第六章 线性空间

第六章线性空间一.内容概述(—)基本概念线性空间的定义-----两个集合要明确。两种运算要封闭，八条公理要齐备。V擞域FV•V—VVa、peV使a+PeV。FxV—VVkeV使kaeV。满足下述八条公理：⑴a+P=P+a； ⑵(a+P)+y=a+(P+y)；⑶对于aeV,都有a+0=a，零元素；⑷对于aeV，都有a+P=0,称P为a的负元素，记为一a；⑸k(a+P)=ka+kP；(6)(k+1)a=ka+la；⑺(kl)a=k(la)；⑻1a=a。常用的线性空间介绍如下：匕、*分别表示二维，三维几何空间。(ii)Fn或Pn表示数域F(P)上的n维列向量构成的线性空间。(iii)FL］表示数域上全体多项式组成的线性空间。FnR］表 F上次数不大于n的多项式集合添上零多项式构成的线性空间。(iv)］^心(F)表示数域F上mxn矩阵的集合构成的线性空间。当m=n时，记为Mmxn(F)。(V)血对表示在实闭区间a,对上连续函数的集合组成的线性空间。基，维数和坐标 刻画线性空间的三个要素。⑴基线性空间V(F)的一个基指的是V中一组向量%,气…，气｝满足(i)ai，a2…，气线性无关；(ii)V中每一向量都可由ai，a2…,an线性表出。⑵维数一个基所含向量的个数，称为维数。记为dimV。⑶坐标设a,a...,a为V(F)的一个基。VaeV(F)有a=aa+aa++aa1 2nn n 11 22 nn则称有序数组a,a•..,a为a关于基a,a…,a的坐标。记为(a,a•..,a)。12n 12n 12n⑷过渡矩阵 设诺(F)的二个基a ,a...,a (i) P,P，…P (ii)且P —aa1 2n 1 2n j ijii=1

j=1,2…n则称n阶矩阵。为由基到基的过渡矩阵。子空间子空间的定义及其判定。交子空间和子空间，生成子空间，余子空间。线性空间的同构。设V和W是数域F上两个线性空间。如果⑴。是V到W的一个双射。⑵）Va、peVb（a+8）=b（a）+b（。）⑶VaeV、keF^（ka）=KbG）则称b为V到W的一个同构映射。此时称V与W同构。记为V三W。（二）基本理论气。2，…气为Vn（F）的一个基oV中每一个向量a都可唯一地表示成这n个向量的线性组合。任意多于n个向量的向量必线性相关（诺^）中）。因此有以下四个结论：n（i）V中任意n个线性无关的向量均可构成一个基。（ii） 匕中任何两个基所含向量个数相同。（iii） 有限维线性空间的任意子空间必为有限维的。(iv)若V(iv)若V中两个子空间W1W2且有W1cW2dimW=dimW则W=W0V中两个向量组a,a，…a 与p,p，…p等价，则n 1 2r 1 2sT（a,a，…a）=c（p，p，…p）1 2r 1 2s基扩充定理设（x1,a2，...仁，｝为*一组线性相关的向量，则V中必有n—r个向量a“1，••*使得｛x1，a2，--ar,a“1，...a〃｝做成V的一个基。维数公式设W，W是V的两个子空间，那么dimW+W=dimW+W4dimWcW坐标变换公式「1尤：2=Ty：2顷n^k/过渡矩阵是可逆的。子空间的判定。设W是*（F）的一个非空子集，则W为¥^（F）的一个子空间oVa,PeWk、l&F都有ka+/peW。直和的充要条件：（i）零向量的表示法唯一。 （ii）WC而=h}（iii）『「_）『一『_ 12dimW+WdimW+dimW。线性空间同构的性质。（i）^（0）=0bQa）=—b（a）（ii）线性空间V中向量组气性,…侦线性相关o它们的象b（a）b（a）...,b（a）线性相关。（i）同构具有反身性，对称性，传递性。2（iv）数域F上两个有限维线性空间同构的O是它们有相同的维数。（三）基本方法1.线性空间及子空间的证明方法；2.基、维数及向量坐标的求法；线性空间直和分解的方法；4.线性空间同构的证明方法。二.例题选讲例1.判断下列集合对指定的运算是否构成给定数域上的线性空间。⑴数域P上全体n阶对称矩阵与反对称矩阵所成的集合V对于矩阵的加法和数乘运算。