工程设计工程最优化设计的基本概念( 7.)

1最优化设计的基本概念最优化就是追求最好结果或最优目的，从一切可能方案中选择的最合理的一种方案。在进行工程设计、物资运输或资源分配等工作中，运用最优化技术，可以协助我们选择出最优方案或作出最优决策。目前，最优化方法在工程技术、自动控制、系统工程、经济计划.企业管理等各方面都获得了广泛运用。最优化设计是从可能设计中选择最合理的设计，以达到最优目的。搜索最优设计的方法就是最优化设计法，这种方法的数学理论就是最优化设计理论。最优化设计方法是古代设计方法的一种。微积分中遇到的函数极值成绩是最简单的最优化成绩。L1函数的极值最简单的最优化设计成绩，就是微积分中的求函数极值成绩。它是运用数学的一个分支,己浸透到科学、技术、工程、经济各范畴。例1.1边长为a的正方形钢板，设计制成正方形无盖水槽，如图：1.1所示，在四个角处剪去相等的正方形，如何剪法使水槽容积虽大？解：设剪去的正方形边长为x,与此相应的水槽容积为解出两个驻点x=a/2和x=a/6第一个驻点没有实践意义。如今判别第二个驻点能否为极大点。由于Vn(X=a/6)=-4a<0阐明x=a/6的驻点是极大点。结论是，每个角剪去边长为a/6的正方形可使所制成的水槽容积最大。普通记为MaxV(x)o例L2图1.2所示的对称两杆支架，由空心圆管构成。顶点承受的荷载为2P,支座间距为2L,圆管壁厚为6。设密度为P,弹性模量为E,屈服极限为(T。问如何设计圆管均匀直径d和支架高度H,使支架的分量最轻？解：以圆管均匀直径d和支架高度H为两个未知变量。支架总分量的数学表达式为W(H.d)=2Bpbd最轻支架分量w,普通记为mixWo式(L2)中变量d和H还必须满足以下条件：图1.1正方形钢板图I2两杆支架(1)圆管的压应力小于或等于压杆波动临界应力①仃。由材料力学可知，压杆波动的临界应力为由此得波动约束条件(2)圆管压应力小于或等于材料的屈服极限①y,由此得强度约束条件(3)变量d和H为有界变量，由此得几何约束条件dminWdWdmax,HminWHWHmax式中：dmin、dmax、Hmin>Hmax分别为d和H的下界值、上界值。上述支架的最优设计成绩表示为：求设计变量d和H,普通记为X(或{X})=[dH]T=[X1X2]T式(1.2)中W(d,H),普通记为W(x),称为目的函数。使目的函数最小记为满足以下约束条件gl(X)=g2(X)=g3(x)=dmin-dWOg4(X)=d-dmaxWO95(X尸Hmin-HWO96(X尸H-HmaxWO普通记为s.tGi(X)W0,i=l,2,…，m用计算函数极值的分析法，寻求这个成绩的最优解。若假定最优化设计发生在构件中应力达到屈服极限的情形，即选定强度约束方程式(1.4)为等式方式，即将上式代人目的函数W的方程式(L2)中，消去变量d,使目的函数成为一个变量H的函数W二计算函数w对变量H的一阶导数，并使之等于零，求得使分量W为最小值时的H解。即由即当H等于L时，支架总分量最小。以上两个例题都是微积分中典型的极值成绩，它们虽然简单，却代表了经典最优设计出两类成绩。第一，无约束极值成绩(例1.1所示)。maxF(x1,x2…xn)或：mixF(xl,x2・・・xn)这里的F(xl,x2-xn)是定义在n维空间上的可微函数。假如F(X)在x=xo处满足F(X)-F(Xo)<0,且aWxWb,aWXoWb(16)则称F(x)在[a,b]上的x=xo处有一绝对极大值或局部极大值，式(1.6)中的e为一正的小量。