2023中考全国100份试卷分类汇编代数综合

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代数综合

1、（2023?德州）以下函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）22A．y=﹣x+1B．D．y=x﹣1y=﹣x+11C．y?x考点：二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．分析：根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．解答：解：A、y=﹣x+1，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，错误；2B、y=x﹣1（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而减小，正确．C、y=，k=1＞0，在每个象限里，y随x的增大而减小，错误；2D、y=﹣x+1（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而增大，错误；应选B．点评：此题综合考察二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．2、（2023?攀枝花）如图，抛物线y=ax+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；

（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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考点：二次函数综合题．分析：（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析2式，设P点坐标为（x，x+2x﹣3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论；（3）分三种状况进行探讨：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．2解答：解：（1）由于抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），将C点坐标（0，﹣3）代入，得：a（0+3）（0﹣1）=5，解得a=1，2则y=（x+3）（x﹣1）=x+2x﹣3，2所以抛物线的解析式为：y=x+2x﹣3；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N．设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得，解得，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3．设P点坐标为（x，x+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），22∴PN=PE﹣NE=﹣（x+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x﹣3x．∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，∴S=PN?OA=×3（﹣x﹣3x）=﹣（x+）+222，，此时点P的坐标为（﹣，﹣）；∴当x=﹣时，S有最大值（3）在y轴上是否存在点M，能够使得△ADE是直角三角形．理由如下：22∵y=x+2x﹣3=y=（x+1）﹣4，∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4），∵A（﹣3，0），222∴AD=（﹣1+3）+（﹣4﹣0）=20．设点M的坐标为（0，t），分三种状况进行探讨：①当A为直角顶点时，如图3①，2222222由勾股定理，得AM+AD=DM，即（0+3）+（t﹣0）+20=（0+1）+（t+4），解得t=，所以点M的坐标为（0，）；②当D为直角顶点时，如图3②，2222222由勾股定理，得DM+AD=AM，即（0+1）+（t+4）+20=（0+3）+（t﹣0），解得t=﹣，所以点M的坐标为（0，﹣）；③当M为直角顶点时，如图3③，2222222由勾股定理，得AM+DM=AD，即（0+3）+（t﹣0）+（0+1）+（t+4）=20，解得t=﹣1或﹣3，所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）；综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADE是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．点评：此题考察的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，难度适中．运用数形结合、分类探讨及方程思想是解题的关键．3、（2023达州压轴题）如图，在直角体系中，直线AB交x轴

于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3。取BO的中点D，连接CD、MD和OC。

（1）求证：CD是⊙M的切线；

（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线

上是否存在点Q，使S?QAM?1S?PDM？若存在，求出点Q6的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）证明：连结CM.∵OA为⊙M直径,∴∠OCA=90°.∴∠OCB=90°.∵D为OB中点,∴DC=DO.

∴∠DCO=∠DOC.………(1分）∵MO=MC,

∴∠MCO=∠MOC.………(2分）

∴∠DCM=∠DCO+∠MCO=∠DOC+∠MOC=∠DOM=90°.………(3分）又∵点C在⊙M上，

∴DC是⊙M的切线.………(4分）（2）解：在Rt△ACO中,有OC=OA?AC.又∵A点坐标（5，0）,AC=3,∴OC=52?32=4.

22OCOB.?ACOA4OB20∴?.解得OB=.353∴tan∠OAC=

又∵D为OB中点，∴OD=D点坐标为（0，

10.310………

).(5分）3连接AD，设直线AD的解析式为y=kx+b,则有

?10b?,?10???b?,3j解得?3?2?k??.??5k?b?0.?3?210x+.335∵二次函数的图象过M（,0)、A(5,0)，

215………

∴抛物线对称轴x=.(6分）

41515∵点M、A关于直线x=对称，设直线AD与直线x=交于点P,

44∴直线AD为y=-∴PD+PM为最小.

又∵DM为定长，

∴满足条件的点P为直线AD与直线x=当x=

15的交点.………(7分）415215105时,y=-?+=.43436155………

故P点的坐标为（，）.(8分）

46（3）解：存在.

∵S△PDM=S△DAM-S△PAM

11AM2yD-AM2yP221=AM(yD-yp).2110155S△QAM=AM2yQ,由（2）知D（0，),P(，）,

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