法：假使数列的通项可“分裂成两项差〞的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常

选用裂项相消法求和，常用裂

项形式有：（1）

1111?(?)

n(n?k)knn?k（2）1?1?1(1?1)1?1?1?1?1?1?1

k2k2?12k?1k?1kk?1(k?1)kk2(k?1)kk?1k（3）

1111?[?]

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)（4）（理）n?n!?(n?1)!?n!（5）2(n?1?n)?1?2(n?n?1)

n如：求和：1?2n111）、?????（答：

1?21?2?31?2?3???nn?1四、三角函数

1、三角函数的基本概念

⑴角度制与弧度制的互化：?弧度?180?，1??⑵弧长公式：l??R；扇形面积公式：S??180弧度，1弧度?(180?)??57?18'

121?R?Rl。222如：已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积（答：2cm）

2、函数y=Asin(??x??)?b（??0,A?0）①五点法作图;②振幅?相位?初相?周期T=如增区间可有（2k??2??,频率?φ=kπ时奇函数;φ=kπ+时偶函数.单调增（减）区间，

2??2??x???2k???2）来求出x的范围

③对称轴处y取最值,对称中心处值为0;余弦正切可类比.如：（1）函数y?sin??5???2x?的奇偶性是______（答：偶函数）；?2?3（2）已知函数f(x)?ax?bsinx?1(a,b为常数），且f(5)?7，则f(?5)?______（答：－5）；

（3）函数y?2cosx(sinx?cosx)的图象的对称中心和对称轴分别是__________、

____________（答：(k??k??；?,1)(k?Z)、x??(k?Z)）

2828（4）已知f(x)?sin(x??)?3cos(x??)为偶函数，求?的值（答：??k??（5）函数y?2sin(?6(k?Z)）

?6（错因不注意?2x)(x?[0,?])为增函数的区间是_______内层函数的单调性。）（答：[?5,?]）

36

(6)已知函数

?xf(x)?4sinxsin2(?)?cos2x,设??0为常数，若y?f(?x)在区间

42??2??3?,w上是增函数，求的取值范围(答：)0????23???4④变换:φ正左移负右移；b正上移负下移;

?y?sinx??????y?sin(x??)?????????y?sin(?x??)

左或右平移|?|横坐标伸缩到原来的1倍???y?sin(?x??)y?sinx?????????y?sin?x?????A倍|b|?纵坐标伸缩到原来的????????y?Asin(?x??)?上或下平移?????y?Asin(?x??)?b

横坐标伸缩到原来的1倍?左或右平移||（1）要得到函数y?cos(2x?单位（答：

?4)的图像，只需将y?sin2x的图像向左平移个

?）8（2）将函数y?sin2x?3cos2x的图像沿x轴向右平移a个单位（a?0）所得的图像

关于y轴对称，求a的最小值是（答：3、同角基本关系：sin??cos??1，tan?=如：已知

22?）12sin?，tan??cot??1.cos?tan?sin??3cos?2＝____；sin??sin?cos??2＝_________??1，则

tan??1sin??cos?（答：?5；13）；354、正弦、余弦的诱导公式，诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视．．．．．．．．．．．．．．?)．为锐角．．．．

n?n??(?1)2sin?,sin(??)??n?12?(?1)2cos?,?n?n??(?1)2cos?,cos(??)??n?12?(?1)2sin?,?(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数)

如：若sin(???2)?4??3，sin(?)?，则?角的终边在第_______________象限。52255、（1）和（差）角公式

①sin(???)?sin?cos??cos?sin?;②cos(???)?cos?cos??sin?sin?;

③tan(???)?tan??tan??tan??tan??tan(???)(1?tan??tan?).

1?tan?tan???,)，则?+?=_________22如：已知tan?tan?是方程x2+33x+4=0的两根，若?，??(-（答：?2?）错因：没有确凿限制角的范围。3（2）二倍角公式

①sin2??2sin?cos?；②cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?；③tan2??2tan?21?tan??1?cos2??2cos2???

