材料力学第八章组合变形

(Combined第八合变（Combined§8-1组合变形和叠加（Combineddeformationsuperposition§8-2拉伸（压缩）与弯曲的组（Combinedaxialandflexural§8-3偏心拉（压）•截面 考)(Eccentricloads&thekern（orcore）fet与弯曲的组 binedtorqueandflexurals((Combined§8-1组合变形和叠加原理（Combineddeformationandsuperpositionmethod）一、组合变形的概念（Conceptsofcombined构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,则构件的变形称为组合变形.二、解决组合变形问题的基本方法（Basicmethodforslovingcombineddeformation-superpositionmethod）叠加原理的成立要求:内力、应力、应变、变形

关系 (Combined(Combined三、工程实例（Engineering2014-5- 52014-5-zab52014-5-zabcAByxP(Combined(Combined(Combined 2014-5- (Combined（Combinedaxialloadingand一、受力特点（Characterof 作用在杆件上的外力既有轴向拉(压)力,还有横向二、变形特点（Characterof杆件将发生拉伸（压缩）与弯曲组合示例2014-5-

F1产生弯曲变形F2产生拉伸变形Fy产生弯曲变形Fx产生拉伸变形

F F 7(Combined三、内力分析 ysisof oncross1.拉(压):轴力FN

y剪力剪力剪力剪力

（bending）因为引起的切应力较小,故一般不考虑2014-5- ((Combined(Ozy四、应力(Ozy横截面上任意一点（z,y）处的正应 拉伸正

A（Axialnormal弯曲正

MzIz（Bendingnormal

Mz 2014-5- (Combined截面的确定（Determinethedangercross作内力 FN（bending

xFN所以跨中截面是杆 截

x2014-5- M (Combined 计算点的应力（CalculatingstressofthedangerA

W拉伸正应

-A-最大弯曲正应

Mmax 截面下边缘各点处上的拉应力2014-5-

F2 (Combined五、强度条件（Strength由 点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件为max当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件.2014-5- (Combined例题小型压力机的铸铁框架如图所示.已知材料的许用拉应力 F

z2014-5- (Combined(CombinedFFFF z解：（1）确定形心位 A=1510-3 z0=7.5计算截面对中性轴y的惯性 Iy=53102014-5- (Combined(Combined FF FFnnz n-n截面上有轴FN及弯MyFN2014-31y[(357.5)102]F42.5102 ((Combined F FFnnz

由轴力FN F 2014-5- ((Combined拉zy0拉zy0FFnz

由弯矩My产生的最大弯曲正应

Myz04257.5F ()I Myz142512.5F ()2014-5-1max

I ((Combined拉zy0FF拉zy0FFnz 压 叠加tmax

F4257.5F 2014-5-

[F]45.1 ((Combined拉zy0FF拉zy0FFnz 压 425在截面外侧425FA FA

2014-5-

c [F]171.3所以取[F]45.1 (Combined(Combined例题正方形截面立柱的中间处开一个槽,使截面面积为原来截面面积的一半.求开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几倍.FFFaaaa2014-5- (Combined FF1FF11 FNF 开槽后1-1是截面aaF向1-1形心简aa FNM

2a

12a 62开槽后立柱的最大压

2F/ 014-5-

立柱的最大压应

F/4a (Combined§8-3偏心拉（压）•（Eccentricloads&thekernofa一、偏心拉（压）（Eccentric定义（Definition）当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时, OO1y2014-5- (Combined 等直杆承受偏心拉力轴向拉力 力偶矩M=F将M向y轴和z轴分

MyFesin M Fecos FOzFOz1y2014-5-xFFzey(Combined(CombinedxFzyFxFzyMy使杆发生xOz平面内的弯曲变形（y为中性轴）Mz使杆发xOy平面内的弯曲变形（z为中性轴）2014-5- (Combined 二、任意横C点的应力分zCy ysisatpointzCy由F产生的正应 My产生的正应 MyzFzFI I由Mz产生的正应MzyFyF2014-5-

((Combined由于C点在第一象限内,根据杆件的变形可知zCyzCy由叠加原理,C点处的正应力FNFzFzFyFy Iy 2014-5-

A为横截面面积IyIz分别为横截面yz轴的惯性矩（zF，yF）F作用点的坐标（z，y）为所求应力点的坐标 (Combined 三、中性轴的位置（ThelocationofneutralA