假如F(X)在x=Xo处满足F(X)-F(Xo)W0.，且aWXWb,aWXoWb(1.7)则称F(X)在[a,b]上的X=Xo处有一绝对极大值或全域极大值。假如将式(L6)和式(L7)中第一式的“<”或改为或“三"，则称F(X)在X=Xo处分别有一绝对极小值和绝对极小值。只要当F，(Xo)=0时，x=xo处才能满足极大或极小的条件式(1.6),但这只是必要条件，而不是充分条件。绝对极小的必要条件是F，(Xo)=0时，而其充要条件是F，(Xo)=0时，F”(Xo)>0时；反之，绝对极大的必要条件是F'(Xo)=0,而其充要条件则是F'(Xo)=0,F"(Xo)<0。假如F"(Xo)=0,则绝对极大或绝对极小的充要条件还要根据更高次的级数项决定。例如，当F，(Xo)=F"(Xo)=0,而F(Xo)¥0时,X=xo是F(X)的一个拐点。习气上，把极大点和极小点统称为极点，把极大点、极小点和拐点合在一同，统称为驻点：极点上的函数值统称为极值，驻点上的函数值统称为驻值。总之，求极值点的方法是从如下的含有n个未知数xl、x2、…、xn的非线性方程组中解出驻点，然后断定或验证这些驻点足不足极值点。第二，有约束的极值成绩(例L2所示)。minW(X),X=[xl>x2、…、xn]T或maxW(X),X=[xl、x2、…、xn]T满足于Gj(X)=0j=1,2,…，m这个成绩的一个直接解法是把m个等式约束看作m个方程组，利用它们把n个设计变量中的m个，例如xl、x2、…、xm用其他n-m个来表示，然后把函数关系Xl=xl(Xm+1、Xm+2、・・・、Xn),X2=x2(Xm+1、Xm+2、・・・、Xn)>…Xm=Xm(Xm+1>Xm+2、・・・、Xn)代人目的函数中，w(X)就只依赖于Xm+1、Xm+2、…、Xn,成绩成为无约束的。工程实践中提出的很多庞大而复杂的极值成绩，变量与约束的个数不是几个，而是几十个、几百个，甚至上千个；约束也不跟于等式，还出现了不等式.近二三十年来，人们曾经创立了新的理论和方法来求解这种大型成绩，这就是近代最优化理论和方法。普通设计与最优化设计结构优化设计是绝对于传统的结构设计而言的。传统的结构设计，要求设计者根据设计要求和理论经验，参考类似的工程设计，经过判别去创造设计方案；然后进行强度、刚度、波动性等各方面的计算。这里的计算本质上是对给定的方案作力学分析，起一种安全校核的作用，仅仅证明了原方案的可行性。当然，设计者有条件时总是还要研讨几个可能的方案来进行比较，从而对结构规划、材料选择、构件尺寸、结构外形等进行修正，以便得到更为合理的方案。普通(传统)的结构设计，力学分析只起到一种校核的服务作用。它有着两方面的缺陷：一是工作繁复、效率低；二是由于工夫和设计者经验的限制，确定的最终方案往往不是理想的最优方案，而仅为可行方案。虽然普通的设汁程序和方法，可以顺应消费逐渐发展的一定阶段上的需求，但是随着消费的迅速发展，新兴科学技术的不断涌现，人们新的设计思想的丰富、充实后也逐渐看法到：只是做到分析结构是远远不够的，而更重要的义务还在于要设计结构。也就是说，人们不只要阐明世界，更要改造世界。过去的结构力学研讨，次要着眼于分析和计算各种结构在外界要素作用下的受力和变形等力学反应，如今则迈出一大步，把结构优化设计也作为研讨的目的和义务。设计这一概念，从根本下去说，是和分析不同的：设计常常表现为反复的分析。例如，对于静定结构，要设计得能满足一组给定的允许应力，只进行一次分析就已足够，设计者选择的截面就能使结构分量为最轻.