2023河北省衡水中学高考数学(理科)适应性试卷(一)

2023河北省衡水中学高考数学适应性试卷(一)数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.1.设全集U=R，集合A={x|1<x<3}，B={x|2x−3≥0}，则A∩(∁A.(−∞,B.(1, +∞)C.(1,D.[2.若复数z=m2−1+(m+1)i是纯虚数，其中mA.iB.−iC.2iD.−2i3.下列命题正确的是（）A.命题“p∧q”为假命题，则命题p与命题q都是假命题B.命题“若x=y，则sinx=C.“am2<bD.命题“存在x0∈R，使得x02+4.已知随机变量X−N(1, 1)，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（）附：若随机变量ξ−N(μ, σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)＝0.6826，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)A.6038B.6587C.7028D.75395.已知数列{an}满足5an+1A.−3B.3C.−D.16.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知“堑堵”ABC−A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，且A.1B.1C.1D.17.偶函数f(x)和奇函数g(x)的图象如图所示，若关于x的方程f（g(x)）=1，g（f(x)）=2的实根个数分别为m、n，则m+n=()A.16B.14C.12D.108.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A.14B.15C.16D.179.已知(1+x)(a−x)6=a0A.−5B.−20C.15D.3510.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A.8+4B.12+4C.6+4D.1211.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，以F1F2为直径的圆OA.3+B.3+C.1+D.1+12.已知函数f(x)=ex+x2+lnA.(−∞, −e]B.(−∞,−C.(−∞, −1]D.(−∞,−二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线上.13.平面向量a→=(2, λ)，b→=(−3, 1)，若向量a→14.设椭圆x2a2+y15.已知x，y满足不等式组2y−x≥0x+y−3≤02x−y+3≥0 ，若不等式ax+y≤716.设数列{an}满足a0=12三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知向量a→=(2sin2x,2cos2x)，b→=(cosθ,sinθ)(|θ|<π2)，若f(x)=a→*b→，且函数f(x)的图象关于直线x=π6对称．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间；(Ⅱ18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2，点P为棱B1C1的中点，点Q为线段A1B上一动点．(Ⅰ)求证：当点Q为线段A1B的中点时，PQ⊥平面A119.QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：步数性别(0, 2500)[2500, 5000)[5000, 7500)[7500, 10000)[10000, +∞)男02472女13731(Ⅰ)以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；(Ⅱ)如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？积极型消极型总计男女总计附：K2P(0.100.050.0250.01k2.7063.8415.0246.63520.已知倾斜角为π4的直线经过抛物线G：y2=2px(p>0)的焦点F，与抛物线G相交于A，B(1)求抛物线G的方程；(2)过点P(12, 8)的两条直线l1，l2分别交抛物线G于点C，D和E，F，线段CD和EF的中点分别为M，N．如果直线l1与l21.已知函数f(x)=ax−lnx．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若a∈(−∞,−1四、请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知圆C的圆心为(22,π4)，半径为22．以极点为原点，极轴方向为x轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为x=1at+3y=1−t (t为参数，a∈R且a≠0)．(Ⅰ)写出圆C的极坐标方程和直线l的普通方程；(Ⅱ)[选修4-5：不等式选讲]23.设不等式||x+1|−|x−1||<2的解集为A．(Ⅰ)求集合A；(Ⅱ)若∀m∈A，不等式mx2−2x+1−m<0参考答案与试题解析2023河北省衡水中学高考数学适应性试卷(一)数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先解出B，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】B={x|x≥32}；∴∁2.【答案】B【考点】复数的运算【解析】由复数z=m2−1+(m+1)i是纯虚数，列出方程组，求解可得m的值，然后代入z=【解答】∵复数z=m2−1+(m+1)i是纯虚数，∴m2−1=0m+1≠0 ，解得m=(1)3.【答案】B【考点】四种命题【解析】根据复合命题的真假判断A，根据四种命题的条件判断B，根据充分必要条件的定义判断C，根基命题的否定判断D．