吉林省延边州2023届高三统考二模数学试题及参考答案

延边州2023年高三教学质量检测数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（）A． B．0 C．或0 D．无解2．己知复数z满足，给出下列四个命题其中正确的是（）A． B．z的虚部为-1 C． D．3．己知平面向量，则在上的投影向量为（）A． B． C． D．4．某市在文明城市建设中，鼓励市民“读书好，好读书，读好书”．在各阅览室设立茶座，让人们在休闲中阅读有用有益图书．某阅览室为了提高阅读率，对于周末前来阅读的前三名阅读者各赠送一本图书，阅读者从四种不同的书籍中随意挑选一本，则他们有且仅有2名阅读者挑选同一种书的概率为（）A． B． C． D．5．放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则（）A． B． C． D．6．经过向圆作切线，切线方程为（）A． B．C．或 D．或7．正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为，AB的中点，若P是侧面上一点，且平面，则线段PN的最小值为（）A． B． C． D．8．已知定义在R上的函数满足，为偶函数，若在内单调递增．记，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．下列化简正确的是（）A． B．C． D．10．已知函数的定义域为R，且，，则下列选项正确的是（）A．为增函数 B．为增函数C．的解集为 D．的解集为11．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M、N两点，设线段AB的中点为P，则（）A．若，则直线AB的斜率为B．C．若抛物线上存在一点到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为D．若点F到抛物线准线的距离为2，则的最小值为12．如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（）A．若G为线段AE的中点，则平面CEFB．C．的最小值为48D．点B到平面CEF的距离为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在的展开式中，含的项的系数是______．14．设，，若，则取最小值时a的值为______．15．若函数在处有极小值，则c的值为______．16．己知坐标平面xOy中，点，分别为双曲线的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为的中点，点I为的外心，若O、I、D三点共线，则双曲线C的离心率为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．（1）求B；（2）在下面两个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．①的周长为；②面积为．18．（12分）已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前n项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．19．（12分）如图1，在中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，，．将沿DE折起到的位置，使得平面平面BCED，如图2．（1）求证：．（2）求直线和平面所成角的正弦值．（3）线段上是否存在点F，使得直线DF和直线BC所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．（12分）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．该企业为了了解研发资金的投入额x（单位：百万元）对年收入的附加额y（单位：百万元）的影响，对往年研发资金投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：投入额234568911年收入的附加额3．64．14．85．46．27．57．99．1（1）求年收入的附加额y与投入额x的经验回归方程；（2）若年收入的附加额与投入额的比值大于1，则称对应的投入额为“优秀投资额”，现从上面8个投入额中任意取3个，用X表示这3个投入额为“优秀投资额”的个数，求X的分布列及数学期望．【参考数据】，，．【附】在经验回归方程中，，．21．（12分）已知椭园的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为．（1）求椭圆E的方程；（2）如图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线．该直线交椭圆E于C，D两点．直线AD，AC分别交x轴于点H，G．求证：与的面积之积为定值，并求出该定值．22．（12分）已知函数，，其中．（1）若在上单调递减，求a的取值范围．