高中数学人教A版选修1-2教学案：-第一章-章末小结与测评

在散点图中样本点大致分布在一条直线附近，则利用线性回归模型进行研究，可近似地利用回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))来预报，利用公式求出回归系数eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，即可写出回归直线方程，并用回归直线方程进行预测说明．[典例1]以下是某地收集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积x/m211511080135105销售价格y/万元24.821.618.429.222(1)画出数据对应的散点图；(2)若线性相关，求线性回归方程；(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格．解：(1)数据对应的散点图如图所示．(2)由散点图知y与x具有线性相关关系．由表中数据知eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,x)i＝109，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,y)i＝23.2，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝60975，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝12952.设所求回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)≈0.1962，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))≈1.8142，故所求回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.1962x＋1.8142.(3)根据(2)，当x＝150时，销售价格的估计值为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.1962×150＋1.8142＝31.2442(万元)．[对点训练]1．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y(千亿元)567810(1)求y关于t的回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,t)iyi－n\x\to(t)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,t)\o\al(2,i)－n\o(t,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).解：列表求值如下：xi51015202530yi7.258.128.959.9010.911.8xiyi36.2581.2134.25198272.5354xeq\o\al(2,i)25100225400625900yi－eq\o(y,\s\up6(^))i0.01－0.02－0.09－0.040.060.06yi－eq\x\to(y)－2.24－1.37－0.540.411.412.31eq\x\to(x)＝17.5，eq\x\to(y)≈9.49，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝1076.2，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝2275，eq\i\su(i＝1,6,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝0.0174，eq\i\su(i＝1,6,)(yi－eq\x\to(y))2＝14.6784.∴R2＝1－eq\f(0.0174,14.6784)≈0.99881，回归模型拟合效果较好．由表中数据可以看出残差比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高．[对点训练]2．从某大学中随机选取5名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：编号12345身高x/cm165165157170175体重y/kg4857505464甲、乙两位同学在计算根据女大学生的身高预报体重的回归方程时，分别得到以下回归模型：甲：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.75x－70；乙：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.76x－71.试依据R2判定哪一个模型的拟合效果较好？解：对甲模型，yi－eq\o(y,\s\up6(^))i与yi－eq\x\to(y)的值如下表：yi－eq\o(y,\s\up6(^))i－5.753.252.25－3.52.75yi－eq\x\to(y)－6.62.4－4.6－0.69.4所以eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝(－5.75)2＋3.252＋2.252＋(－3.5)2＋2.752＝68.5，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝(－6.6)2＋2.42＋(－4.6)2＋(－0.6)2＋9.42＝159.2.此时R2＝1－eq\f(68.5,159.2)≈0.57.对乙模型，yi－eq\o(y,\s\up6(^))i与yi－eq\x\to(y)的值如下表：yi－eq\o(y,\s\up6(^))i－6.42.61.68－4.22yi－eq\x\to(y)－6.62.4－4.6－0.69.4所以eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝(－6.4)2＋2.62＋1.682＋(－4.2)2＋22≈72.2，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝(－6.6)2＋2.42＋(－4.6)2＋(－0.6)2＋9.42＝159.2.此时R2＝1－eq\f(72.2,159.2)≈0.55.因为0.57>0.55，所以甲模型的拟合效果较好.独立性检验就是根据采集的样本数据，利用公式求出随机变量K2的观测值k，通过比较k与临界值k0的大小来确定两个分类变量是否有关系的方法．[典例3]户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：喜欢户外运动不喜欢户外运动总计男性5女性10总计50已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是eq\f(3,5).(1)请将上面的列联表补充完整；(2)求该公司男、女员工各多少人；(3)在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由．下面的临界值表仅供参考：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d解：(1)因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是eq\f(3,5)，所以喜欢户外运动的男女员工共30人，其中男员工20人，列联表补充如下：喜欢户外运动不喜欢户外运动总计男性20525女性101525总计302050(2)该公司男员工人数为25÷50×650＝325(人)，则女员工有325人．