【解答】对于A：命题“p∧q”为假命题，则命题p与命题q至少有一个假命题，故A错误；对于B：命题“若x=y，则sinx=siny”正确，故其逆否命题为真命题，故B正确；对于C：由“am2<bm2”可以得出“a<b”成立，反之，当m=0时，不能得出“am2<bm2”，故am2<bm4.【答案】B【考点】微积分基本定理定积分正态分布密度曲线【解析】由题意P(0<X≤1)=12imes0.6826．P【解答】由题意P(0<X≤1)=12imes0.6826．P（阴影）＝1−P(0<X≤1)＝1−12imes0.6826＝1−0.3413＝5.【答案】A【考点】等差数列的通项公式【解析】数列{an}满足5an+1=25*5an，可得an+1=【解答】数列{an}满足5an+1=25*5an，∴an+1=an+2，即an+16.【答案】C【考点】柱体、锥体、台体的体积球内接多面体【解析】把直三棱柱补形为长方体，由其外接球的表面积求得长方体的对角线长，进一步求出高，则答案可求．【解答】如图，将直三棱柱ABC−A1B1C1补形为长方体ABCD−A1B1C1D7.【答案】D【考点】函数与方程的综合运用【解析】若方程f（g(x)）=1则g(x)=−1或g(x)=1，进而可得m值；若g（f(x)）=2，则f(x)=−a，或f(x)=0，进而得到n值【解答】若方程f（g(x)）=1则g(x)=−1或g(x)=1，此时方程有2个解，m=6；若g（f(x)）=2则f(x)=−a，或f(x)=1，此时方程有4个解；即m=6，n=4，∴m+n=10，8.【答案】C【考点】程序框图【解析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【解答】第一次循环：S=log223，n＝2；第二次循环：S=log223+log234，n＝3；第三次循环：S=log223+log29.【答案】A【考点】二项式定理及相关概念【解析】由已知求得a，再由(1+x)(1−x)6=(1−x2)(1−x)5，写出(1−x)5的展开式的通项，分别取【解答】由(1+x)(a−x)6=a0+a1x+⋯+a7x7，取x=1，得2(a−1)6=a0+a110.【答案】C【考点】由三视图求面积、体积【解析】由三视图画出几何体的直观图，结合图形求出该多面体的表面积．【解答】如图所示，该多面体的直观图为直三棱柱ABC−A1B1C1截去一个三棱锥A−A11.【答案】D【考点】双曲线的性质【解析】联立圆与双曲线的方程，求得P的坐标，tan∠QO【解答】∵∠POF2=∠QOB，∴∠QOF2=∠POB，双曲线的一条渐近线方程为y=bax，则tan∠QOF2=ba，由题意可知：以线段F1F2为直径的圆的方程x212.【答案】C【考点】函数的图象与图象变化【解析】由题意可化为g(−x)−f(x)=0在(0, +∞)上有解即x+a−lnxx=0在(0, +∞)上有解，即函数y=x+a与y=lnxx在(0, +∞)上有交点，画出函数y=x+a【解答】由题意知，方程g(−x)−f(x)=0在(0, +∞)上有解，即ex+2x2+ax−lnx−ex−x2=0，即x+a−lnxx=0在(0, +∞)上有解，即函数y=x+a与y=lnxx在(0, +∞)上有交点，y=lnxx的导数为y′=1−lnxx2，当x>e时，y′<0，函数y=lnxx二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线上.13.【答案】−【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据平面向量共线定理求出λ的值，再计算数量积a→【解答】平面向量a→=(2, λ)，b→=(−3, 1)，若向量a→与b→共线，则14.【答案】x【考点】椭圆的性质圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的几何性质【解析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标，进而求得椭圆的半焦距c，根据椭圆的离心率求得a，最后根据a和c的关系求得b．【解答】抛物线y2=16x的焦点坐标为(4, 0)，∵椭圆的右焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，∴椭圆的半焦距c=4，即a2−b2=1615.【答案】[−4, 3]【考点】简单线性规划【解析】画出不等式满足的平面区域，由ax+y≤7恒成立，结合图形确定出a的范围即可．【解答】x，y满足不等式组2y−x≥0x+y−3≤02x−y+3≥0 的平面区域如右图所示，由于对任意的实数x、y，不等式ax+y≤7恒成立，根据图形，当a≥0时，ax+y=7的最优解为A(2, 1)，可得2a+1≤7解得：0≤a≤3，当a<0时，ax+y=7的最优解为B(−2, −1)，−2a−1≤7，解得0>a≥−4，则实数a16.【答案】2018【考点】数列递推式【解析】先判断数列为递增数列，再判断出对一切n(1≤n≤2018)均有，an<20184036−n≤1【解答】由an+1=an+an22018(n=0,1,2⋯)，可得an+1>an，∴数列{an}为递增数列，∴an+1<an+an*an+12018，即1an−1an+1<三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.【答案】(Ⅰ)根据题意，f(x)=a→*b→=2sin2xcosθ+2cos2xsinθ=2sin(2x+θ)，∵函数f(x)的图象关于直线x=π6对称，∴2×π6+θ=kπ+π2，k∈Z，∴θ=kπ+π6，k∈Z，又|θ|<π2，∴θ=π6．∴f(x)=2sin(2x+π6)．∵函数y=sinx的单调递减区间为[2kπ+π【考点】平面向量数量积的性质及其运算律余弦定理【解析】(Ⅰ)根据题意，由向量数量积的计算公式以及三角函数的和角公式可得f(x)=2sin(2x+θ)，结合三角函数的图象性质分析可得θ的值，即可得答案；(Ⅱ)根据题意，由f(A)=2，结合正弦函数的图象分析可得【解答】(Ⅰ)根据题意，f(x)=a→*b→=2sin2xcosθ+2cos2xsinθ=2sin(2x+θ)，∵函数f(x)的图象关于直线x=π6对称，∴2×π6+θ=kπ+π2，k∈Z，∴θ=kπ+π6，k∈Z，又|θ|<π2，∴θ=π6．