2??1?cos2??2sin?1?cos2??2cos??变形公式：??2??sin2??1?cos2??2?1????sin?cos??sin2?1?sin??(cos?sin)2?cos?sin

22222如：（1）函数f(x)?5sinxcosx?53cosx?___________（答：[k??253(x?R)的单调递增区间为2?12,k??5?](k?Z)）12（2）cot20?cos10??3sin10?tan70??2cos40?＝（答：2）

（3）已知2?????，那么y?cos??6sin?的最大值和最小值分别是_______

（答：7或-5）

s,则cos??cos?的取值范围是______（4）已知5cos??4cos??4co?（答：[0,巧变角：如??(???)???(???)??，2??(???)?(???)，2??(???)?(???)，????2????，???????????等），

2222222216]）25????如：（1）已知tan(???)?2，tan(???)?1，那么tan(???)的值是_____（答：）；

224445（2）已知?,?为锐角，sin??x,cos??y，cos(???)??______（答：y??33，则y与x的函数关系为53431?x2?x(?x?1)）555a2?b2sin?x???(其中tan??6、辅助角公式中辅助角的确定：asinx?bcosx?b)a如：假使f?x??sin?x????2cos(x??)是奇函数，则tan?=

(答：－2)；

7、正弦定理:2R=

abc==;（2R是?ABC外接圆直径）sinAsinBsinC121212①a:b:c?sinA:sinB:sinC；S?absinC?bcsinA?casinB②a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC；内切圆半径r=2S?ABC

a?b?cb2?c2?a2余弦定理：a=b+c-2bccosA;cosA?；

2bc222?ABC中，

A?B?sinA?sinB?a?b

三角形内角和定理：在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)

?C?A?B??222?2C?2??2(A?B).

术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式

旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°

如：（1）已知锐角三角形ABC中，边长a,b满足a?b?23,ab?2，且2sinA(?B?)?3，则另一边长0c=（答：6）

（2）在?ABC中，a,b,c分别是?A,?B,?C的对边长，已知2sinA?(Ⅰ)若a?c?b?mbc,求实数m的值;（答：m?1）

2223cosA.

(Ⅱ)若a?3,求?ABC面积的最大值.（答：Smax?33）4五、平面向量

1、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。)、共线向量、相等向量

如：与向量a??12,5?平行的单位向量________________，垂直的单位向量

512））5________________。（答：（?12，??）；（?，131313132、向量加法与减法运算

(1)代数运算：①AC?AB?BC;CB?AB?AC；A1A2?A2A3???An?1An?A1An②若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）则a?b=（x1?x2,y1?y2）．(2)几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

以向量AB=a、AD=b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量AC=a+b,

BD=b－a,DB=a－b.且有︱a︱－︱b︱≤︱a?b︱≤︱a︱+︱b︱．

如：已知在平面直角坐标系中，O(0,0),M(1,

0≤OP1),N(0,1),Q(2,3),动点P(x,y)满足：2????OM≤1,0≤OP?ON≤1,则OP?OQ的最大值为（答：4）

????3、实数与向量的积：实数?与向量a的积是一个向量。

(1)︱?a︱=︱?︱·︱a︱；

①当?＞0时，?a与a的方向一致；当?＜0时，?a与a的方向相反；当?=0时，

a=（?x1,?y1）．?a=0．②若a=（x1,y1），则?·

(2)两个向量共线的充要条件：

①向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且仅有一个实数?，使得b=?a．②若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）则a∥b?x1y2?x2y1?04、向量的数量积

??（1）向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a,OB=b,则∠AOB=?

?00（0???180）叫做向量a与b的夹角（两个向量必需有一致的起点）。．．．．．???（2）两个向量的数量积：两个非零向量a与b，它们的夹角为?，则a·︱b︱b=︱a︱·???cos?．其中向量b在a方向上的投影为︱b︱cos?．且︱b︱cos?＝a?b

a?（3）向量的数量积的性质：若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）

?????a=a·e=︱a︱cos?(e为单位向量)；②a⊥b?a·b=0?x1x2?y1y2?0；①e·

③︱a︱=

????22a?b=a?a?x1?y1；④cos?=??a?bx1x2?y1y2x1?y1?x2?y22222．

（4）向量的数量积的运算律：

??????????a·a；(?a)·b=b·b=?(a·b)=a·c=a·c+b·c．(?b)；(a＋b)·

注意：①与向量a?(m,n)垂直且模相等的向量为b?(?n,m)或b?(n,?m)；

②在?AOB平分线上的向量可以记为OC??(OAOB?)(??0)|OA||OB|b?0且a、b不共线；③向量a与向量b夹角为锐角?a·

b?0且a、b不共线。④向量a与向量b夹角为钝角?a·

如：已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，假使a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是

（答：???????41或??0且??）；335、平面向量基本定理

?????（1）若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，

?????有且只有一对实数?1，?2，使得a=?1e1+?2e2．

?????（2）有用的结论：若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，若一对实数?1，?2，

?????使得?1e1+?2e2=0，则?1=?2=0.