(3)K2的观测值k＝eq\f(50×20×15－10×52,30×20×25×25)≈8.333>7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢户外运动与性别有关．[对点训练]3．吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表是性别与吃零食的列联表：男女总计喜欢吃零食51217不喜欢吃零食402868总计454085请问喜欢吃零食与性别是否有关？解：k＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，把相关数据代入公式，得k＝eq\f(85×5×28－40×122,17×68×45×40)≈4.722>3.841.因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关”．（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列关系：①人的年龄与他拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是()A．①②③B．①②C．②③D．①③④解析：选D曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系——函数关系，故②不正确．其余均为相关关系．2．对于回归分析，下列说法中错误的是()A．在回归分析中，若变量间的关系是非确定性关系，则因变量不能由自变量唯一确定B．相关系数可以是正的也可以是负的C．回归分析中，如果R2＝1，说明变量x与y之间是完全线性相关D．样本相关系数r∈(－∞，＋∞)解析：选D在回归分析中，样本相关系数r的范围是|r|≤1，故选D.3．在一次调查后，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则()A．两个分类变量关系较弱B．两个分类变量无关系C．两个分类变量关系较强D．无法判断解析：选C从条形图中可以看出，在x1中y1比重明显大于x2中y1的比重，所以两个分类变量的关系较强．4．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有()A．b与r的符号相同B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反D．a与r的符号相反解析：选A因为b>0时，两变量正相关，此时r>0；b<0时，两变量负相关，此时r<0.5．下表显示出样本中变量y随变量x变化的一组数据，由此判断它最可能是()x45678910y14181920232528A.线性函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型解析：选A画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近，故最可能是线性函数模型．6．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份x1234用水量y4.5432.5由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.7x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则eq\o(a,\s\up6(^))＝()A．10.5B．5.15C．5.2D．5.25解析：选D样本点的中心为(2.5,3.5)，将其代入线性回归方程可解得eq\o(a,\s\up6(^))＝5.25.7．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据并整理、分析，得到“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%的把握认为这个结论成立．下列说法正确的个数是()①在100个吸烟者中至少有99个人患肺癌；②如果一个人吸烟，那么这个人有99%的概率患肺癌；③在100个吸烟者中一定有患肺癌的人；④在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有．A．4B．3C．2D．1解析：选D有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，指的是“吸烟与患肺癌有关”这个结论成立的可能性或者可信程度有99%，并不表明在100个吸烟者中至少有99个人患肺癌，也不能说如果一个人吸烟，那么这个人就有99%的概率患肺癌；更不能说在100个吸烟者中一定有患肺癌的人，反而有可能在100个吸烟者中，一个患肺癌的人也没有．故正确的说法仅有④，选D.8．下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温(℃)1813104－1杯数2434395163若热茶杯数y与气温x近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋6B.eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋42C.eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋60D.eq\o(y,\s\up6(^))＝－3x＋78解析：选C由表格可知，气温与杯数呈负相关关系．把x＝4代入y＝－2x＋60得y＝52，eq\o(e,\s\up6(^))＝52－51＝1.把x＝4代入y＝－3x＋78得y＝66，eq\o(e,\s\up6(^))＝66－51＝15.故应选C.9．如图，5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是()A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强解析：选B由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．10．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝7.19x＋73.93，若用此方程预测儿子10岁时的身高，有关叙述正确的是()A．身高一定为145.83cmB．身高大于145.83cmC．身高小于145.83cmD．身高在145.83cm左右解析：选D用线性回归方程预测的不是精确值，而是估计值．当x＝10时，y＝145.83，只能说身高在145.83cm左右．11．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：作文成绩优秀作文成绩一般总计课外阅读量较大221032课外阅读量一般82028总计303060由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是()A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关解析：选D根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．12．