从历史下去看，工程人员设计静定结构在超静定结构之前,这可能阐明为什么设计超静定结构时也是首先进行结构分析的缘由。最早，也许是最粗糙的方法，先假定截面特性，再进行结构分析，然后用分析结果来选择一组新的截面特性。经过这样反复循环的运算，往往可得到一个可行的设计。反复修正设计是传统设计的特点。对于实践的超静定结构，这种方法是很繁琐且需求求解联立方程。再者，最后得到的一组截面，在很大程度上取决于最后假定的误差程度。因此，所求得的一组截面下一定是最好的，工程结构建起来后或者是分量大，或者是造价高。普通设计单位往往迫于工夫紧而不能进行多方案比较来选择最合适的截面。经过设计，不只要使产品具有良好的功能，同时还要满足消费的工艺性、运用的可靠性和安全性，且达到费用最省、耗费最低和误差最小等目的。这就是一切设计活功的最终目的。传统的结构设计的另一特点是一切参与计算的量必须以常量出现，结构优化设计是一切参与计算的量部分以变量出现，在满足规范和规定的前提下，构成全部可能的结构设计方案域。在这个设计方案域中有众多的可行设计方案和众多的不可行设计方案。利用数学手腕，按设计者预定的要求，从域中选出一个不但可行且做好的设计方案称为优化设计。因此优化设计所得的设计方案，不只是传统设计中的可行的设计方案，而且是众多可行方案中最优的设计方案.这里所说的最优，是绝对设计者预定的要求而言曲。结构最优设计把力学概念和优化技术作了无机结合。理论证明，结构最优设计能延长设计周期、节省人力、进步设计质量和程度，最终获得分明的经济效益和社会效益。结构优化设计与普通的结构设计采用的是相反的基本理论，运用的是异样的计算公式，恪守的是异样的设计规范和施工技术或者构造规定，因此具有相反的安全度。结构最优化设计与传统的结构设计有一样的设计过程，也要经过设计（拟定各部尺寸）、校核（能否满足规范等要求），修正设计、再校核，如此反复进行，直到找到理想方案为止。所不同的是，传统设计过程的安全性、经济性缺乏衡量的标准，而最优设计是在一个明白特定目的（如结构的体积最小、分量最轻、造价最省）上去阐明结构的经济性与安全性。传统设计的设计、校核关系是松懈的，且普通仅反复进行一两次即中止，而最优设计则是按一定的数学形式将两者紧密地联系在一同，即将设计成绩转化为严厉的数学规划成绩求解，可利用计算机连续快速作出方案比较，从数百个力案比较中，找到最优设计方案，止匕外，只需在最优设计的电算程序中稍加补充（添加前后处理功能）就很方便地完成将计算、设计绘图全过程的自动化。从输人数据到图形输入，只需求大批的工夫，这是传统设计所不可比拟的。评价设计优、劣的标准，在优化设计中称为目的函数；结构设计中的量，以变量方式参与的称为设计变量；设计时应恪守的几何、强度、刚度、波动等条件称为约束条件；选择设计变量，确定目的函数，列出约束条件，称为建立优化设计的数学模型。优化设计数学模型建立在处理不同的工程实践成绩的基础七，有不同的方式。对不同的数学模型，选择不同的最优化方法。结构最优化设计的基本概念设计变量、目的函数、约束条件最优化设计的出现，改变了以往被动设计的局面，它可以在规定的约束条件下，满足确定的目的要求来设计结构的有关参数。设计变量优化设计中待确定的某些参数，称为设计变量。一个结构的设计方案是由若干个变量来描画的，这些变量可以是构件的截面尺寸，如面积、惯性矩等几何参数，也可以是结构的外形布置几何参数，如高度、跨度等，还可以是结构材料的力学或物理特性参数。