????????特别：OP＝?1OA??2OB则?1??2?1是三点P、A、B共线的充要条件如平面直角坐

标系中，O为坐标原点

如：已知两点A(3,1),B(?1,3),若点C满足OC?????1OA??2OB,其中?1,?2?R且

???????1??2?1,则点C的轨迹是_______（答：直线AB）

6、三角形中一些向量结论：在?ABC中，

?????????????????????????????①PG?1(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心，特别地PA?PB?PC?0?P为?ABC3????????????????????????的重心；②PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的垂心；

????????ACAB??????)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在③向量?(???|AB||AC|直线)；

????????????????????如：（1）若O是?ABC所在平面内一点，且满足OB?OC?OB?OC?2OA，则?ABC的形状为____（答：直角三角形）

（2）若D为?ABC的边BC的中点，?ABC所在平面内有一点P，满足

?????????????????|AP|???，则?的值为___（答：2）PA?BP?CP?0，设???|PD|（3）设点O在△ABC的内部且满足:4OA?OB?OC?0，现将一粒豆子随机撒在△ABC中，则豆子落在△OBC中的概率是______________（答：）

3?????????????（4）若点O是△ABC的外心，且OA?OB?CO?0，则△ABC的内角C为____（答：120）

（5）O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP?OA??(AB|AB|?AC|AC|?2),??[0,??),则P的轨迹一定通过△ABC的心

22222222z?z?|z|?|z||z?z|?|z?z|?2(|z|?|z|)|z|?z121212⑴；⑵；⑶若z为虚数,则.

mnmnmmmmnm?n(z)?z(z?z)?zz2(m,n?N).121z?z?z6.运算律依旧成立：(1)⑴；⑵；⑶

1?i7.注意以下结论：⑴(1?i)??2i；⑵1?i2?i1?i,1?i??i；

1z.

⑶i?inn?1?in?2?in?3?0(n?N)；⑷

|z|?1?zz?1?z?十五选考部分：

（一）平面几何证明选讲

（二）参数方程、极坐标1坐标系

（1）平面直角坐标系

在平面上，当取定两条相互垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定。

平面直角坐标系中的伸缩变换：

'?x??x(x?0)的作用下，设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?:??'??y??y(??0)点P(x,y)对应到点P(x,y)，成?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。（2）极坐标系：

①极坐标系的概念：

在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（寻常取弧度）及其正方向（寻常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.

②极坐标系内一点的极坐标的规定：

设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为?；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为?.有序数对(?,?)叫做点M的极坐标，记作M(?,?).③负极径的规定：

在极坐标系中，极径?允许取负值，极角?也可以取任意的正角或负角，当??0时，点

'M(?,?)位于极角终边的反向延长线上，且OM=?，从而点M(?,?)也可以表示为(?,??2k?)或(??,??(2k?1)?)，k?Z

（3）极坐标和直角坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴为极轴，并在

两种坐标系中取一致的长度单位.设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)，极坐标是(?,?)，如图，可以得到它们之间的关系：

??2?x2?y2??x??cos???y(x?0)

y??sin???tan??x?（4）简单曲线的极坐标方程

一般地，在极坐标系中，假使平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程

f(?,?)?0，并且坐标适合方程f(?,?)?0的点都在曲线C上，那么方程叫做曲线C的

极坐标方程.

①圆的极坐标方程：

（ⅰ）圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程：

??r

（ⅱ）圆心在(a,0)，半径为a的圆的极坐标方程：??2acos?（ⅲ）圆心在(a,?2)，半径为a的圆的极坐标方程：??2asin?