FzFzFyFyIy Ai Ai FN(1zFz yFy A A 上式是一个平面方程.表明正应力在横截面上按线性规律变化.应力平面与横截面的交线（直线=0）就是中性轴.2014-5- (Combined(CombinedFN(1zFz yFy A A 1zFz0yF1zFz0yFy0iyizz讨 中性 在偏心拉伸(压缩)情况下中性轴是一条不通过截面形心2014-5- (Combined 1zFz0yFy0(Combined ayaz表示中性轴yz两轴上的截距,iay

iaz(yF,(yF,zFOy2014-5- ((Combinedz中性 外力作用Oy

zy

中性中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D1,D2两切2014-5- (Combinedz

M

点必定在截面的棱角处,并2014-5- (Combined 最大拉应力ax和最大压应力cmin分别在截面的D1处.无需先确定中性轴的位置,直接观察确定点的位置即maxFF F

Wy 四、强度条件（StrengthzD由于点处仍为单向应力状态,因D1

D D2014-5- (Combined五、截 （Thekernofaiay

iaz

（yF，zF）为外力作用点的坐 ay,az为中性轴在y轴和z轴上的截 中性当中性轴与图形相切或远中性形时,整个图形上将只有拉应力或 有压应2014-5- (Combinedzzyyyz中性中性中性中性中性2014-5- (Combined定义（efinition）当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时就可以保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有拉应力或压应力）,这个区域就称为（thekernofa）zy截截2014-5- (Combined截 的确定（Determinethekernofaz 界上时,与此相应的中性轴正与截面的周边相切.截 的ay边界就由此关系确定

y截a ay

i中性中性2014-5- (Combined 例求圆形截面的截面（１）作切线为中性轴,在两个形心主惯性轴上的截距 d dd2圆截dd2iyF1 ay1i

d8

d1 dyzF

a

ii22 2（２）由于圆截面对于圆心O是对称的,因而,截面的边界对于圆也应是对称的,从而可知,截面边界是一个以O为圆心,以14--31径的 (Combined§8-4扭转与弯曲的组（Combinedbendingand研究对象（researchobject）圆截面杆（circular受力特点（characterofexternal 变形特点（characterofdeformation）F 2014-5- (Combined力分 ysisof FAB杆右端截面心B简化 l横向力F（引起平面弯曲M力偶矩M=Fa（引起扭转 F2014-5- (Combined画内力图确 截M F =M固定端A截面 截2014-5- (Combined二、应力分析 截面上的最大弯 发生在、C2 和C点 的.可取任意点C1来研究.

A

C1点处于平面应力状态, C1点的单元体如图 C12014-5- (Combined 三、强度分析 ysis主应力计算（Calculatingprincipal1

)22 )22相当应力计算（Calculatingequal2第三强度理论,计算r32第四强度理论,r42014-5- (Combined 2r r4

该 适用于弯扭组合变形;拉（压）与扭转的组合变形;以及拉（压）扭转与弯曲的组合变形2014-5- ((Combined（2）对于圆dWt2W弯扭组合变形时,相应的相当应力表达rr 22(M)24(T)2WWtM2TWr4 2(M)23(T)2WWtM20.75TW式中W为杆的抗弯截面系数.M,T分别为截面的弯矩和扭矩.以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆(实心、空心均14- ((Combined例题空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构,受力如图.ABDABCFAB径D=140mm,内外径之比=d/D=0.8,材料的许用应力[]=DABCFAB解:（1）外力分

将力向AB杆的B截面形心简得FMe151.410AB杆为扭转和平面弯曲合变2014-5-((CombinedA（2）画扭矩图和弯矩A固定端截面为截BT15kN+Mmax20kN+

W (1)M2TM2T

157.26MPa2014-5-

(Combined 例题传动轴如图所示.在A处作用一个外力偶扭矩Me=1kNm,皮计轴的直径 解:将力向轴的 F MeC(F1F2)F20

A

B 2014-5- ((Combined中间截面为截面T1kNmMmax1kNmM2M2T

++r W d2014-5- (Combined(Combined例题图示一钢制实心圆轴,轴上的齿轮C上作用有铅垂切向kN,径向1.82kN;D上作用有水平切向力10kN,径向力3.64kN.C的节圆直d1400mm,D的节圆直径d2=200mm.许用应=100MPa,试按第四强度理论设计轴的直径.zzyACBDx2014-5- ((Combined

轴的变形5kN,3.64kN使轴

xz纵对称面内产生1.82kN,10kN使轴xy纵对称面内产生

zyACBzyACBDx 2014-5- ((CombinedzyACBDx绘制轴的内力图MyC0.57kNmMyB0.36kNmMzCzyACBDxT=1kNm斜弯曲与扭转的组合由于通过圆轴轴线的

1.82kN

-1T-1TBC

(Combined截面上的内力计 0.57kNmMyC0.57kN MzC 0.227kNmMyB0.