这些参数中的一部分是按照某些具体要求事前给定的，它们在最优化设计过程中一直保持不变，称为预定参数；另外一部分参数在最优化设计过程中是可以变化的量，即为设计变量。设计变量是最优化设计数学模型的基本成分，是最优化设计最后所需确定的参数。例如图L3所示三杆桁架，若例、性、。3、11、12、13为预定参数，则设计变量就是截面积Al、A2、A3,记为X=[A1A2A3]T或{X}=[A1,A2,A3]T,普通记为X=[X1,X2,X3]T设计变量的个数，即为所需求解最优化成绩的维数。此例为三维成绩，式(1.1)为一维成绩，式(1.2)为二维成绩。有曲工程结构最优化设计成绩可能是几十维、几百维，甚至是更高维数的。目的函数优化设计时判别设计方案优劣标准的数学表达式称为目的函数。它是设计变量的函数，它代表所设计结构的某个最重要的特征或目的。优化设计就是从许多的可行设计中，以目的函数为标准，找出这个函数的极值(极小或极大)，从而选出最优设计方案。目的函数普通记为F(X)。对于图13所示的桁架，若选分量为目的函数，则图L3二杆桁架F(X)=(1.11)式中：必为i杆材料的单位体积分量。设计变量的个数就确定了目的函数的维数，设计变量的哥及函数的性态，也就确定了目的函数的性质。式(L1)为一维非线性函数，式(1.2)为二维非线性函数，式(1.11)为三维线性函数。结构的体积、刚度、承载力、造价、自振特性等都可以根据需求作为优化设计中的目标函数。L3.L3约束条件优化设计寻求目的函数极值时的某些限制条件，称为约束条件。它反映了有关设计规范.计算规程、运输、安装、施工、构造等各方面的要求，有的约束条件还反映了优化设计工作者的设计意图。约束条件包括常量约束与约束方程两类。常量约束亦称界限约束，它表明设计变量的允许取值范围，普通是设计规范等有关规定和要求的数值，如板的最小厚度，圆杆的最小直径等，如式(L5)所示。这类约束比较简单。约束方程是以所选定的设计变量为自变量，以要求加以限制的设计参数为因变量，按一定关系(如应力、应变关系.几何关系等)建立起来的函数式。如式(L3)和式(1.4)就属于约束方程。它们之间的关系有明白的表达式(显函数)的称为显式约束；有些结构比较复杂，结构的应力、位移、自振频率、临界荷载等约束，必须经过较精确的计算方法才能得到，它们之间的关系是隐含表达式(隐函数)，称为隐式约束。普通表达几何关系的式子称为几何约束，确约束多为显式约束。应力约束、波动约束、频率约束等的表达式称为性态约束，性态约束多为隐式约束。约束条件还分为等式约束和不等式约束。最优化成绩的普通表达式求设计变量X=[X1,X2,X3]T运用目的函数F（X）—min（或max）满足约束条件hj（X）=Oj=l,2,…，kGi（x）WOi=l,2,…，mX20最优化成绩分类（。无约束与有约束最优化成绩。例1.1是求无约束极值，最优解就是目的函数的极值.例L2是有约束极值（或称条件极值）。假如是等式约束，则约束数目m必须小于变量数目no当m-n时，成绩的解是独一的；假如rm〉n,这种状况下的最优化成绩无解。（2）确定性和不确定性最优化成绩。在确定性最优化成绩中，每个变量值是确定的。而在随机（或概率）最优化成绩中，某些变革的取值是不确定的。但根据大量实验统计，可以知道变量取值服从一定的概率分布。如电力系统的可靠性成绩就是一个随机最优化成绩.称为随机规划。近年来专家学者看法到由于不可能给事物明白定义和评定标准而存在的模糊性不确定要素，考虑了模糊性要素的最优化成绩称为模糊优化设计。（3）线性与非线性最优化成绩。