专训三线合一解题的六种技巧

阶段方法技巧训练（二）专训2“三线合一”解题

的六种技巧习题课等腰三角形中的“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程．1技巧利用“三线合一”求角1．如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立

柱AD⊥BC，屋檐AB＝AC.求顶架上的∠B，

∠C，∠BAD，∠CAD的度数．因为AB＝AC，∠BAC＝100°，AD⊥BC，所以∠B＝∠C＝40°，∠BAD＝∠CAD＝50°.解：2技巧利用“三线合一”求线段2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝10，且△BDC的周长

为24，求AE的长．因为△BDC的周长＝BD＋BC＋CD＝24，BC＝10，所以BD＋CD＝14.∵AD＝BD，∴AC＝AD＋CD＝BD＋CD＝14.又∵AB＝AC＝14.AD＝DB，DE⊥AB，∴AE＝EB＝

AC＝7.解：3技巧利用“三线合一”证线段(角)相等3．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．(1)如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，试判断△DEF的形状，并说明理由．(2)如图②，若E，F分别为AB，CA的延长线上的

点，且仍有BE＝AF.请判断△DEF是否仍有(1)

中的形状，并说明理由．(1)△DEF为等腰直角三角形．理由：连接AD，易证△BDE≌△ADF，∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，又∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.解：∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF

＝∠EDA＋∠BDE

＝∠ADB

＝90°.∴△DEF为等腰直角三角形．(2)是，理由略．4技巧利用“三线合一”证垂直4．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分

∠BAC，E是AD上一点，且EA＝EC.

求证：EB⊥AB.如图，过点E作EF⊥AC于F.∵AE＝EC，∴AF＝

AC.又∵AB＝

AC，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠BAE.又∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEB(SAS)．∴∠ABE＝∠AFE＝90°，即EB⊥AB.证明：5技巧利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，

∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF

的延长线于点D.试说明：BF＝2CD.如图，延长BA，CD交于点E.∵BF平分∠ABC，CD⊥BD，BD＝BD，∴△BDC≌△BDE.∴BC＝BE.又∵BD⊥CE，∴CE＝2CD.∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF＝∠DCF.解：又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，∴△ABF≌△ACE(ASA)．∴BF＝CE.故BF＝2CD.6技巧利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且

∠ABC＝2∠C.试说明：CD＝AB＋BD.如图，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连接AE，则AE＝AB，所以∠AEB＝∠ABC.又因为AD⊥BC，所以AD是BE边上的中线，即DE＝BD.解：又因为∠ABC＝2∠C，所