⑵全体正实数R+构成的集合，P=R,加法和数乘定义为a㊉b=abk。以=以ka、beR+keR解⑴构不成线性空间。因为设A是对称矩阵，B是反对称矩阵，且都不是零矩阵。则Ca+B）=A+B，=A—B但A—B丰—（A+B）（否则A、B之一为零矩阵）即A+B既不是对称矩阵，也不是反对称矩阵。故A+B任V，因而V构不成线性空间。⑵对于加法封闭：对任意的a、beR+，有a©b=abeR；+对于数乘封闭：对任意的keR，aeR+有k。a=akeR+；（i） a©b=ab=ba=b©a；（ii） （a©b）©c=（ab）©c=（ab'）c=a（bc）=a©G©c）

（iii）R+中存在零元素1,对任何agR+，有a㊉1=a•1=a；(iv)对任何agR+，有负元素a-1gR+,，使a㊉a-1=aa-1=1(v)1oa=a1=a；(vi)kGa)=k•。)=aki=(kl^a；(vii)(k+1)oa=ak+i=ak-ai=ak㊉ai=k。a+1。a；项)k(a㊉b)=ko(ab)=(ab)k=ak•bk=ak㊉bk=koa+k。b因此对于所定义的加法和数乘构成线性空间。fabc']<baba、b、cgR>Icba/例2.设V=(i)证明V对于矩阵的加法和数乘来说构成实数域R上的线性空间。(i)(ii)求V的一组基及维数。(iii)(ii)求V的一组基及维数。(iii)求A在该基下的坐标。其中A=3-21-23-21-23f1}f010)f001)E=1E=101E=0001,2,31vv010?V100)解（i）有两种证法。①逐条验证。②用子空间的判定条件来证。线性无关，又任意矩阵(i)abcbabcabcbabcba=aE]+bE+cE3•••Ei，E2,E3为的V的一个基，维数为3。(iii)矩阵A=f3-21I1一2在基E1，气,R下的坐标为G，-2，1）。例3.⑴证明以下两组向量是线性空间F3的两个基：（北京师范大学、湖北大学）⑵求向量在这两个基下坐标的关系。证明⑴以向量及为到三阶行列式与分别线性无关。故与都是线性空间的基。⑵设在两个基下坐标分别为与其中为3维单位向量。在两个基下坐标有如下关系：例4.⑴证明下列多项式是（即次数次的多项式及零多项式构成的线性空间）的基：其中是数域中个互不相同的数。⑵在⑴中，取为全体次单位根，求由基到基的过渡矩阵。⑴证：事实是上，若⑴则令代入⑴式由得。将分别代入⑴式由于必得故线性无关。故是一个基。⑵由于由基到基的过渡矩阵为例5.在中，求由基到基的过渡矩阵解：的基，所以将⑵代入⑶得为所求过渡矩阵。例6.证明：数集关于数的加法与数的乘法构成有理数域上的线性空间，并求的一组基与维数。证：根据线性空间的定义，根据数的加法具有交换律、结合律。是中的零元。的负元素为。数的乘法对加法具有分配律，容易验证故构成上的线性空间。为求的基与维数，设则由于是有理数，是无理数故注意到是有理数，是无理数。得从而线性无关。并且中的数都可由线性表示。这样是的一组基，从而维。例7.若以表示实系数多项式。试证 （吉林工业大学、华中师大）是实数域上的线性空间。并求出它的一组基及维数。证：记为实系数多项式全体，已知是上的线性空间。即证是的子空间，从而是实数域上的线性空间。再令由于且次数再证线性无关，令得线性无关。再对那么但是此即可由线性表示综上可知是的一组基，且维。例8.若，则对通常的加法和数乘，在复数域上（）维的。在实数域上是（）维的。答：2；4。在复数域上令；则线性无关。则此即可由线性表示，在实数域上令若其中此即线性无关。可由线性表示，在实数域上，例9.设是定义在闭区间上所有实函数的集合，在上定义加法为：对为函数定义实数乘函数为⑴证明：是实数域上的向量空间；并指示什么函数是零向量；的负向量是什么函数；⑵证明不是有限维向量空间。证：⑴先证关于加法和数乘是封闭的那么和仍为定义在闭区间上的实函数，下证加法满足四条公理：规定零向量如下：以下四条中，这里只证最后一条（其余同理可证）再证数乘满足四条公理：现以为例（其余同理可证）故综上所述，即证得是上的向量空间，零向量是零函数。