流体力学（清华大学张兆顺54讲） PPT课件 5

流体力学清华大学航天航空学院2023/4/62第四章理想流体动力学理想流体是真实流体的一种近似模型，忽略粘性真实流体理想流体第四章理想流体动力学2023/4/631.理想流体运动的基本方程和初边值条件2.理想流体在势力场中运动的主要性质

3.兰姆型方程和理想流体运动的几个积分4.理想不可压无旋流动数学模型和性质5.理想不可压无旋流速度势方程基本解法6.不可压流体二维流动的流函数及其性质7.理想不可压流体平面无旋流的复变函数法§4.1理想流体运动的基本方程和初边值条件2023/4/64理想流体运动的基本方程——Euler方程§4.1理想流体运动的基本方程和初边值条件2023/4/65不封闭！§4.1理想流体运动的基本方程和初边值条件2023/4/66理想流体能量方程的讨论§4.1理想流体运动的基本方程和初边值条件2023/4/67热力学第一定律焓动能方程§4.1理想流体运动的基本方程和初边值条件2023/4/68理想、常比热、完全气体、绝热运动时熵沿流体质点的迹线熵不变§4.1理想流体运动的基本方程和初边值条件2023/4/69常用理想流体动力学微分型封闭方程组重力场中，理想常比热完全气体绝热连续流动关于的封闭方程组重力场中，理想匀质不可压缩流体的运动关于的封闭方程组§4.1理想流体运动的基本方程和初边值条件2023/4/610理想流体运动的初边值条件（1）初始条件：对非定常流动，应给出流动的初始速度、压力、密度等的分布（2）边界条件：界面或固壁的不可穿透条件若界面或固壁满足

无穷远条件（无界静止流体）（绕流条件）两种互不掺混界面上的应力条件§4.1理想流体运动的基本方程和初边值条件2023/4/611例：刚体椭球以速度作等速直线运动，建立理想流体运动的边界条件。§4.1理想流体运动的基本方程和初边值条件2023/4/612球坐标系例：在原无界静止的理想匀质不可压缩流体中，有一圆球作均匀膨胀，其物面方程为无穷远处压力，不计质量力，求：球面上的压强分布。§4.1理想流体运动的基本方程和初边值条件2023/4/613积分第四章理想流体动力学2023/4/6141.理想流体运动的基本方程和初边值条件2.理想流体在势力场中运动的主要性质

3.兰姆型方程和理想流体运动的几个积分4.理想不可压无旋流动数学模型和性质5.理想不可压无旋流速度势方程基本解法6.不可压流体二维流动的流函数及其性质7.理想不可压流体平面无旋流的复变函数法2023/4/615§4.2

理想流体在势力场中运动的主要性质Kelvin定理（沿封闭流体线的环量不变定理）

理想

正压流体在势力场中运动时，连续流场内沿任一条封闭流体线的速度环量不随时间变化。证明：2023/4/616§4.2

理想流体在势力场中运动的主要性质动量方程理想：正压：势力场：2023/4/617§4.2

理想流体在势力场中运动的主要性质Lagrange定理（涡量不生不灭定理）

理想、正压流体在势力场中运动时，若某一时刻连续流场无旋，则流场始终无旋。推论：

在满足Kelvin定理的条件下，均匀来流绕过任一物体的流场为无旋流场；由任意物体在原静止流场中运动所造成的流场是无旋流场。涡量方程和涡量源-补充2023/4/618对加速度取旋度得到两边除密度得到2023/4/619涡量运动学的基本方程(Beltrami方程)对N-S方程两边取旋度得到结合Beltrami方程得到涡量动力学方程涡量方程和涡量源-补充2023/4/620涡量源是指流体从静止开始运动后流场中产生涡量的物理原因涡量方程简化为那么流体从静止开始运动后流场中不会产生涡量如果涡量方程表明有三个涡量源：斜压流、非保守体力、粘性涡量方程和涡量源-补充2023/4/621§4.2

理想流体在势力场中运动的主要性质旋涡产生或消失的条件

只要不满足Kelvin定理任何一个条件，旋涡都会产生或消失。Kelvin定理条件：理想、正压流体、质量力有势、流场连续均匀来流边界层内有旋流动切向间断均匀来流曲线激波法向间断（2）存在间断（非连续流场）（1）流体的粘性（非理想流体）无旋有旋2023/4/622§4.2

理想流体在势力场中运动的主要性质（3）非正压流场北极赤道贸易风（信风）北南2023/4/623§4.2

理想流体在势力场中运动的主要性质（4）非有势力场（以地球上大气运动为例）东北西南2023/4/624§4.2

理想流体在势力场中运动的主要性质Helmholtz定理（涡线及涡管保持定理）

理想、正压流体在势力场中运动时，组成涡线（面）的流体质点永远组成此涡线（面），即涡线（面）是流体线（面）。

理想、正压流体在势力场中运动时，组成涡管的流体质点永远组成此涡管，且涡管强度不随时间变化。第四章理想流体动力学2023/4/6251.理想流体运动的基本方程和初边值条件2.理想流体在势力场中运动的主要性质