假如耳标函数和一切约束函数式都是变量的线性函数，则这种最优化成绩称为线性规划。假如目的函数或约束函数式中任一个是变量的非线性函数，则称为非线性规划。用线性函数近似非线性最优化成绩中前非线性函数，就可用线性规划求解非线性规划成绩一在求得的最优解附近，弄对非线性两数作线性近似，可再一次用线性规划求解。用一连串线性规划去近似求解一个非线性规划成绩，称为近似规划。假如目的函数为二次型，而约束函数式是线性的，则称为二次规划成绩。假如目的函数及约束函数式具有多元多项式的方式，则这种非线性规划称为几何规划。（4）静态和动态最优化成绩。若最优化成绩的解不随工夫而变，则称为静态最优化成绩，如大坝、水闸等的最优化设计；若最优化成绩的解随工夫而变，即变量是工夫t的函数，则称为动态优化成绩，即最优控制成绩。这种状况下，变量分为形态变量和控制变量两种。求解动态最优化成绩有动态规划法、极大值原理等。（5）网络最优化成绩。网络最优化就是从图论的角度来研讨网络，并用计算机来寻求这个网络中具有最优参数的途径，如最大流、最短路等。网络最优化是一种复杂系统的规划方法,在运输网络、电路网络、计算机网络以及工程施工网络的分析和设计规划中都有广泛的运用。其他几个基本概念（1）设计空间、设计点。以设计变量为坐标轴所张的空间，称为设计空间。在n个设计变量状况下是一个n维超越空间；只要3个设计变量时，则称为普通的三维空间；只要两个设计变量时，则称为二维立体空间.设计空间中的点称为设计点。（2）约束曲面（线）、约束界面（线）。约束有两类，一类是等式约束，普通是均衡条件（如位移法典型方程）或变形协调条件（如力法典型方程），是结构分析内容，限于由它们来计算内力、应力和位移，因此不参与局部优化过程，故在工程结构优他设计的数学规划里普通只考虑不等式约束。如将不等式约束取等式，则可在设计空间里绘出一个个面或一条条线，这些面或线统称为约束曲面（线）。约束界面（线）是由最严约束曲面（线）去掉堆叠部分所联成的曲面（线）。约束界面（线）将设计空间划分为两个区间，一为可行区，一为非可行区。在可行区中的点都满足一切约束条件。（3）目的函数等值面（线）。令目的函数等于不同的值，即可在设计空司绘出互相平行的一组面或线族。在同一个面或线上不同点，有相反的目的函数值，故各面或线称为等值面或等值线，共同称为等值面（线）族。(4)最优设计。设计空间中的任何一点，代表一个设计，称为设计点。在可行区内的任一点，代表一个可行设计，由于该点满足一切的约束条件。在非可行区内的任一点，代表一个非可行设计，由于它没有满足一切的约束.在约束界面上的任一点代表一个好的可行设计，由于该点使某些约束临界。最优设计点只能是约束界面与目的函数等值线相切或相触的一点,由于该点不只可行，而且使目的两数值最小。1.4工程结构优化设计发展任何一项工程设计总是要求在一定的技术和物质条件下，能获得一个技术经济目的为最佳的设计方案。优化设计就是在这样一种思想指点下产生和发展起来的。在工业民用建筑中常见到的网架结构、框架结构、压力容器韵薄壁结构，在水工建筑中碰到的大坝结构，如重力坝、拱坝、土石坝等，设计时，对其几何边界都有较大的选择自在。因此，工程设计人员可对结构赋予各种方式，结构的外形变化就很大。虽然工程结构类型千姿百态，但都可以用设计参数确定。假如改变结构类型的实践外形，就有可能获得更好的经济效益，这种把设计扩大到包括结构外形作为更进一步的变量，将使目前的设计水准进步一大步，如此有外形设计变量的最优设计叫外形优化设计。在确定设计参数时，既要使设计方案满足预定的设计要求，又要使