第十一章 反常积分

_-第十一章反常积分一 一.一第十一章反常积分教学要点：反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。教学内容：§1反常积分的概念 （4学时）反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。§2无穷积分的性质与收敛判别 （4学时）无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法与Abel判别法。§3瑕积分的性质与收敛判别瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。教学要求：掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel.Dirichlet判别法判别基本的反常积分。1.反常积分的收敛性及其收敛性的判别法是本章的重点.2.两类反常积分的性质及其收敛性判别法有很多相似之处，应引导学生加以类比。§1反常积分概念教学目标：掌握反常积分的定义与计算方法.教学内容：无穷积分；瑕积分.教学建议：讲清反常积分是变限积分的极限.教学过程：一、 问题的提出1、为什么要推广Riemann积分定积分jbf（x）dx有两个明显的缺陷：其一，积分区间［a,b］必须是有限区间；其二，若afeR［a,b］，则3M>0，使得对于任意的x日a,b］，If（x）l<M（即有界是可积的必要条件）。这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。例1（第二宇宙速度问题）、在地球表面初值发射火箭，要是火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大?解： 设地球半径为世，火箭质量为陋，地面重力加速度为g，有万有引力定理，在距地心工处火箭受到的引理为于是火箭上升到距地心广处需要做到功为当F*时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功在由能量守恒定律，可求得处速度％至少应使.2(™/s)例2、从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完?解：由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为钩-兀时，水从小孔里流出的速度为设在很短一段时间&内，桶里水面降低的高度为白兀，则有下面关系:

所以流完一桶水所需的时间应为但是，被积函数在皿加上是无界函数所一我们取，，相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分。2、怎么推广所以流完一桶水所需的时间应为但是，被积函数在皿加上是无界函数所一我们取，，相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分。通过极限工具，把常规积分向两个方向推广：1、无穷区间；2、无界函数。这两种情形可统一在下面的定义中。二、 反常积分的定义1、无穷限反常积分的定无穷限反常积分几何意义j■rdxVdx例1、 ⑴ 讨论积分十亍，+/ ，侦+/的敛散性.例2、 讨论以下积分的敛散性：■HE' 1j dx出jCC-S升血例3、讨论积分 的敛散性.2、瑕积分的定义：以点&为瑕点给出定义.然后就点*为瑕点、点为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明.

:dx例4、 判断积分 的敛散性.；di V-dxJ〉例5、 讨论瑕积分口于 的敛散性，并讨论积分。*的敛散性.瑕积分与无穷积分的关系：设函数了3)连续，也为瑕点.有,把瑕积分化成了无穷积分;,把瑕积分化成了无穷积分;侦切==-jg=jg0 I、J3「IUl设a>°,有 a ，把无穷积分化成了瑕积分作业：P-269： 1,2.§2 无穷积分的性质与收敛判别法教学目标：掌握无穷积分的性质与收敛判别准则.教学内容：无穷积分的收敛；条件收敛；绝对收敛；比较判别法；柯西判别法；狄利克雷判别法；阿贝尔判别法.基本要求：掌握无穷积分的定义，会用柯西判别法判别无穷积分的敛散性.较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.教学建议：本节的重点是掌握判别无穷积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西判别法判别无穷积分的敛散性.本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别无穷积分的敛散性，对较好学生布置这方面的习题.举例说明：当M|f3)1dx收敛时，不一定有limf(x)=0，由此使学生对柯西准则有a x■+8进一步的理解.教学过程：一、无穷积分的性质：⑴了3)在区间［孔+00)上可积，止一Const,则函数止六X)在区间［孔+00)上可积，

、蚓侦二k:j且 近 .⑵和在区间言，+3）上可积，n,3）土目（町在区间f（/±g）=j/±Jg上可积，且田 △日.⑶无穷积分收敛的Cauchy准则：（翻译F（M）T'HT如）\f(^dx=Vf>。，HA,寸&,/>孔nf(x)dx定理积分』收敛定理⑷ 绝对收敛与条件收敛：定义概念.绝对收敛n绝对收敛n收敛，（证）但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分。二、无穷积分收敛判别法非负函数无穷积分判敛法：对非负函数，有『（』）/.非负函数无穷积分敛散性记法.⑴ 比较判敛法： 设在区间3，+由）上函数/⑴和自3）非负且E ，又对任何M川）和g（#在区间［孔&上可积.贝犊・hH<+气na-〈+C0•,+qi>a=+00习,上q.二+oa.（证）Vsin(1+广J 2例1、判断积分的敛散性.lim—=c比较原则的极限形式：设在区间［八+皿）上函数gAQ」"，~fg.则i> 0<z<+oa,1/值习』与 共敛散：ii> 仁顼，n上 J/匹<+00时，』<+00；

iii>仁二+oa,H= +00时，H=+s（证）Cauchy判敛法:iii>仁二+oa,H= +00时，H=+s（证）Cauchy判敛法:件 ±（以为比较对象，即取自3）二廿.以下席〉0）对任何龙〉*,了（时已垣± J了且卢>1,习a<+山；±Jf『3)上仃且卢El,n△=+oa设/"）是在任何有限区间［孔光］上可积的正值函数.lim无勺3）=遂nl且.则化・pnx腻坷n!『〈+皿；;化・P^1,0<<-K0s=> !，=+ooi>ii>例2、讨论以下无穷积分的敛散性:4-K-疽如,(o■:>0),i>⑶ii>其他判敛法：Cauchy判敛法的极限形式Abel判敛法:（证）[1]P324E6若^3）在区间［以+财）上可积,g单调有界，则积分收敛.Dirichlet判敛法：设=在区间〔口，+s）上有界，目3）在［孔+⑶）「■Hi:，上单调，且当时，g3）TO.则懒分"川苑⑵阪收敛.V'sitix1V'cosx】—axI——a?:. …例3、讨论无穷积分Ib与4仃3>°）的敛散性.［1］P325E7例4、 证明下列无穷积分收敛，且为条件收敛：]3也 fCOS7^d?i [^5in7^d?i, ,[1]P326E8sina例5、(乘积不可积的例) 设了⑴ 右，xe[L+如).由例6的结果，积分收敛.但积分 却发散.(参阅例6)作业：P275：1，2，3，4，5.§3 瑕积分的性质与收敛判别法教学目标：掌握瑕积分的性质与收敛判别准则.教学内容：瑕积分的收敛；条件收敛；绝对收敛；比较判别法；柯西判别法；狄利克雷判别法;阿贝尔判别法.基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义，会用柯西判别法判别瑕积分的敛散性.较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.教学建议：本节的重点是掌握判别瑕积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西判别法判别瑕积分的敛散性.本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别瑕积分的敛散性，对较好学生布置这方面的习题.教学过程：一、瑕积分与无穷积分的比较瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果.sm—ax例1、证明瑕积分"芝工当玲《2时收敛.-七====J证："L,该积分当^<2时收敛.二、瑕积分判敛法定理（比较原则）［1］P329Th10-23.推论1 （Cauchy判别法）［1］P329推论1.推论2 （Cauchy判别法的极限形式）［1］P330推论2.例2、 判别下列瑕积分的敛散性：⑴口服（注意被积函数非正）. ⑵ . ［1］P330E12例3、讨论非正常积分口I*'的敛散性.三、C—R积分与R积分的差异?3）卵"］,n在［裁］上=。（1）;但,3）在区间［孔+⑶）上可积，韦，⑴