3.兰姆型方程和理想流体运动的几个积分4.理想不可压无旋流动数学模型和性质5.理想不可压无旋流速度势方程基本解法6.不可压流体二维流动的流函数及其性质7.理想不可压流体平面无旋流的复变函数法2023/4/626§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分Lamb型方程2023/4/627§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分伯努利积分理想正压流体在势力场中作定常流动时，沿流线有理想正压流体在势力场中作定常流动时，沿涡线有压力函数质量力势2023/4/628§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分理想正压流体在势力场中作定常流动流线切向投影2023/4/629§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分几种特殊情况下的伯努利积分理想均质不可压缩流体在重力场中定常流动时，沿流线有理想常比热完全气体在势力场中作绝热定常流动时，沿流线有等速转动坐标系中的伯努利方程理想流体在势力场中作绝热运动，相对于等速转动坐标系运动是定常的，则沿相对流线有2023/4/630§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分伯努利积分应用举例：毕托管测速原理用于测量不可压液体或低速气体流动的速度，简化：假定流体是理想均质不可压，流动定常；放入毕托管后2点处的压力和速度分别近似等于放毕托管前1点处的压力和速度；忽略1、2点间的质量力势之差；测速时，沿流动方向放置毕托管，则1、2点位于同一条流线上。2023/4/631§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分Cauchy-Lagrange积分理想

正压流体在势力场中作无旋流动时，全流场成立其中分别为速度势、压力函数、质量力势、积分常数定常全流场成立的伯努利积分2023/4/632§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分例：理想流体的一维非定常流动在L形等截面管道中充满理想均质不可压流体，开始时出口端封闭，管内流体静止，当t=0时，封口突然打开，流体开始经管内流出。设L形管的垂直和水平段长度均为，L形管上下段空气压强均为大气压求：1）在t=0打开封口瞬时管内压强分布；

2）流体从管内流空的时间。初始状态液面在垂直段内液面在水平段内2023/4/633§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分1.求速度势的表达式2.求速度的表达式液面在垂直段液面在水平段2023/4/634§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分3、求t=0时打开封口后管内压强分布4、求液面的运动规律在垂直段在水平段5、求泄空时间2023/4/635§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分5.动坐标系中的Cauchy-Lagrange积分在动坐标系中研究绝对运动2023/4/636§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分例：半径为a的圆球，在原无界静止的理想均质不可压流体中以作变速直线运动，忽略质量力，求：圆球表面的压力分布以及流体作用在圆球上的合力。动坐标系中的C-L积分举例解：数学提法 在固结于圆球的动坐标系中研究绝对运动物面条件：不可穿透条件无穷远条件：2023/4/637§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分分离变量法求解求速度势2023/4/638§4.3兰姆型方程和理想流体运动的几个积分求压力分布求合力讨论：1流体作用在圆球上的合力为阻力；2达朗贝尔佯谬若圆球的运动为等速直线运动，则它所受阻力为零；3附加质量第四章理想流体动力学2023/4/6391.理想流体运动的基本方程和初边值条件2.理想流体在势力场中运动的主要性质

3.兰姆型方程和理想流体运动的几个积分4.理想不可压无旋流动数学模型和性质5.理想不可压无旋流速度势方程基本解法6.不可压流体二维流动的流函数及其性质7.理想不可压流体平面无旋流的复变函数法2023/4/640§4.4

理想不可压无旋流动数学模型和性质1.不可压缩流体无旋流动问题的数学提法基本方程边界条件物面条件无穷远条件2023/4/641§4.4

理想不可压无旋流动数学模型和性质2.理想、不可压缩流体在势力场中作无旋流动问题的求解思路由运动学条件求

+B.C.由C-L积分求2023/4/642§4.4

理想不可压无旋流动数学模型和性质3.不可压缩无旋流动问题中速度势的主要性质1)连通域的概念连通域：在某个空间区域内，任意两点能在该域内以连续曲线连接，这样的空间区域称为“连通域”。单连通域：在连通域内，任意封闭曲线都能在域内连续地收缩为一点，则称该连通域为“单连通域”。多连通域：凡是不具有单连通域性质的连通域称为“多连通域”。隔面：完全在域内、并和域的封闭边界相交的曲面称为“隔面”。加