（2）i证明：，n，2023年吉林省延边州高三统考数学答案1．【答案】C【详解】集合A有一个元素，即方程有一解，当时，，符合题意，当时，有一解，则，解得：，综上可得：或，选：C．2．【答案】B【详解】∵，∴，故z的虚部为-1，，，，所以B正确3．【答案】B【详解】因为，，所以，，所以在上的投影向量为，故选：B．4．【答案】D【详解】三人挑四种书，每人有4种选法，共有种方法，恰有2人选同一种书的方法有种，即36种方法，故恰有2人选同一种的概率，故选：D．5．【答案】C根据题意列出方程组，指数式化为对数式，结合对数运算法则，求出，结合，得到．6．【答案】D【详解】（1）当切线的斜率不存在时，直线是圆的切线；（2）当切线斜率存在时，设切线方程为，由到切线距离为得，此时切线方程为即．故选：D7．【答案】C【详解】取的中点为D，连接CD，ND，因为，，所以由面面平行的判定可知，平面平面，则点P在线段CD上，当时，线段PN最短，，，，即，，故，故故选：C8．【答案】A【详解】因为，所以函数的周期为6，因此，因为为偶函数，所以，所以，因为，所以，所以，而若在内单调递增，所以，故选：A9．【答案】ABC【详解】A：，正确；B：，正确；C：，正确．D：，错误；故选：ABC10．【答案】ABD【详解】对于A，因为，所以为增函数，故A正确；对于B，由，，所以为增函数，故B正确；对于C，，则等价于，又为增函数，所以，解得，所以的解集为，故C错误；对于D，等价于，即，又为增函数，所以，解得，所以的解集为，故D正确；故选：ABD．11．【答案】BD【详解】若直线轴，则直线l与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意．设点、，设直线AB的方程为，联立，整理可得，，由韦达定理可得，，，∴，B正确；，解得，所以，直线AB的斜率为，A错误；抛物线上一点到焦点的距离为3，则，可得，故抛物线方程：，C错误；抛物线的焦点F到准线的距离为2，则，所以，抛物线的方程为，所以，，，，所以，圆P的直径为，则，点P到y轴的距离为，∴，∵，∴，∴，即，D正确．故选：BD．12．【答案】ABD【详解】因为BDEF是矩形，所以，又因为矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD相交于BD，所以平面ABCD，而AD，平面ABCD，所以，，而ABCD是正方形，所以，因此建立如下图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，因为，，所以有，因此选项B正确；当G为线段AE的中点时，，，，设平面CEF的法向量为，于是有，因为，平面CEF，所以选项A正确；设，，有最小值44，因此选项C不正确，，，所以点B到平面CEF的距离为，因选项D正确；故选：ABD13．【答案】560【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，所以的展开式中的系数为14．【答案】【解析】解：，且且∴当且仅当取等号，又，即，时取等号15．【答案】3【详解】因为若函数在处有极小值，所以，解得或，（1）当时，，当时，，当时，，则函数在处取得极小值（2）当时，，当时，，当时，，则函数在处取得极大值，综上，．16．【答案】．【详解】不妨设点M在第二象限，设，，由D为的中点，O、I、D三点共线知直线OD垂直平分，则，故有，且，解得，，将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即，当点M在第三象限时，同理可得．17．【答案】（1）（2）选①；选②，【详解】（1）依题意，，由正弦定理得，，由于，，所以，（2）如图所示，设D为BC的中点，则AD为BC边上的中线．若选①，由（1）知，设，由，得，则，故周长为，解得．从而，则在中，由余弦定理得，解得若选②，已知，得，即，则，在中，由余弦定理得，∴．因此BC边上的中线长为18．【答案】（1）（2）（1）由题意可得即又因为，所以所以（2）∵，∴∵存在，使得成立．∴存在，使得成立．即存在，使得成立∵（当且仅当时取等号）．∴，即实数的取值范围是．19．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，．【详解】（1）因为在中，D，E分别为AB，AC的中点，所以，．所以，又O为DE的中点，所以．因为平面平面，且平面，所以平面，所以（2）取BC的中点G，连接OG，所以．由（1）得，．如图建立空间直角坐标系．由题意得，，，，．所以，，．设平面的法向量为．则即令，则，，所以设直线和平面所成的角为，则故所求角的正弦值（3）线段上存在点F适合题意．设，其中．设，则有，所以，，，从而，所以，又，所以令，整理得．解得．所以线段上存在点F适合题意，且20．【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为．解：（1），，，又因为，所以，所以年收入的附加额y与投入额x的线性回归方程为（2）8个投入额中，“优秀投资额”的个数为5个，故X的所有可能取值为0，1，2，3，；；；则X的分布列为X0123P21．【答案】（