量子力学基础考试习题思考题

习题2222-1．计算以下物体拥有10MeV动能时的物质波波长，（1）电子；（2）质子。解：（1）拥有10MeV动能的电子，能够试算一下它的速度：12Ek2Ek21071.61019光速c，所以要考虑相对论效应。mvv9.1110312m设电子的静能量为m0c2，总能量可写为：EEkm0c2，用相对论公式：E2c2p2m02c4，可得：p1E2m02c41Ek22m0c2EkhhcccpEk22m0c2Ek6.6310343108(1071.61019)229.111031(3108)21071.610191.21013m；（2）关于拥有10MeV动能的质子，能够试算一下它的速度：2Ek7192101.6104.4107m/s，所以不需要考虑相对论效应。vm1.671027利用德布罗意波的计算公式即可得出：hh21.676.6310349.11015m。p2mE10271071.6101922-2．计算在彩色电视显像管的加快电压作用下电子的物质波波长，已知加快电压为25.0kV，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。解：（1）用非相对论公式：hh26.6310341037.761012m；p2meU9.1110311.6101925（2）用相对论公式：设电子的静能为m0c2，动能为：EkeU，EeUm0c2hc7.671012m。由，有：E2c2p2m02c42mc2eU(eU)2022-3．求出实物粒子德布罗意波长与粒子动能EK和静止质量m0的关系，并得出：EK<<m0c2时，h/2m0EK；EK>>m0c2时，hc/EK．解：由EKmc2m0c2[m0c2/1(v/c)2]m0c2解出：m(EKm0c2)/c2vcEK22EKm0c2/(EKm0c2),依照德布罗意波：h/ph/(mv)把上面m，v代入得：hc,EK22EKm0c21/6当EKm0c2时，上式分母中，EK22EKm0c2，EK2可略去．得hc/2EKm0c2h/2EKm0当EKm0c2时，上式分母中，EK22EKm0c2，2EKm0c2可略去．得hc/EK22-4．一中子束经过晶体发生衍射。已知晶面间距d7.32102nm，中子的动能Ek4.20eV，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角。解：衍射是波的特点，中子束经过晶体发生衍射，可见中子束拥有颠簸属性，由布拉格公式2dsink，一级极大时取k1，有：sin2d，波长可利用德布罗意波的计算公式得出：hh21.676.6310341.610191.401011m，p2mE10274.2∴sin1.410110.0956，arcsin0.09565.49529'。2d27.32101122-5．以速度v6103m/s运动的电子射入场强为E5V/cm的匀强电场中加快，为使电子波长1A，电子在此场中应当遨游多长的距离？解：利用能量守恒，有：E12eU，考虑到hh，mvp2mE2有：U1[1(h)21mv2]1[1(h)2mv2]e2m22em119[16.63103429.111031(61032]21.6101031(10))9.11101019(4.8210173.281023)150.6V，3.2太小，舍去利用匀强电场公式EU有：dU150.60.301m。dE50022-6．用电子显微镜来分辨大小为1nm的物体，试估计所需要电子动能的最小值。（以eV为单位）1nm的物体，所以电子束的徳布罗意波长最少为1nm，解：由于需要分辨大小为由ph，有电子的动量为：p6.6310346.631025kgm/s；109试算一下它的速度：vp6.6310257.285光速c，m09.11103110m/s所以不考虑相对论效应，则利用Ekp2，有电子动能的最小值：2m0Ek(6.631025)22.41019J1.5eV。29.1110312/622-7．设电子的地点不确定度为0.1A，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为1keV，计算电子能量的不确定度。解：由不确定关系：xp，有p21.05510345.31024kgm/s，2x20.11010hcpc，可推出：Ecp1.601015J。由Eh22-8．氢原子的吸取谱线4340.5A的谱线宽度为102A，计算原子处在被激发态上的平均寿命。解：能量Ehhc，由于激发能级有必然的宽度E，造成谱线也有必然宽度，两者之间的关系为：Ehc，由不确定关系，Et/2，平均寿命t，则：2t22(4340.51010)251011s。E2hc4c423.143108101222-9．若红宝石发出中心波长6.3107m的短脉冲信号，时距为1ns(109s)，计算该信号的波长宽度。解：光波列长度与原子发光寿命的关系为：xct，由不确定关系：pxxx222，有：2px42(6.3107)21.323103nm。∴310810ct922-10．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系能够表示为Lh，式中L为粒子角动量的不确定度，为粒子角地点的不确定度。证明：当粒子做圆周运动时，设半径为r，角动量为：Lrmvrp，则其不确定度LrP，而做圆周运动时：xr，利用：Pxh代入，可获得：Lh。