《高等数学教程》全套教学课件

第1章

函数、极限与连续性全套可编辑PPT课件本章内容1初等函数回顾2极限的概念3极限的运算法则4两个重要极限5无穷小与无穷大6函数的连续性7连续函数的四则运算与

初等函数的连续性8利用极限建模1631.1初等函数回顾1.1.1函数的概念定义1.1.1设和

是两个变量，D

是一个给定的数集，如果对于每个数，变量

按照确定的法则总有唯一的数值与其对应，则称是的函数，记作数集D称为函数的定义域，

称为自变量，

称为因变量。当

取数值

时,对应的

的数值称为函数在

处的函数值,记作。当

取遍D内的各个数值时，对应的函数值全体组成的数集称为函数的值域。

在实际问题中，函数的定义域是根据问题的实际意义确定的。而在数学中，有时抽去函数的实际意义，单纯地讨论用算式表达的函数，此时函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的数集，这种定义域称为函数的自然定义域。

常见的函数的定义域有如下原则：(1)对于分式函数分母不能为零，如，；

(2)偶次根号下的变量不能小于零，如；(3)对于对数函数，规定：底数，真数x>0；

(4)对于正切函数，规定：；

(5)对于余切函数，规定：；(6)对于反正弦函数

和反余弦函数规定：

。1.1.2函数的几种特性函数的特性包括有界性、单调性、奇偶性和周期性。

下面将这四特性的定义、图形和几何意义列入表1-1所示中。

特性定义图形几何意义有界性若有正数M

存在，使函数

在区间D

上恒有

M

，则称在区间D

上是有界函数；否则，

在区间D上是无界函数有界函数的图

形夹在两条平行

线之间单调性若对于区间D内任意两点

及,当时，有，则称在I上单调增加，区间D称为单调增区间；

若当时，则称

在D上单调减少，区间D

称为单调减区间。

单调增区间或单调减区间统称为单调区间单调增加函数

图形沿

轴正向

上升;单调减少函

数图形沿

轴正

向下降表1-1特性定义图形几何意义奇偶性设D

是关于原点对称的区间，若对于任意，都有，则称为偶函数；若，则称为奇函数奇函数的图形

关于坐标原点对称，偶函数的图形关于轴对称周期性若存在不为零的数T，使得对于任意，有

，且

则称为周期函数。通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期周期函数的图

形在函数定义域内的每个周期有相同的形状1.1.3

初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数

统称为基本初等函数。为了方便，很多时候也把多项式函数看作基本初等函数。这些函数是我们今后研究其他各种函数的基础。

1.基本初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合所构成的、并能用一个式子表示的函数，称为初等函数。

例如，

等都是初等函数。2.初等函数例1.1.1函数

是由哪些基本初等函数复合而成的?

解

令,则，故是由复合而成的。例

1.1.2函数

是由哪些基本初等函数复合而成的?

解

令

，

则

；再令，则；再令，则，故是由复合而成的。若函数在它的定义域内的不同区间(或不同点)上有不相同的表达式，则称它为分段函数。

例如符号函数

它就是一个分段函数，如图1-1所示。注意：分段函数一般不是初等函数。3.分段函数1.1.4反函数和复合函数定义1.1.2设为定义在D

上的函数，其值域为A，若对于数集A

上的每个数，数集D

中都有惟一确定的一个数

x

使，即

x变量为

y

的函数，这个函数称为函数的反函数，记为，其定义域为

A，值域为D。①反函数解由,可解得。交换x和y

的次序,得

即

为的反函数。求函数的反函数。

例

1.1.4定义1.1.3

设

y

是

u

的函数，而

u又是

x

的函数，且

的值域与的定义域的交集非空，那么，y通过中间变量

u

的联系成为x的函数，我们把这个函数称为是由函数

与

复合而成的复合函数，记作

②复合函数必须指出，不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的。如，

就不能复合成一个复合函数，因为的值域为

与的定义域的交集为空集，因此不能复合。解因为，而

，u是中间变量，所以。例1.1.4已知，试把表示为

的函数。例1.1.5

设，，试把

y

表示为

x

的函数。解不难看出u，v

分别是中间变量，故。1.2极限的概念1.2.1数列的极限先给出数列的定义：在某一对应规则下，当依次取时，对应的实数排成一列数

(1-1)