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若X与Y有关系的可信程度不小于97.5%，则c等于()A．3B．4C．5D．6附：P(K2≥k0)0.050.025k03.8415.024解析：选A列2×2列联表如下：x1x2总计y1102131y2cd35总计10＋c21＋d66故K2的观测值k＝eq\f(66×[1035－c－21c]2,31×35×10＋c56－c)≥5.024.把选项A，B，C，D代入验证可知选A.二、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．下面是一个2×2列联表：y1y2总计x1a2173x282533总计b46则表中b－a＝________.解析：b－a＝8.答案：814．已知样本容量为11，计算得eq\i\su(i＝1,11,x)i＝510，eq\i\su(i＝1,11,y)i＝214，回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.3x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则eq\x\to(x)≈________，eq\o(a,\s\up6(^))≈________.(精确到0.01)解析：由题意得eq\x\to(x)＝eq\f(1,11)eq\i\su(i＝1,11,x)i＝eq\f(510,11)≈46.36，eq\x\to(y)＝eq\f(1,11)eq\i\su(i＝1,11,y)i＝eq\f(214,11)，因为eq\x\to(y)＝0.3eq\x\to(x)＋eq\o(a,\s\up6(^))，所以eq\f(214,11)＝0.3×eq\f(510,11)＋eq\o(a,\s\up6(^))，可得eq\o(a,\s\up6(^))≈5.55.答案：46.365.5515．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝－2.现预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________.气温x(℃)181310－1用电量y(度)24343864解析：由题意可知eq\x\to(x)＝eq\f(1,4)(18＋13＋10－1)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(1,4)(24＋34＋38＋64)＝40，eq\o(b,\s\up6(^))＝－2.又回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋eq\o(a,\s\up6(^))过点(10,40)，故eq\o(a,\s\up6(^))＝60，所以当x＝－4时，eq\o(y,\s\up6(^))＝－2×(－4)＋60＝68.答案：6816．某部门通过随机调查89名工作人员的休闲方式是读书还是健身，得到的数据如下表：读书健身总计女243155男82634总计325789在犯错误的概率不超过________的前提下性别与休闲方式有关系．解析：由列联表中的数据，得K2的观测值为k＝eq\f(89×24×26－31×82,55×34×32×57)≈3.689>2.706，因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与休闲方式有关系．答案：0.10三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)x与y有如下五组数据，x123510y105422试分析x与y之间是否具有线性相关关系．若有，求出回归直线方程；若没有，说明理由．解：作出散点图，如图所示：由散点图可以看出，x与y不具有线性相关关系．18．(本小题12分)有两个分类变量x与y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：y1y2x1a20－ax215－a30＋a其中a,15－a均为大于5的整数，则a取何值时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系？解：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系，则k≥2.706，而k＝eq\f(65×[a30＋a－20－a15－a]2,20×45×15×50)＝eq\f(65×65a－3002,20×45×15×50)＝eq\f(13×13a－602,60×90).由k≥2.706得a≥7.19或a≤2.04.又a>5且15－a>5，a∈Z，解得a＝8或9，故a为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系．19．(本小题12分)某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学)，现用分层抽样方法(按A类、B类分两层)从该年级的学生中共抽取100名同学，如果以身高达165cm作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：身高达标身高不达标总计经常参加体育锻炼40不经常参加体育锻炼15总计100(1)完成上表；(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系(K2的观测值精确到0.001)?解：(1)填写列联表如下：身高达标身高不达标总计经常参加体育锻炼403575不经常参加体育锻炼101525总计5050100(2)由列联表中的数据，得K2的观测值为k＝eq\f(100×40×15－35×102,75×25×50×50)≈1.333<3.841.所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系．20．(本小题12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时)2.5344.5(1)在给定坐标系(如图)中画出表中数据的散点图；(2)求y关于x的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)试预测加工10个零件需要的时间．解：(1)散点图如图所示：(2)由表中数据得eq\x\to(x)＝3.5，eq\x\to(y)＝3.5，eq\i\su(i＝1,4,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝3.5，eq\i\su(i＝1,4,)(xi－eq\x\to(x))2＝5，由公式计算得eq\o(b,\s\up6(^))＝0.7，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝1.05，所以所求线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋1.05.(3)当x＝10时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7×10＋1.05＝8.05，所以预测加工10个零件需要8.05小时．21．(本小题12分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？P(K2≥k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828解：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B