②直线的极坐标方程

（ⅰ）过极点，倾斜角为?的直线的极坐标方程：???(??R)

（ⅱ）过点(a,0)（a?0），且垂直于极轴的直线的极坐标方程：?cos??a，（ⅲ）过点(a,?2)（a?0），且平行于极轴的直线的极坐标方程：?sin??a

2参数方程

（1）曲线的参数方程的概念：

一般地，在平面直角坐标系中，假使曲线上任意一点的坐标x和y都是某个变数t的函数：??x?f(t)①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x,y)都在

?y?g(t)这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.说明：

①参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义；②同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样；③在实际问题中要确定参数的取值范围.（2）圆的参数方程：

?x?a?rcos?圆心为(a,b)半径为r的圆的参数方程：?(?为参数)

y?b?rsin??（4）参数方程与普通方程的互化：

参数方程化为普通方程的常见方法有：

①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；②三角法：利用三角恒等式消去参数；

③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去.（5）椭圆的参数方程：

?x?acos?x2y2椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程?（?为参数，??[0,2?)）.

y?bsin?ab?（6）直线的参数方程：

经过点M(x0,y0)，倾斜角为?的直线l的参数方程为?

?x?x0?tcos?(t为参数).

?y?y0?tsin?积跬步至千里积小流成江海已积累定成功

高三数学备课组祝全体考生金榜题名！

（答：内心）

（6）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若

(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0，则?ABC是（等腰三角形）三角形（7）已知O,A,B是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若

????????|OA|?7，|OB|?5，则OP?(OA?OB)的值为（答：12）

????????????????????????（8）等边三角形ABC中，P在线段AB上,且AP??AB，若CP?AB?PA?PB，则实数?的

值是_______（答：1?2）

2??????x??x?h?????7、点P(x,y)按a?(h,k)平移得P(x,y),则PP?＝a或?函数y?f(x)按a?(h,k)?y??y?k平移得函数方程为：y?k?f(x?h)??如：（1）按向量a把(2,?3)平移到(1,?2)，则按向量a把点(?7,2)平移到点______（答：

（－８，３））；

（2）函数y?sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y?cos2x?1，则a＝________（答：(????4,1)）

六、不等式

1、注意课本上的几特性质，另外需要特别注意：①若ab>0，则

11?。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。

ab②假使对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，假使正负号未定，要注意分类探讨。

如：已知?1?x?y?1，则3x?y的取值范围是_____（_答：；1?x?y?3，1?3x?y?7）2、比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻觅中间量与“0〞比，与“1〞比或放缩法；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如：（1）设a?0且a?1,t?0，比较

1t?1的大小（答：当a?1时，logat和loga221t?11t?1（t?1时取等号）；当0?a?1时，logat?loga（t?1时取logat?loga2222等号））；

1?a2?4a?2，q?2，试比较p,q的大小（答：p?q）a?2223、常用不等式：若a,b?0（1）a?b?a?b?ab?2（当且仅当a?b时取等号）；

（2）设a?2，p?a?1?1ab222（2）a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号）；

22

（3）若a?b?0,m?0，则

b满足ab?a?b?3，如：假使正数a、则ab的取值范围是_________（答：?9,???）

基本变形：①a?b?；(bb?m（糖水的浓度问题）。?aa?ma?b2)?；2注意：①一正二定三取等；②积定和最小,和定积最大。常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数y?4x?91(x?)的最小值（答：8）

2?4x2②若若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______（答：22）；

11③正数x,y满足x?2y?1，则?的最小值为______（答：3?22）；

xy4、a?b?a?b?a?b(何时取等？)；|a|≥a；|a|≥－a

5、证法:①比较法:差比:作差--变形(分解或通分派方)--定号.另:商比②综合法--由因导果;③分析法--执果索因;④反证法--正难则反。⑤放缩法方法有：⑴添加或舍去一些项，如：a?1?a；n(n?1)?n⑵将分子或分母放大（或缩小）⑶利用基本不等式，如：log3?lg5?(2lg3?lg52)?lg15?lg16?lg4；2n(n?1)?n?(n?1)21k?1?k12k⑷利用常用结论：Ⅰ、k?1?k??；

Ⅱ、

11111111；（程度大）??????22k(k?1)k?1kk(k?1)kk?1kk111111???(?)；（程度小）k2k2?1(k?1)(k?1)2k?1k?1Ⅲ、

⑥换元法：常用的换元有三角换元和代数换元。如：

已知x?y?a，可设x?acos?,y?asin?；已知x?y?1，可设x?rcos?,y?rsin?(0?r?1)；

22222x2y2已知2?2?1，可设x?acos?,y?bsin?；

abx2y2已知2?2?1，可设x?asec?,y?btan?；

ab⑦最值法,如：a>fmax(x),则a>f(x)恒成立.