这列数就称为数列，记为。

从定义看到，数列可以理解为定义域为正整数集的函数

，

当自变量依次取1,2,3,…等一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。数列(1-1)中的第

n

个数

称为数列的第

n

项或通项。

定义1.2.1

如果数列的项数

无限增大时，它的通项

无限接近于某一个确定的常数a,则称a是数列的极限，此时也称数列收敛于

a,记作

如，或或定义1.2.2

如果数列的项数

无限增大时，它的通项

不接近于任何确定的常数，则称数列没有极限，或称数列

发散。

注意：当n无限增大时，如果

a无限增大，则数列没有极限。

这时，习惯上也称数列的极限是无穷大，记作

例1.2.1[弹球模型]一只球从100米的高空掉下，每次弹回的高度为上次高度的，这

样运动下去，用球第次的高度来表示球的运动规律，则得数列从数列的变化趋势可以看出，随着次数n的无限增大，数列无限接近于0，即选学内容我们说

n无限增大是什么意思？

说

无限接近于

a

又是什么意思

？如果在数轴上把

和a表示出来，那么所谓“当n无限增大时，

无限接近于a

”的意思是：当

n充分大时，

与a可以任意靠近，要多近就能多近。也就是说，

可以小于任意给定的正数，只要

n

充分大。

遗憾的是，利用这种方法的前提是必须已经知道数列的极限可能是某个数。

但很多情况下，我们很难猜出数列的极限可能是什么。

有没有什么方法可以在不知道数列极限可能是什么值的情况下判断极限是否存在呢？柯西收敛准则肯定地回答了这个问题。定理1.2.1(柯西收敛准则)数列收敛的充要条件是：对于任意给定的正数

，存在正整数N

，使得当时,总有。

定理1.2.2(唯一性)若数列收敛，则其极限是唯一的。定理1.2.4(保号性)若数列收敛，且，则当或时，存在正整数

，当

时，有或。

定理1.2.3(有界性)若数列收敛，则必有界。

1.2.2函数的极限1.

当时函数

的极限

函数的自变量是指

的绝对值无限增大，它包含以下两种情况：

(1)取正值，无限增大，记作；

(2)取负值，它的绝对值无限增大(即

无限减小)，记作。

若

不指定正负，只是无限增大，则写成。解作出函数的图像(如图1-3所示)。由图可以看出当和时，

因此当时，。

例1.2.2讨论函数

当和时的变化趋势。定义1.2.3

如果当无限增大，即时，函数

无限趋近于一个确定的常数A，那么就称

当时存在极限A，称数A

为当时函数的极限，记作

。类似地，当或时，有

或解分别作出函数

和的图形(如图1-4所示)。

由图形可以看出：

(1)；(2)。

作出函数

和的图形，并判断下列极限：

例1.2.3(1)；(2)。

解

(1)函数的图形如图1-5所示。从图形可知，当时，;当

时,。此，当无限增大时，函数无限接近于常数1，即

讨论下列函数当时的极限：

例1.2.4(1)；(2)。

(2)函数的图形如图1-6所示。从图形可知，

当时，;当时，

。因此，当无限增大时，函数

不可能无限地趋近某一个常数，即不存在。理论上可以证明：2.当时函数

的极限

与的情形类似,包含从

大于的方向和

从小于的方向趋近于

两种情况，分别用：

(1)

表示

从大于的方向趋近于;