1个隔面可变为单连域的称为“双连域”；加n-1个隔面可变为单连域的称为“n连域”。2023/4/643§4.4

理想不可压无旋流动数学模型和性质球内域球外域两球之间圆环内域圆环内域加一个隔面2023/4/644§4.4

理想不可压无旋流动数学模型和性质2)无旋流动速度势的主要性质速度势的确定：在单连域中速度势是单值的。推论：单连域中的无旋流动不可能存在封闭的流线。双连域的无旋流场中，任意不可缩周线上的速度环量相等（绕封闭周线一周），速度势多值。沿某一路径2023/4/645§4.4

理想不可压无旋流动数学模型和性质3)理想不可压无旋流动速度场解的唯一性定理有界单连域中解的唯一性条件在边界上给定或在边界上给定或在一部分边界上给定，另一部分边界上给定有界双连域中解的唯一性条件+绕不可缩周线的速度环量或通过隔面的体积流量无界单连域中解的唯一性条件给定无穷远处和以下三种条件之一内边界上给定及总体积流量内边界上给定内边界上部分给定，其余部分给定，并给定通过内边界的体积流量无界双连域中解的唯一性条件+内边界上的速度环量2023/4/646§4.4

理想不可压无旋流动数学模型和性质4)不可压无旋流场的主要特性速度势函数不能在域内有极大或极小值；不可压缩无旋流场中速度矢量的模不能在域内达到极大值；重力场中，理想不可压缩无旋流场内压强不能在域内达到极小值；动能表达式有界单连域有界双连域无界单连域无界双连域第四章理想流体动力学2023/4/6471.理想流体运动的基本方程和初边值条件2.理想流体在势力场中运动的主要性质

3.兰姆型方程和理想流体运动的几个积分4.理想不可压无旋流动数学模型和性质5.理想不可压无旋流速度势方程基本解法6.不可压流体二维流动的流函数及其性质7.理想不可压流体平面无旋流的复变函数法2023/4/648§4.5

理想不可压无旋流速度势方程基本解法不可压缩流体无旋流动问题的数学提法基本方程边界条件基本方程为线性方程，若为方程的解，则其线性组合也为方程的解。选取合适的系数令满足边界条件，则得到某个流动问题的解。2023/4/649§4.5

理想不可压无旋流速度势方程基本解法（1）均匀流场---全场速度是常数的流场为均匀流场。（2）点源若在流场某一点不断有流体注入流场，其体积流量为Q

则这种流场称为点源流场，Q称为点源强度。点汇：负点源1.不可压无旋流动速度势的基本解2023/4/650§4.5

理想不可压无旋流速度势方程基本解法（3）偶极子强度相等、符号相反的两点源，若它们无限靠近时有这两个点源所构成的流场称为偶极子流场。记为，其中称为偶极子强度，偶极子方向为由点汇指向点源。2023/4/651§4.5

理想不可压无旋流速度势方程基本解法（4）高阶基本解对点源解求导得到：性质：1由点源解求导升阶构成的各阶基本解是奇异解：也称为各阶奇点；2基本解满足无穷远处的渐近性：意义：1

基本解已满足无穷远条件，构造解时只要求满足物面处的边界条件；2

各阶奇点必须布置在流场外；2023/4/652§4.5

理想不可压无旋流速度势方程基本解法例：绕圆球不可压无旋流动的速度和压力分布数学提法：2、奇点叠加法2023/4/653§4.5

理想不可压无旋流速度势方程基本解法基本解叠加：均匀流+偶极子无穷远条件已满足满足壁面条件2023/4/654§4.5

理想不可压无旋流速度势方程基本解法在壁面上驻点：速度为零的点最小压强点：速度最大的点或或2023/4/655§4.5

理想不可压无旋流速度势方程基本解法压力系数：第四章理想流体动力学2023/4/6561.理想流体运动的基本方程和初边值条件2.理想流体在势力场中运动的主要性质

3.兰姆型方程和理想流体运动的几个积分4.理想不可压无旋流动数学模型和性质5.理想不可压无旋流速度势方程基本解法6.不可压流体二维流动的流函数及其性质7.理想不可压流体平面无旋流的复变函数法2023/4/657§4.6

不可压流体二维流动的流函数及其性质平行平面流动：流体质点在平行平面上运动，并且每一平面上流动都相同2023/4/658§4.6

不可压流体二维流动的流函数及其性质一、流函数的定义二、流函数的性质流函数可以差一个任意常数而不影响速度场；流函数的等值线就是流线；不可压缩流体平面无旋流动中，流函数的等值线与等势线正交；通过平面上任意曲线的体积流量等于点和点的流函数值之差，即若流场中不存在源和汇，则在单连域中，流函数是单值的；在双连域中，当通过内边界的总流量不等于零时，流函数是多值的，但速度是连续单值的。自动满足2023/4/659§4.6

