2023高考数学大一轮复习 94圆与圆的位置关系试题 理 苏教版

本文格式为Word版，下载可任意编辑——2023高考数学大一轮复习94圆与圆的位置关系试题理苏教版第5讲圆与圆的位置关系

一、填空题

1．圆C1：x＋y＋2x＝0，圆C2：x＋y＋4y＝0，则两圆的位置关系是________．解析圆C1：(x＋1)＋y＝1，圆C2：x＋(y＋2)＝2，所以C1C2＝5，且2－1＜5＜2＋1，所以两圆相交．答案相交

2．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x＋y＝1相切，则圆C的方程是________．解析若圆C与圆O外切，则rC＋1＝5，所以rC＝4.若圆C与圆O内切，由于点C在圆

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O外，所以rC－1＝5，所以rC＝6.

答案(x－4)＋(y＋3)＝16或(x－4)＋(y＋3)＝36

3．与圆x＋y＝25外切于点P(4,3)，且半径为1的圆的方程是________．

424

解析设所求圆的圆心为C(m，n)，则O，P，C三点共线，且OC＝6，所以m＝×6＝，

55

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2

2

n＝×6＝，所以圆的方程是?x－?2＋?y－?2＝1.

55

3

5185

??

24??

??

18??

?24?2?18?2

答案?x－?＋?y－?＝1

5??5??

4．两圆x＋y＋2ax＋2ay＋2a－1＝0与x＋y＋2bx＋2by＋2b－1＝0的公共弦长的最大值为________．

解析两圆方程相减得，相交弦所在直线为x＋y＋a＋b＝0，∴弦长＝2∴当a＝b时，弦长最大为2.答案2

5．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x＋(y－3)＝1内切，则此圆的方程为________．解析由题设知，圆心为(a,6)，R＝6，

∴?a－0?＋?6－3?＝6－1，∴a＝16.∴a＝±4，∴所求圆的方程为(x±4)＋(y－6)＝36.答案(x±4)＋(y－6)＝36

6．若圆x＋y＝4与圆x＋y＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为23，则a＝________.解析两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x＋y＋2ay－6)－(x＋y)＝0－41

?y＝，又a＞0，结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，

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22

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2222

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1－?

?a－b?2

?，?2?

a122

可知＝2－?3?＝1?a＝1.

a答案1

1

7．圆x＋y－6x＋16y－48＝0与圆x＋y＋4x－8y－44＝0的公切线条数为________．解析将两圆x＋y－6x＋16y－48＝0与x＋y＋4x－8y－44＝0化为标准形式分别为(x－3)＋(y＋8)＝11，(x＋2)＋(y－4)＝8.因此两圆的圆心和半径分别为O1(3，－8)，

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2222

r1＝11；O2(－2,4)，r2＝8.故圆心距|O1O2|＝?3＋2?2＋?－8－4?2＝13，又|r1＋r2|>|O1O2|>|r1－r2|，因此两圆相交，公切线只有2条．

答案2

8．已知圆x＋y＝m与圆x＋y＋6x－8y－11＝0相交，则实数m的取值范围为________．解析(x＋3)＋(y－4)＝36，由题意，得|6－m|＜5＜6＋m，解得1＜m＜11，所以1＜m＜121.答案1＜m＜121

9．集合A＝{(x，y)|x＋y＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)＋(y－4)＝r}，其中r＞0.若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是________．解析外切时，r＝3；内切时，r＝7.答案3或7

10．圆C1：x＋y＋4ax＋4a－4＝0和圆C2：x＋y－2by＋b－1＝0恰有三条公切线，若a，

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b∈R且ab≠0，则2＋2的最小值为________．

ab解析由题意，两圆外切，所以|C1C2|＝r1＋r2，即?－2a?＋b＝3，也即4a＋b＝9，1?1?b4a?11b24a222?1

所以2＋2＝(4a＋b)?2＋2?＝?5＋2＋2?≥×(5＋4)＝1，当且仅当2＝2，即

ab9ab?ab?9?ab?9

1

1

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11

b2＝2a2时等号成立．

答案1二、解答题

11．求过两圆x＋y＋4x＋y＝－1，x＋y＋2x＋2y＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程．

?x＋y＋4x＋y＝－1，①?