(2)表示

从小于

的方向趋近于。

记号表示无限趋近于，两个方向都要考虑。

解作出函数的图形(如图1-7所示)。从图形可以看出，不论从

小于2的方向趋近于2还是从大于2的方向趋近于2，函数的值总是从两个不同的方向愈来愈接近于3。

所以，当时。

例1.2.5讨论当时，函数的变化趋势。解作出函数的图形(如图1-8所示)。函数的定义域为在处函数没有定义，但从图1-8可以看出，自变量

x不论从大于1还是从小于1两个方向趋近于1时，函数的值从两个不同方向愈来愈接近于2。所以，当时，。

例1.2.6讨论当时，函数的变化趋势。定义1.2.4

设函数

在点

的某个去心领域内有定义，如果当时，函数

无限趋近于一个确定的常数A，那么就称当时存在极限A；数A

就称为当

时函数的极限，记作说明:

在数轴上，以点

a为中心的任何开区间称为

a

的领域。设

为一正数，则开区间

就是

a

的一个领域，称为点

a的

领域，如图1-9(a)所示，记为，即

，其中

a称为该领域的中心，

称为该领域的半径。

在上述领域中除去领域的中心点

a

称为点

a

的去心

领域，记为，即

，如图1-9(b)所示。

解

(1)因为当时，的值无限趋近于x0，所以有

。(1)；(2)(C为常数)。

(2)因为当时，的值恒等于C，所以有

由此可见，常数的极限是其本身。

例

1.2.7

求下列极限：(1)如果

从大于的方向趋近于时，函数

无限地趋近于一个确定的常数A，那么就称在处存在右极限A，数A

就称为当

时函数的右极限，记作；

(2)如果

从小于

的方向趋近于

时，函数无限地趋近于一个确定的常数A，那么就称在

处存在左极限A，数A

就称为当时函数的左极限，记作

。

根据时函数的极限定义和左、右极限的定义，容易证明:

例1.2.8已知函数，讨论当时的极限。

虽然当时的左、右极限都存在但是不等，所以当时

的极限不存在。

解这是一个分段函数在分界点处的极限问题。作出它的

图形，如图1-10所示，由图可见

，，解因为，即

，所以。

例1.2.9已知，求。

解当时，；

当时，，所以函数可以分段表示为，于是

即，

所以不存在。例1.2.10已知，是否存在？解因为故

所以，此函数在处的极限不存在。例1.2.11[矩形波分析]已知矩形波函数

在

处的极限。1.3极限的运算法则1.3.1极限的四则运算法则

，则定理1.3.1设(1)(2)特别地，(3)。说明:

(1)使用这些运算法则的前提是自变量的同一变化过程中和的极限都存在；

(2)上述运算法则对于等其他变化过程也同样成立;

(3)法则1，2可推广到有限个函数的情况，于是有

解。例1.3.1求。解由于当时，，分母的极限不为0，由商的极限运算法则，得。例1.3.2求。

注意：从例1.3.1、例1.3.2可以看出，求多项式当时的极限时,只要用代替多项式中的x,即。对于有理分式函数

(其中，为多项式),当分母时，依商式极限运算法则，有

：解当时，，分母的极限是0,不能直接使用商的极限运算法则。通常的方法是设法消去分母为零的因式，然后再利用有理运算法则。例1.3.3求。解当

时，，不能直接用商的极限运算法则，但可采用分母有理化消去分母中的零因子。

例1.3.4求。解

当时,分式的分子、分母都趋向于无穷大，极限都不存在，故不能直接使用商的极限运算法则。当时，

。因此，求时，可以首先将分式的分子与分母同除以分子、分母中自变量的最高次幂，然后再用极限运算法则，即例1.3.5求。解仿照例1.3.5，分子、分母同除以分子、分母中自变量的最高次幂，得例1.3.6求。解由于当

时，括号中两项均无限变大，极限都不存在，故不能直接使用减法运算法则，考虑消去分母为零的因式。例1.3.7求。1.3.2复合函数的极限法则定理1.3.2

设函数与满足如下两个条件：（1）、；（2）、当时，，且，则

。

该定理可以形象地解释为“极限可以放到函数号里面进行”。解令，从而可把看作是由复合而成的。

所以例1.3.8求。解令，从而可把看作是由

，，，复合而成的。所以例1.3.9求。例1.3.10[产品价格预测]设一产品的价格满足(单位:元)，随着时间的推移，产品价格会随之变化，请你对该产品的长期价格做一预测。解下面通过求产品价格在时的极限来分析该产品的长期价格