不可压流体二维流动的流函数及其性质2023/4/660§4.6

不可压流体二维流动的流函数及其性质三、不可压流体平面无旋流动的流函数方程及定解条件方程：来流条件：或物面不可穿透条件：环量条件：2023/4/661§4.6

不可压流体二维流动的流函数及其性质为什么引进流函数？对二维不可压缩流动，无论是否理想、无旋，流函数总是存在。流函数方程在物面可提第一类边界条件，一般容易求解；求得流函数后，直接可得到流线谱，流场直观；2023/4/662§4.6

不可压流体二维流动的流函数及其性质四、流函数表示的基本解及叠加法1、均匀流的流函数表达式2、点源解的流函数表达式3、偶极子的流函数表达式第四章理想流体动力学2023/4/6631.理想流体运动的基本方程和初边值条件2.理想流体在势力场中运动的主要性质

3.兰姆型方程和理想流体运动的几个积分4.理想不可压无旋流动数学模型和性质5.理想不可压无旋流速度势方程基本解法6.不可压流体二维流动的流函数及其性质7.理想不可压流体平面无旋流的复变函数法2023/4/664§4.7

理想不可压流体平面无旋流的复变函数法物理问题的提法现有周界为的平面物体，无穷远处有一速度为的均匀理想不可压流体绕流此物体（不脱体），求速度场。不可压缩流体平面无旋绕流问题的提法数学提法以速度势为未知函数以流函数为未知函数2023/4/665§4.7

理想不可压流体平面无旋流的复变函数法一、复势1、定义：以速度势为实部、流函数为虚部组成的复函数称为复势。2、复势为解析函数 速度势和流函数为调和函数，并满足Cauchy-Riemann条件速度势和流函数为一对共轭的调和函数由共轭调和函数组成的复函数为解析函数2023/4/666§4.7

理想不可压流体平面无旋流的复变函数法3、解析函数主要性质：解析函数的方向导数与求导方向无关；

解析函数的和、导数、积分是解析函数；在全平面处处解析的函数为常数；在有限域中（不包括的点），解析函数的一般展开式为：(5)留数公式称为罗朗级数。为包含的封闭周线，在周线内为解析函数。2023/4/667§4.7

理想不可压流体平面无旋流的复变函数法二、复速度定义：以不可压平面无旋场的速度分量组成的复函数称为复速度。实部：方向速度分量；虚部：方向速度分量；模：速度矢量的大小幅角：速度矢量与轴的夹角2023/4/668§4.7

理想不可压流体平面无旋流的复变函数法物理问题的提法现有周界为的平面物体，无穷远处有一速度为的均匀理想不可压流体绕流此物体（不脱体），求速度场。三、不可压缩流体平面无旋绕流问题的复势提法数学提法以速度势为未知函数以流函数为未知函数2023/4/669§4.7

理想不可压流体平面无旋流的复变函数法以复势为未知函数在上连续，在内解析物面上：无穷远处：不可缩周线上：解法：奇点叠加、保角变换、数值求解2023/4/670§4.7

理想不可压流体平面无旋流的复变函数法四、基本流动均匀流平面点源2023/4/671§4.7

理想不可压流体平面无旋流的复变函数法平面点涡平面偶极子2023/4/672§4.7

理想不可压流体平面无旋流的复变函数法五、圆柱的无环量绕流

无穷远处速度为的理想、匀质不可压流体的均匀来流，垂直绕过半径为的固定不动的无限长圆柱，忽略质量力，沿圆柱周线的速度环量为零，求：圆柱表面速度、压力分布及圆柱受到的合力。在上连续，在内解析物面上：无穷远处：不可缩周线上：2023/4/673§4.7

理想不可压流体平面无旋流的复变函数法和为待定常数+=2023/4/674§4.7

理想不可压流体平面无旋流的复变函数法复势解圆柱表面速度分布2023/4/675§4.7

理想不可压流体平面无旋流的复变函数法圆柱表面压力分布定义压力系数合力为零2023/4/676§4.7

理想不可压流体平面无旋流的复变函数法六、圆柱的有环量绕流1、问题的提出圆柱转动，风洞不吹风，小车不动；圆柱不转，风洞吹风，小车不动；圆柱转动，同时风洞吹风，小车移动；小车向方向移动小车向方向移动转动越快，风速越大，小车加速度越大小车的升力是如何产生的？与转动角速度和风速有什么关系？2023/4/677§4.7

理想不可压流体平面无旋流的复变函数法2、理论模型由于粘性，圆柱表面有环量在上连续，在内解析物面上：无穷远处：不可缩周线上：圆柱无环量绕流+点涡2023/4/678§4.7

理想不可压流体平面无旋流的复变函数法3、圆柱表面速度分布驻点位置：两个驻点一个驻点无驻点2023/4/679§4.7

理想不可压流体平面无旋流的复变函数法儒科夫斯基升力定理4、圆柱受力分析2023/4/6