∴f(x)=2sin(2x+π6)．∵函数y=sinx的单调递减区间为[2kπ+π18.【答案】(Ⅰ)证明：连接AB1、AC1，显然A、Q、B1三点共线．∵点P、Q分别为B1C1和A1B的中点，∴PQ // AC1；在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥AC1，又AC=AA1，∴四边形ACC1A1为正方形，∴AC1⊥A1C．∵A1C、BC⊂平面ACC1A1，∴AC1⊥平面A1BC，而PQ // AC1，∴PQ⊥平面A1BC．(Ⅱ)以C为原点，分别以CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，连接A1P【考点】直线与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)连接AB1、AC1，说明PQ // AC1；证明AC⊥BC，BC⊥AC1，AC1⊥A1C然后证明AC1⊥平面A1BC，推出PQ⊥平面A1BC．(Ⅱ)以C为原点，分别以CA【解答】(Ⅰ)证明：连接AB1、AC1，显然A、Q、B1三点共线．∵点P、Q分别为B1C1和A1B的中点，∴PQ // AC1；在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥AC1，又AC=AA1，∴四边形ACC1A1为正方形，∴AC1⊥A1C．∵A1C、BC⊂平面ACC1A1，∴AC1⊥平面A1BC，而PQ // AC1，∴PQ⊥平面A1BC．(Ⅱ)以C为原点，分别以CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，连接A1P19.【答案】(Ⅰ)在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为615=25．X可能取值分别为0，1，2，3，∴P(X=0)=C30(2X0123P2754368则E(X)=0×27125+1×54125+2×36积极型消极型总计男9615女41115总计131730k2的观测值k0=【考点】独立性检验离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为615=25．X可能取值分别为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．(Ⅱ)完成2×2列联表求出k2【解答】(Ⅰ)在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为615=25．X可能取值分别为0，1，2，3，∴P(X=0)=C30(2X0123P2754368则E(X)=0×27125+1×54125+2×36积极型消极型总计男9615女41115总计131730k2的观测值k0=20.【答案】解：(1)由题意可设直线AB的方程为y=x−p2，令A(x1, y1)，B(x2, y2)．联立y=x−p(2)设直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，直线l1的斜率为k，则k=tanα．由于直线l1，l2的倾斜角互余，则tanβ=tan(π2−α)=sin(π2−α)cos(π2−α)=cosαsinα=1tanα，则直线l2的斜率为1k．于是直线CD的方程为y−8=k(x−12)，即y=k(x−12)+8，联立【考点】直线与抛物线的位置关系抛物线的性质【解析】(Ⅰ)根据抛物线的性质和根与系数的关系，即可求出，(Ⅱ)于是直线CD的方程为y−8=k(x−12)，联立方程组利用根与系数的关系和中点坐标公式求出M，N的坐标，得出直线MN的方程，即可得出结论．【解答】解：(1)由题意可设直线AB的方程为y=x−p2，令A(x1, y1)，B(x2, y2)．联立y=x−p(2)设直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，直线l1的斜率为k，则k=tanα．由于直线l1，l2的倾斜角互余，则tanβ=tan(π2−α)=sin(π2−α)cos(π2−α)=cosαsinα=1tanα，则直线l2的斜率为1k．于是直线CD的方程为y−8=k(x−12)，即y=k(x−12)+8，联立21.【答案】(Ⅰ)因为f(x)=ax−lnx，f′(x)=a−1x，x>0，a∈R，若a≤0，则f′(x)<0对x>0恒成立，所以，此时f(x)的单调递减区间为(0, +∞)；若a>0，则f′(x)=ax−1x>0时，x>1a，∴f(x)的单调递减区间为(0, 1a)，单调递增区间为(1a, +∞)；综上：当a≤0时，f(x)在(0, +∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0, 1a)上单调递减，在(1a, +∞)上单调递增．(Ⅱ)证明：令g(x)=f(x)−2ax+xeax−1=xeax−1−ax−lnx，则g′(x)=eax−1+axeax−1−a−1x=(ax+1)(eax−1−1x)，由于eax−1−1【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间；(Ⅱ)求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．【解答】(Ⅰ)因为f(x)=ax−lnx，f′(x)=a−1x，x>0，a∈R，若a≤0，则f′(x)<0对x>0恒成立，所以，此时f(x)的单调递减区间为(0, +∞)；若a>0，则f′(x)=ax−1x>0时，x>1a，∴f(x)的单调递减区间为(0, 1a)，单调递增区间为(1a, +∞)；综上：当a≤0时，f(x)在(0, +∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0, 1a)上单调递减，在(1a, +∞)上单调递增．(Ⅱ)证明：令g(x)=f(x)−2ax+xeax−1=xeax−1−ax−lnx，则g′(x)=eax−1+axeax−1−a−1x=(ax+1)(eax−1−1x)