6、解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方

④公式法：|f(x)|>g(x)?;|f(x)|

交，则l的斜率k的取值范围是（答：(??,?]?[5,??)）（2）若??[25??,)，则直线2xcos??3y?1?0的倾斜角的取值范围是____________62（答：[150,180)）

??2、直线方程:点斜式y-y1=k(x-x1);斜截式y=kx+b;一般式:Ax+By+C=0

两点式:

y?y1x?x1xy;截距式:??1(a≠0;b≠0);?y2?y1x2?x1ab确定直线的几何要素（两个点、一点和方向），求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造

成丢解,直线Ax+By+C=0的方向向量为a=(A,-B)，直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为零，直线在两轴上的截距相等?直线的斜率为?1或直线过原点；

如：（1）过点A（1，2）作直线l，使它在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线l的条数是（答：3）

（2）一条直线过点(5,2)且在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线方程为____________（答：y?2x,y??x?7）

5（3）直线l经过点（-2，3），且原点到直线l的距离是2，直线l的方程（答：x??2,y??513x?）126（4）若一条直线经过点(1,2)，且与两点(2,3),(4,?5)的距离相等，则该直线的方程为_______________（答：y??4x?6,y??3x?7）

22（5）过点（1，2）的直线l与x轴的正半轴、y的正半轴分别交于A,B两点，当?AOB的面积取最小值时，直线l的方程是___________________（答：?x2y?1）43、两直线平行和垂直

①若斜率存在l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2则l1∥l2?k1∥k2,b1≠b2;l1⊥l2?k1k2=-1②若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2?A1A2+B1B2=0；③若A1、A2、B1、B2都不为零l1∥l2?A1B1C1;??A2B2C2如：设直线l1:x?my?6?0和l2:(m?2)x?3y?2m?0，当m?时，l1||l2；（答：m??1）

4、点线距d=|Ax0?By0?C|;两平行线之间的距离：d?|C1?C2|

2222A?BA?B如：已知两点A(1,63),B(0,53)到直线l的距离均等于a，且这样的直线l可作4条，则a的取值范围是（答：0?a?1）

(二)圆

1、圆的方程:标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2;一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)直径式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一

条直线上的三个点等）

2、点与圆，直线与圆以及圆与圆的位置关系：

（1）P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内(上、外)?(x0-a)2+(y0-b)2r2)?设圆的直径为AB，则?APB?90(?APB?90,?APB?90)

?????????????????????????????PA?PB?0(PA?PB?0,PA?PB?0)

（2）直线与圆相交（相切，相离）?d?r(d?r,d?r)?有两（一，零）个公共点（3）圆与圆的位置关系转化为圆心距与半径的关系。设圆心距为d,两圆半径分别为r,R,则d>r+R?两圆相离;d＝r+R?两圆相外切;|R－r|b>0);参数方程?

ab?y?bsin?②定义:

2|PF|=e2c③e=c?1?b2,a2=b2+c2

d相应aa④长轴长为2a，短轴长为2b如：（1）中心在原点，离心率为

1，焦点到相应准线距离是3的椭圆方程是2

x2y2x2y2（答：??1,??1）

4334x2y2（2）椭圆??1的焦点为F1,F2，若P在椭圆上，假使线段PF1的中点在y轴上，

123那么PF1是PF2的倍（答：7）

x2y2?4?（3）P为曲线??1上一动点，F为右焦点，设点A?,2?，则3|PA|?5|PF|的

2516?3?最小值为___（答：21）

22（4）若直线y?kx?1?0(k?R)与椭圆x?y?1恒有公共点，则m的取值范围是

5m（答：[1,5)?(5,??)）

（5）直线Ax?By?C?0与圆x?y?4，相交于M(x1,y1),N(x2,y2)。若

22C2?A2?B2，则x1x2?y1y2的值为（答：?2）

x2y2（6）已知F1,F2分别是椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，过F1作垂直于x轴的

ab直线交椭圆于A,B两点，若?ABF2为锐角三角形，则椭圆的离心率e的范围是

（答:(2?1,1