《平均变化率》教案及教案说明

平均变化率

一、教学目标

通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快

慢程度的一种数学模型；

理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；

感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题

的能力。

二、教学重点平均变化率概念

教学难点平均变化率概念的形成过程

三、教学方法与教学手段

启发式教学与探究式学习相结合。通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已

有认知结构的基础上建构新知识，教师在教学中尤其要关注“谁在学？为什么要学？怎么

学？”利用多媒体辅助教学，突出重点、突破难点，提高教学效率。

四、教学过程

问题情境，感受概念

情境1GDP“猛增”

胡锦涛同志在党的十七大报告中提出：“增强发展协调性，努力实现经济又好又快发展。

转变发展方式取得重大进展，在优化结构、提高效益、降低消耗、保护环境的基础上，人均国

内生产总值（GDP）到2020年比2000年翻两番”。（2000年中国人均GDP为856美元，2020

年约为3500美元．）

尤其令人振奋的是：十六大以来，我国国民经济保持平稳快速发展，2002年我国人均GDP

首次超过1000美元，达到1100美元，在短短的4年内于2006年又超过2000美元，达到2010

美元。我国已经由低收入国家步入了中等收入国家行列，标志着我国在向全面建设小康社会的

进程中又迈出了坚实的一步。

时间x(年)2000200220062020

人均GDPy(美元)856110020103500

问题1如何从数学角度刻画2002年至2006年这4年我国人均GDP“猛增”？

情境2房价“暴涨”

南京龙江小区近十来年的房价变化如下图所示：

1

问题2如何从数学角度刻画房价“暴涨”？

情境3股指“跳水”

2007年9月25日沪市A股走势图

上证指数

时间相差180分钟

5510

5460

5396

5390

9:30A11:1511:25B时间

问题3如何从数学角度刻画股指“跳水”？

情境4气温“陡升”

现有某市2004年3月和4月某天日最高气温记载如下列图表所示：

时间t(d)3月18日4月18日4月20日

日最高气温T(℃)3.5℃18.6℃33.4℃

T(℃)

C(34,33.4)

30

20

B(32,18.6)

10

A(1,3.5)

2

0210203034t(d)

问题4:如何从数学角度刻画气温“陡升”？

建立模型，形成概念

问题5用怎样的数学模型刻画函数值变化的快慢程度？

思考1你能给出函数f(x)在区间[x，x]上平均变化率的定义吗？

12

f(x)f(x)

定义函数f(x)在区间[x，x]上平均变化率为21。

12xx

21

思考2平均变化率有怎样的几何意义？

平均变化率的几何意义就是函数f(x)图象上两点(x,f(x))、(x,f(x))所在直线的斜率。

1122

探究活动，感悟概念

2

活动1(1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，据此，你能评价甲、乙两人的

经营成果吗？

(2)甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月

时间挣到2万元，你能评价甲、乙两人的经营成果吗？

活动2试举出生活中与平均变化率有关的例子。

例题讲解，运用概念

例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6

个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。

例2已知函数f(x)=2x+1，g(x)=－2x，分别计算在区间[－3，－1]、[0，5]上f(x)及g(x)

的平均变化率。

反馈练习，巩固概念

一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2，分别计算S(t)在下列区间上的平均变化率。

(位移单位为m,时间单位为s)

(1)[1，3]；(2)[1，2]；(3)[1，1.1]；(4)[1，1.001]；

(5)[1，1.0001]；(6)[0.999，1]；(7)[0.99，1]；(8)[0.9，1]。

思考3如何刻画t=1这一时刻质点运动的快慢程度呢？

回顾反思，理解概念

f(x)f(x)

定义：函数f(x)在区间[x，x]上的平均变化率为21。

12xx

21

五、分层作业

必做作业第7页2，3题

选做作业我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,

气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

思考作业一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2,如何刻画t=1这一时刻质点运动的快

慢程度呢？

(位移单位为m,时间单位为s)

六、板书设计

平均变化率

一、问题情境例1列式

1.GDP“猛增”2.房价“暴涨”3.股指“跳水”4.气温“陡升”解：

二、建立概念3

三、应用拓展

程，在此基础上，可以帮助学生克服思维障碍。

六、回顾反思，感悟升华

【教学安排】开放式小结

【设计意图】

通过开放式小结，使学生学会学习，培养学习的主动性。这个小结意在提炼今天这节课的主要内

容，通过回顾反思，关注了学生的情感态度价值观，也梳理了学生学习的情意过程。

七、教学效果分析：

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了数学的新时代，为研究变量和

函数提供了重要的方法和手段。由于新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是按照“平均变

化率－瞬时变化率－导数的概念—导数的几何意义”这样的顺序来安排，用形象直观的“逼近”方法

定义导数。学生通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念。

作为本章的起始课，“平均变化率”这一课学生学得怎样，将对后续学习微积分产生重大影响。

本节课通过4个情境、3个思考、2个活动、3个例题、1个练习构成一个及时反馈的学习体系，

不断调整和改善学生的学习进程。从问题情境出发到数学概念的建立，通过应用再拓展概念，从而更

深层次的理解概念，体现了从传统的讲授式教学向探究式教学的转变，从而使学生经历、体验、感悟

概念，达到教学目的。本课中，教师精选了大量丰富多彩的的问题情景，紧密联系生活实际，内容的

选择和呈现关注现实意义和学生的经验及兴趣，使学生体会“平均变化率”知识的发生、发展过程，

加深了学生对“平均变化率”的感受和理解。

本课中，教师对学生学习的评估上追求评价主体