即的负向量为⑵证明维即存在任意多个线性无关的向量，令那么可证线性无关，由可任意大维即不是有限维实向量空间。例10.设是定义域实数集的所有实函数组成的集合，对于分别用下列式子定义则成为实数域上的一个线性空间。设⑴判断是否线性相关，写出理由。⑵用表示生成的子空间，判断是否为直和。（北京大学）解：⑴令即分别代入上式得解得线性无关。⑵令是直和。即是直和。例11.证明对于全体阶矩阵构成的线性空间，有其中分别是全体阶对称矩阵与反对称矩阵的线性空间。证：先证虽然有因为而故故。再证故而例12.设A、B、C、D都是数域上阶方阵，且关于乘法两两可交换，还满足AC+BD=E（E为阶单位矩阵）设方程的解空间为与的解空间分别为，证明证：⑴先证此即则此即即⑵再证由⑴有故此即故⑶证明即的任意性。证得故例13.设是数域上的矩阵是上矩阵是非奇异矩阵。证明：维线性空间是齐次线性方程组的解空间的解空间的直和。（山东大学“）证：仅有零解。即方程组仅有零解，此即但秩秩（秩）例14设都是的子空间。证明证：已知只须证设对于任意的有且故使推出又故得而故故例15.设且证明：关于通常矩阵的加法与数乘构成上的线性空间。并求的维数。证：显然故是数域上三阶方阵所构成线性空间的一个非空子集。易证是的子空间从而是上的一个线性空间。另一方面，由计算得知的特征多项式为最小多项式为任取则于是可见是的生成元。线性无关。故是线性空间的一个基。从而例16.设是线性空间的两个真子空间，证明：存在向量使同时成立。（的补充题4）证：因为为非平凡子空间。故存在如果则命题得证。如果但必另有如果则命题也得证。今设即有向量使得于是可证。事实上，若，那么必定有这与假设矛盾。同理可证。则即为所求。例17.设是线性空间的个真子空间。证明中至少有一个2不属于中任何一个。（的补充题5）（北京邮电学院）证：对用数学归纳法⑴当时，由上例得知，结论成立。⑵假设时，命题成立。现证时，也成立。由归纳假设须知中存在一个向量，如果则结论得证。今设另外存在此时如果中任何一个，则结论也成立。因此不妨设于是有及由上例知：对作同样的讨论。如果中任何一个，则结论成立。因此不妨设显然中任何一个，再对作上述讨论。如果中任何一个。则命题得证。不然又可设于是得如此继续下去，因子空间个数有限。故经有限步后可得所以对任意结论成立。由⑴⑵得知，对任意命题成立。例18.和为直和，求证：证明其逆不成立。证：用反证法。其结论不成立。即不妨设则有此时有零向量表示法唯一。与为直和矛盾。故结论成立。任取平面上两两不共线的三个向量显然两两之交为0,但是它们的和显然不是直和。例19.设是数域上的一个线性空间。⑴若是的两个有限维子空间。证明维数公式：⑵写出关于线性空间的个有限维子空间的相应维数公式，并给予证明。（福建师范大学）证：⑴见北大《高等代数》P265的定理7。⑵线性空间的个有限子空间的相应的维数公式是下面用数学归纳法证明：当时，由⑴得知结论成立。假设时，结论成立。下证时，结论也成立。即时，结论成立。这样，我们完成了维数公式的推广。下面我们介绍余子空间的概念。定义设是线性空间的一个子空间，的子空间叫做的一个子空间。如果⑴⑵例20.维线性空间上午任意一个子空间都有余子空间，那么证：设是子空间的一个基，取显然而且容易证明所以是的一个余子空间。根据维数公式，则例设是维线性空间的子空间。且证明在中有不只一个余子空间。（北京师范大学）证：设为的一个基，令则为的一个余子空间。设则也是的一个余子空间，且。显然对线性无关。这样就证明了也是的一个余子空间。下证，如若不然那么令这与相矛盾。由此得故命题成立。设为个方程个未知量的齐次线性方程组，若则全部解向量作成一个维向量空间的一个子空间，称为齐次线性方程组的解空间，其维数等于。例22.在中，求由齐次线性方程桐确定的解空间的基与维数。解：秩为2,因而解空间的维数是4-2=2它的一个基为例23.在四维线性空间中，设是由向量所生成的子空间，试求出子空间解：设向量则这个方程组显然有无穷多解，我们从中挑出两个线性无关的而又是2维的，握吱是由所生成的子空间。例24.假设维线性空间的两个线性子空间