即该产品的长期价格为20元。1.3.3函数极限的性质选学内容

(1)唯一性：当时

的极限是唯一的;

(2)局部有界性：在的某个去心领域内，函数

有界;

(3)局部保号性：当时，在的某个去心领域内，

；

(4)保序性：又设

且在

的某个去心领域内恒有，则必有。

1.3.4两个重要准则选学内容定理1.3.3(夹逼准则)若函数在点a的某去心领域内满足条件。则函数必收敛，且

(1)(2)选学内容定理1.3.3′(数列的夹逼准则)设数列满足条件则数列必收敛，且

(1)(2)解应用夹逼准则因为，且。所以，例1.3.10求。

定理1.3.4(单调有界准则)

单调有界数列必收敛。图1-11所示为单调增加有上界的数列的情形，从数轴上看，对应于单调数列的点

只能向一个方向移动(单调增加数列只向右方移动，单调减少数列只向左方移动)，所以只有两种可能情形：或者点

沿数轴向无穷远处(，或)；或者点

无限接近于某个定点A(但不会超过上界M

或小于下界m)。1.4两个重要极限

1.4.1第一个重要极限:

注意：如果那么得到推广的结果：

例1.4.1求。。解例1.4.2求。解。例1.4.3求。解。例1.4.4求。解令，则且时，于是。1.4两个重要极限

1.4.2第二个重要极限：注意：这个重要极限也可以变形和推广：(2)若则

(1)令，则

时

代入后得到

；或若则

第二个重要极限及其变形和推广，在

不定式极限计算及理论推导中也有重要应用。例1.4.5求。解法一令，则当时，于是。解法二。解法一令，则当时，于是。解法二。例1.4.6求。解法一设，则当时，于是。解法二例1.4.7求。例1.4.8设某人以本金Q

元进行一项投资，投资的年利率为r，如果按月计算复利(即每月结算一次利息并把利息加入本金继续投资，并按利率r累计利息)，那么x

年末资金的总额是多少?如果每时每刻都计算复利，那么x

年末资金的总额是多少?

解由于年利率为r，故月利率为，

从而有

第一个月末资金变为：

第二个月末资金变为：

第三个月末资金变为：

第一年末资金变为：

于是第x年末资金变为：

现在若以天为单位计算复利，则x年末资金变为：

；；；；。；若以年为单位计算复利，则x年末末资金变为：

若令，即每时每刻计算复利（称为连续复利）则x年末末资金为：

；1.5无穷小与无穷大1.5.1无穷小1.无穷小的定义定义1.5.1如果当时，函数

的极限为0，那么就称函数

为时的无穷小，记作例如，因为，所以函数

是当时的无穷小。上述时无穷小的定义，很容易推广到，

时的情形。

性质1有限个无穷小之和仍是无穷小。

性质2有界函数与无穷小之积仍是无穷小。推论1常数与无穷小之积仍是无穷小。

推论2有限个无穷小之积仍是无穷小。2.无穷小的性质解因为，所以x是x→0时的无穷小。而

所以

是有界函数。根据无穷小的性质2，可知

例1.5.1求。解因为，令，则，

根据第一个重要极限，可知。

例1.5.2求。解因为，而是当时的无穷小，

是有界函数。根据无穷小的性质2，可知。

例1.5.3求。3.函数极限与无穷小的关系定理1.5.1

其中。

即当时以A为极限的充分必要条件是能表示为A与一个时的无穷小之和。1.5.2无穷大

定义1.5.2

如果当时，函数的绝对值无限增

大，那么称函数为当时的无穷大

。注意式中的“”是一个记号而不是确定的数，记号的含义仅表示“的绝对值无限增大”例如,当时，

无限增大，所以是当时的无穷大,

记作。上述时的无穷大的定义，很容易推广到时的情形。

1.5.3无穷大与无穷小的关系定理1.5.2

在自变量的同一变化过程中，若则；若则。

解因为，即是当时的无穷小，

根据无穷大与无穷小的关系可知，它的倒数是当

时的无穷大，即。

例1.5.4求。解因为，所以。

例1.5.5求。自变量趋向于无穷大时有理分式函数求极限的法则:

