南开中学高2023级高三4月月考试卷理

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南开中学高2023级高三4月月考试卷

数学(理科)

本试题分第一卷(选择题)和其次卷(非选择题)两部分.共150分，考试时间120分钟.

第一卷(选择题，共50分)

本卷须知：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上.

2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦清白后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试终止，监考人员将答题卡收回.

一、选择题：(本大题10个小题，每题5分，共50分)各题答案必需答在答题卡上.

1．已知集合M?xx?1?2,x?Z,P??xA．{?1,0,1}

B．{?1,0}

???1??2x?2,x?Z?,则M?P?()?4?

C．{0,1}

D．{1}

2．已知随机变量?听从正态分布N(2,?2),则P(??2)?()A．

15B．

14C．

13D．

123．设Sn是等差数列?an?的前n项和，若S5?15,a8?8,则S10的值为()

??a?2b????4．已知非零向量a,b满足a?b?0,则??的值为()

a?2bA．

A．45B．55C．65D．110

14B．2C．1D．

12?2y?x,?5．设x,y满足不等式组?2x?y,则z?3x?2y的最大值是()

?x?y?6,?A．0

B．2

C．8

xyD．16

6．已知点P(x,y)在直线x?2y?3上移动，当2?4取得最小值时，过点P(x,y)引圆

111(x?)2?(y?)2?的切线，则此切线段的长度为()

242A．62110B．

3225C．

12720D．323107．A、B、C、D、E五人排成一行，则A与C不相邻且B与C也不相邻的概率为()A．

B．

C．

D．

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8．给出以下四个命题：

①若直线l?平面?,l//平面?,则???;

②若平面?内有不共线的三点到平面?的距离相等，则?//?;

③若一个二面角的两个半平面所在的平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在的平面，则这两个二面角的平面角互为补角；

④过空间中任意一点一定可以作一个和两条异面直线都平行的平面.其中正确命题的个数有()

A．1B．2C．3D．4

9．过双曲线2x2?y2?2的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB?4,则这样的直线有()A．4条

B．3条C．2条D．1条

10．从集合{1,2,3,…,10}中取出4个不同的元素，且其中一个元素的三倍等于其他三个元素之和(如1，6，7，10，就是一种取法)，则这样的取法种数有()A．42种B．22种C．23种

D．40种

其次卷(非选择题，共100分)二、填空题：(本大题5个小题，每题5分，共25分)各题答案必需填写在答题卡上(只填结果，不要过程)

41?)?_______________.11．lim(x??24?x22?xa6212．已知(x?)的展开式中的常数项为15a,则非零实数a的值是__________.

x

13．若多面体的各个顶点都在同一球面上，则称这个多面体内接于球.如图，设长方体ABCD?A1BC11D1内接于球O,

DAD1OA1CBC1B1A、B两点之间的球面距离且AB?BC?2,AA1?22,则

为_______________.

????????x2y222??1上一动点，EF为圆N:(x?1)?y?1的任意一条直径，则PE?PF14．设P为椭圆43的最大值是___________.15．若函数f(x)?log2(3x?围是_______________.

12?a),且f(x)?4对定义域内的所有x恒成立，则实数a的取值范x三、解答题：(本大题6个小题，共75分)各题解答必需答在答题卡上(必需写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)

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16．(13分)已知函数f(x)?Asin(2?x??)(A,??0,0????)在x?集合M?{x?R|f(x)?0}中的任意两个元素，且|x1?x2|的最小值为(1)求f(x);(2)若f(?)??12时取最大值2，x1,x2是

?.22??7?,??(,),求sin(?2?)的值.31236

17．(13分)某军事院校招生要经过考试和体检两个过程，在考试通过后才有体检的机遇，两项都合格则被录取.若甲、乙、丙三名考生能通过考试的概率分别为0.4，0.5，0.8，体检合格的概率分别为0.5，0.4，0.25，每名考生是否被录取相互之间没有影响.(1)求恰有一人通过考试的概率；

(2)设被录取的人数为?,求?的分布列和数学期望.

18．(13分)如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD?底面ABCD,过D与

PB垂直的平面分别交PB、PC于F、E,PD?CD.

(1)求证：DE?PC;

(2)求二面角C?PB?D的大小.

P

FEDC

A

B

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19．(12分)设a?0,f(x)?x2?a|lnx?1|.(1)当a?2时，求f(x)的单调区间；(2)当x?[1,??)时，求f(x)的最小值.

20．(12分)已知抛物线y2?2px(p?0)上一动点P,抛物线内一点A(3,2),F为焦点且|PA|?|PF|的最小值为.

(1)求抛物线方程以及使得|PA|?|PF|最小时的P点坐标；

(2)过(1)中的P点作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于C、D两点，直线CD是否过一定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

21．(12分)已知数列?an?满足：a1?1,an?1?(1)求数列?an?的通项公式；(2)证明：(3)设Tn?721nan?n?1(n?N*).221?an?1;n?122n12Tn2?a,k?ln(1?T)?T,且证明：?.nnnn2n?n?42Tn?2kn

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参考答案：

一、选择题：(本大题10个小题，每题5分，共50分)各题答案必需答在答题卡上.

BDBCC

ADABC

二、填空题：(本大题5个小题，第小题5分，共25分)各题答案必需填写在答题卡上(只填结果，不要过程)

11．

14

12．1

13．

2?3

14．8

15．4?a?12

三、解答题：(本大题6个小题，共75分)各题解答必需答在答题卡上(必需写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)

T?16．解：(1)由已知得：A?2,?,所以T??,2??2,从而??1,

22?????)?1,结合0????知??.所以f(x)?2sin(2x?).且sin(2?12332?1???????,所以?2????,(2)由f(?)?,得sin(2??)?,因

33312323所以cos(2???3)??22,3于是sin(7?3???22?2?)?sin[?(2??)]??cos(2??)?6233317．解：(1)设恰有一人通过考试为事件A，则

P(A)?0.4?0.5?0.2?0.6?0.5?0.2?0.6?0.5?0.8?0.34………………5分(2)?的可能值为：0，1，2，3，计算得三人被录取的概率均为0.2.……………7分

1所以P(??0)?0.8?0.512,P(??1)?C3?0.2?0.82?0.384,2P(??2)?C3?0.22?0.8?0.096,P(??3)?0.23?0.008.

3所以?的分布列为：

?

P

01