解由?22

??x＋y＋2x＋2y＋1＝0，②

2

22

2

2

2

1

①－②得2x－y＝0代入①得x1＝－、x2＝－1，

52??1

∴两圆两个交点为?－，－?、(－1，－2)．

5??5

2??1

过两交点圆中，以?－，－?、(－1，－2)为端点的线段为直径的圆，面积最小．

5??56??3

∴该圆圆心为?－，－?半径为

5??5

2

?－1＋1?2＋?－2＋2?2?5??5?????25

2

＝

5

，

?3?2?6?24圆方程为?x＋?＋?y＋?＝.

?5??5?5

12．已知圆O1的方程为x＋(y＋1)＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程；(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点，且AB＝22，求圆O2的方程．解(1)由两圆外切，∴O1O2＝r1＋r2，r2＝O1O2－r1＝2(2－1)，故圆O2的方程是：(x－2)＋(y－1)＝4(2－1)，两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为

2

2

2

2

2

x＋y＋1－22＝0.

(2)设圆O2的方程为：(x－2)＋(y－1)＝r2，

∵圆O1的方程为：x＋(y＋1)＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：

4x＋4y＋r2－8＝0.①

1

作O1H⊥AB，则AH＝AB＝2，O1H＝2，

2|r2－12|

由圆心(0，－1)到直线①的距离得＝2，

42得r2＝4或r2＝20，故圆O2的方程为：

(x－2)＋(y－1)＝4或(x－2)＋(y－1)＝20.

13．已知圆C1：x＋y＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x＋y－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．

解设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组

??x＋y＋2x－6y＋1＝0①?2

2

??x＋y－4x＋2y－11＝0②

2

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2

22

2

2

的解，

①－②得：3x－4y＋6＝0.∵A，B两点坐标都满足此方程，

∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程，易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r＝3.

又C1到直线AB的距离为d＝

|－1×3－4×3＋6|9

＝.22

53＋4

3

∴|AB|＝2r－d＝224

即两圆的公共弦长为.

5

22

?9?2242

3－??＝.

?5?5

14．已知⊙C：x＋y－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB22

的长为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解法一设存在直线方程为y＝x＋b.

则圆心(1，－2)到x－y＋b＝0的距离d＝|3＋b|

2.

则在以AB为直径的圆中，

2

由垂径定理得r2

＝9－d2

＝9－?3＋b?

2

.

由???

y＋2＝－?x－1?，?得圆心坐标?

y＝x＋b，

???

－

b＋12，b－12???.

则以AB为直径的圆为

?2

?x＋b＋1?2??2?＋???y－b－12??2?

＝9－?3＋b?2.

又过原点，将(0,0)代入，得b＝1或b＝－4.

则存在这样的直线，方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.法二设存在直线方程为y＝x＋b.则由?

??y＝x＋b，

??x2

＋y2

－2x＋4y－4＝0

消y得2x2

＋2(b＋1)x＋b2

＋4b－4＝0.

设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋x2＝－(b＋1)，

2x4b－4

1·x2＝

b＋2

，

则y＝x2

1·y2＝(x1＋b)(x2＋b)1·x2＋b(x1＋x2)＋b.又以AB为直径的圆过原点，

所以→OA·→OB＝0，即x2

1·x2＋y1·y2＝0，得b＋3b－4＝0.解得b＝1或b＝－4.

则存在这样的直线，方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.法三设以AB为直径的圆为x2

＋y2

＋Dx＋Ey＋F＝0.

因过原点，得F＝0，则圆x2

＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心为???－DE2，－2???

.

又直线l是两圆的公共弦，两圆相减得l为

4

(D＋2)x＋(E－4)y＋4＝0.由斜率为1，得D＋2＝4－E.

又?－，－?在直线l上，得(D＋2)?－D??DE22????2???＋(E－4)???－E2??

?＋4＝0.

③

由②③得???

D＝2，

??E＝0

或???D＝－3，

??E＝5，

代入①得

x－y＋1＝0或x－y－4＝0.

法四设存在直线方程为x－y＋b＝0.则以AB为直径的圆为

(x