22-11．计算一维无量深势阱中基态粒子处在x0到xL/3区间的几率。设粒子的势能分布函数为：U(x)0，0xLU(x)，x和xL0解：依照一维无量深势阱的态函数的计算，当粒子被限制在0xL之间运动时，其定态归一化的波函数为：n(x)2sinnx，0xL，lln(x)0，x0和xL概率密度为：Pn(x)2sin2nx，0xLllln112n粒子处在x0到xL/3区间的几率：Pn(x)322，sinx32nsin3l0llsin2若是是基态，n1，则Pn(x)32sin2lx110.19519.5%。0l3233/61422-12．一个质子放在一维无量深阱中，阱宽L10m。（2）由n2态跃迁到n1态时，质子放出多大能量的光子？2解：（1）由一维无量深势阱粒子的能级表达式：Ehn2n8mL2n1时为零点能量：E1h2(6.631034)23.291013J。8mL281.671027(1014)2（2）由n2态跃迁到n1态时，质子放出光子的能量为：EE2E1(221)E19.871013J。22-13．对应于氢原子中电子轨道运动，试计算n3时氢原子可能拥有的轨道角动量。解：当n3，l的可能取值为：0，1，2。而轨道角动量Ll(l1)，所以L的取值为：0，2，6。22-14．氢原子处于n2，l1的激发态时，原子的轨道角动量在空间有哪些可能取向？并计算各样可能取向的角动量与z轴的夹角？解：（1）l1，所以轨道角动量：Ll(l1)2，（2）Lz的本征值可取：Lzm，由磁量子数取值范围：ml，l1，，l知m0，1，Lz有三个取向。夹角分别为：Lz0，；Lz，；Lz，3。42422-15．氢原子处于2p态，当它在外磁场B中，考虑到轨道磁矩与外磁场的相互作用，讨论该状态的能级分裂情况，并计算跃迁发出光子的频次。答案：2p能级分裂为三个能级；E2WeBWeBhh4mh4m解：氢原子处在外磁场中，由于空间量子化，电子轨道角动量相对外磁场方向有各样可能的取向，电子轨道磁矩也有相应的不相同取向，致使氢原子与外磁场之间不相同的相互作用势能，使氢原子电子轨道磁矩eL02m电子磁矩与外磁场相互作用能WMBeLBeLzBemlB2m2m2mml的可能取值有2l1个，磁矩与外磁场相互作用能也出现2l1个可能值。对应于氢原子2p态与外磁场的相互作用能有三个不相同值，分别为

l1；ml0，W0，ml1，WeB。1s能级不变化，2p能级分裂为三个能级，相邻之间能2m4/6级的能量差为EWeB。2m原出处2p跃迁至1s的一条谱线分裂成为三条谱线，以以下列图。其频次分别为：E2WeBWeB原频次h4mh4mh思虑题2222-1．证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。证明：设电子轨道的半径为rn，则电子轨道的周长为2rn，需要证明2rnn。玻尔理论中，氢原子中的电子轨道为：rnn2r0n20h2me2而电子的德布罗意波长：h20h2（∵En1me42）2mEn2n22me80h可见电子轨道：2rn2n20h2nn20h2n，是德布罗意波长的整数倍。me2me222-2．为什么说电子既不是经典意义的波，也不是经典意义的粒子？答：由于若是电子是经典意义的波的话，那么波包随着时间在空间的扩展，电子就会“发胖”，但现实其实不是这样，所以它不是经典意义的波；而电子的颠簸性也其实不是是电子间相互作用的结果，而是单个电子的行为，所以电子也不是经典意义的粒子。22-3．图中所示为电子波干预实验表示图，S为电子束发射源，发射出沿不相同方向运动的电子，F为极细的带强正电的金属丝，电子被吸引后改变运动方向，下方的电子折向上方，上方的电子折向下方，在前面交叉区放一电子感光板A，S1、S2分别为上、下方电子束的虚电子源，S1SSS2，底板A离源S的距离为D，设Da，电子的动量为p，试求：1）电子几率密度最大的地点；2）相邻暗条纹的距离（近似计算）。h答：（1）电子的德布罗意波长：，近似于波的干预现象，在两边的第一级明纹之间p5/6散布的电子最多，所以其几率最大的地点应当在DDhd2a之间；p（2）相邻暗条纹的距离：DDh。x2apd22-4．在一维势箱中运动的粒子，它的一个定态波函数如图a所示，对应的总能量为4eV，若它处于另一个波函数（如图b所示）的态上时，它的总能量是多少？粒子的零点能是多少？答：由一维无量深势阱粒子的能级表达式：EnE0n2。在a图中，n2，知EE224eV，20所以粒子的零点能E01eV；若它处于另一个波函数（图b所示，n3）的态上时，它的总能量是：E3E0n2E0329eV。22-5．图中所示为一有限深势阱，宽为a，高为U。1）写出各地区的定态薛定谔方程和界线条件；2）比较拥有相同宽度的有限深势阱和无量深势阱中粒子的最低能量值的大小。答：（1）第I地区定态薛定谔方程：d21(x)2mE1(x)0，（aa），dx22x22第II地区定态薛定谔方程：d22(x)2m(EU)2(x)0，（xaadx22和x）；22界线条件：aaaa1(2)2(2)，1(2)2(2)。22222（2）无量深势阱中粒子的能量表述式为En2ma2n，最低能量值E12ma2，显然与a的平方成反比，粒子的自由范围越大，最低能量值越低，应当说粒子在相同宽度的有限深势阱比在无量深势阱中的自由范围大一些，所以粒子在有限深