平面向量的基本定理及坐标表示教案

本文格式为Word版，下载可任意编辑——平面向量的基本定理及坐标表示教案特性化教案

平面向量的基本定理及坐标表示适用学科适用区域知识点数学人教版适用年级高三课时时长（分钟）801．了解平面向量的基本定理2．平面向量的坐标表示及运算3．平面向量共线的条件教学目标1．了解平面向量的基本定理及其意义．2．把握平面向量的坐标表示．3．把握平面向量的运算．4．把握平面向量共线的条件．教学重点教学难点平面向量的坐标运算及平面向量共线条件向量的坐标运算及共线条件

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教学过程

一、复习预习

1．平面向量的定义；2．平面向量的坐标表示；3．平面向量的坐标表示及其运算；

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二、知识讲解

考点1平面向量基本定理

假使e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

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考点2平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量正交分解．

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考点3平面向量的坐标表示

(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向一致的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．

(2)设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若OA＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O是坐标原点)

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考点4向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．

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考点5向量坐标的求法

(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2.

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考点6平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.若a∥b?x1y2=x2y1

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三、例题精析

如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设AD＝a，AB＝b，若AB＝2DC，则AO＝________(用向量a和b表示)．

a＋b

∵AB＝2DC，∴△DOC∽△BOA，且

2

313

OC122

AOACAD＝，∴＝＝

OA233(

1?22?1

a＋b??＋DC)＝32?＝3a＋3b.?

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2】

已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，c.

①求3a＋b－3c；

②求满足a＝mb＋nc的实数m，n.

由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．

①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

②∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴??－6m＋n＝5，?m＝－1，?－3m＋8n＝－5，解得??n＝－1.

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BC＝b，CA【例题＝

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5．已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量AB，AC不共线．

∵AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，

AC＝OC－OA＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.答案：k≠1

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1.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则以下说法错误的是()．．

A．AC＝AB＋AD11

C．AO＝2AB＋2AD

解析：选D由向量减法的三角形法则知，BD＝AD－AB，排除B；由111

向量加法的平行四边形法则知，AC＝AB＋AD，AO＝2AC＝2AB＋2AD，排除A、C.

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B．BD＝AD－AB5

D．AE＝3AB＋AD

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2．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若AC＝2AB，求点C的坐标．

解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC＝(a－1，b－1)，∵A，B，C三点共线，∴AB∥AC.∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.(2)∵AC＝2AB，

∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．?a－1＝4，?a＝5，∴?解得??b－1＝－4，?b＝－3.∴点C的坐标为(5，－3)．

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1．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为()

A．(2,0)

B．(0，－2)

D．(0,2)

C．(－2,0)

解析：选D∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，即a＝－2p＋2q＝(2,4)．令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，?－x＋y＝2，?x＝0，故?即??x＋2y＝4，?y＝2.

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2.如图，已知平行四边形ABCD的顶点A(0，0)，B(4,1)，C(6,8)．

(1)求顶点D的坐标；

(2)若DE＝2EC，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的坐标．

解：(1)设点D(x，y)，由于AD＝BC，所以(x，y)＝(6,8)－(4,1)＝(2,7)，所以顶点D的坐标为(2,7)．

7??

(2)设点I(x，y)，则有F点坐标为?1，2?，由于

??

?1423?DE＝2EC，故(xE－2，yE－7)＝2(6－xE,8－yE)?E?3，3?，

??5??

－3，由于BF＝?，2???

BI＝(x－4，y－1)，BF∥BI?

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2．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：(1)|a＋3b|；

(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？

解：(1)由于a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)，故|a＋3b|＝72＋32＝58.

(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，由于ka－b与a＋3b平行，1

所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－3.?7?

此时ka－b＝(k－2，－1)＝?－3，－1?，

??a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．

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1．已知向量a＝(3，1)，b＝(sinα－m，cosα)，且a∥b，则实数m的最小值为()

A．－2C．－2

解析：选A∵a∥b，∴3cosα－sinα＋m＝0.π??

∴m＝sinα－3cosα＝2sin?α－3?≥－2.

??

B．－1D．－3

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2．已知O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM＝t1OA＋t2AB.(1)求点M在其次或第三象限的充要条件；

(2)求证：当t1＝1时，不管t2为何实数，A，B，M三点都共线．

解：(1)OM＝t1OA＋t2AB＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．?4t2特性化教案

52314723

又AE∥AI?3x＝3y，联立方程组可得x＝4，y＝8，

2(x－4)＝－3(y－1)，?723?则点I的坐标为?4，8?.

??

课程小结

1.基底的不唯一性

只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．

2．向量坐标与点的坐标的区别

要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小.

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课后作业

1．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝()A．(－2，－4)C．(－4，－8)

解析：选C由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)?m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．

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B．(－3，－6)D．(－5，－10)

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2．已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)．给出下面的结论：

①直线OC与直线BA平行；②AB＋BC＝CA；③OA＋OC＝OB；④AC＝OB－2OA.其中正确的结论的个数是()

A．1C．3

解析：选C∵OC＝(－2,1)，BA＝(2，－1)，∴OC∥BA，又A，B，C，O不共线，

∴OC∥AB.①正确；

∵AB＋BC＝AC，∴②错误；∵OA＋OC＝(0,2)＝OB，∴③正确；

∵OB－2OA＝(－4,0)，AC＝(－4,0)，∴④正确．

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B．2D．4

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3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是