(1)若分式中分子和分母是同次的，则其极限等于分子和分母的最高次项的系数之比。

(2)若分式中分子的次数高于分母的次数，则该分式的极限为无穷大。

(3)若分式中分子的次数低于分母的次数，则该分式的极限为零。1.5.4无穷小的比较我们已经知道，自变量同一变化过程的两个无穷小的和及乘积仍然是这个过程的无穷小。但是两个无穷小的商却会出现不同的结果。例如

都是当时的无穷小，而

产生这种不同结果的原因，是因为当时三个无穷小趋于0的速度是有差别的。定义1.5.3

设是当自变量(可以是有限数

，可以是

或)

时的两个无穷小，且。

(1)如果，则称当时

是

的高阶无穷小，或称

是的低阶无穷小，记作；

(2)如果则称当时

与

是同阶无穷小；(3)如果，则称当时

与

是等价无穷小，记作。例如，因为所以当时，

是

的高阶无穷小,所以；因为所以当时，是的同阶无穷小；

因为，

与

是时的等价无穷小，所以；定理1.5.3(等价无穷小的替换原理)设是时的无穷小，且则当极限

存在时，极限也存在，且这个定理表明，在计算极限时，可将分子或分母中的因式换成其等价无穷小。例1.5.6求。解因为，所以。

解因为所以。

例1.5.7求。解因为所以。

例1.5.8用等价无穷小的代换，求。注意：

若在本例中以，代入分子，将得到下面的错误结果：

因为只有当用等价无穷小代换因式时极限才保持不变，而这样的代换，分子与不是等价无穷小。注意：在用等价无穷小代换求极限时，只能代换其中的因式，而不能代换用加减号联结的项。1.6函数的连续性1.6.1函数的连续性1.函数在一点处连续定义1.6.1设函数在的某一邻域内有定义，如果当自变量x在处的增量

趋于零时，相应的函数增量也趋于零，即则称函数在处连续，称

为函数

的连续点。

由定义1.6.1可知，所以因而

，即。可见，，所以与等价。

定义1.6.2设函数在点

的某一邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，且等于它在

处的函数值，即，则称函数在

处连续。

注意：

从定义1.6.2可以看出，函数在

处连续必须同时满足以下三个条件：函数在处及其附近有定义；

(2)极限存在；

(3)极限值等于函数值，即。

解函数在处及其附近有定义，且，而，所以。因此，函数在处连续。例1.6.1研究函数在处的连续性。定义1.6.3如果函数

在

及其左边附近有定义，且，则称函数在处左连续。

如果函数在及其右边附近有定义，且，则称函数在处右连续。由定义1.6.1和定义1.6.2可得：

在处连续在处既左连续又右连续。

例1.6.2讨论函数在处的连续性。解由于在

处的左、右表达式不同，所以先讨论函数在处的左、右连续性。

由于，所以在

处的左、右连续,因此在处连续。

2.区间上的连续函数定义1.6.4如果函数

在开区间内每一点都是连续的，则称函数

在开区间内连续，或者说是

内的连续函数。如果函数在开区间

内连续，且在区间的两个端点与处分别是右连续和左连续，即，则称函数在闭区间上连续，或者说是闭区间上的连续函数。例1.6.3[出租车费用]设某城市出租车白天的收费(单位：元)与路程(单位：km)之间的关系为(1)求;(2)函数在

处连续吗？

在

处连续吗？解

(1)因为

所以(2)因为

所以函数在

处连续。因为

是初等函数定义域内的点，所以函数在处连续。1.6.2函数的间断点及其分类1.间断点的概念定义1.6.5设函数在的某去心邻域内有定义，如下列条件之一发生：

(1)函数在

处无定义；

(2)函数在处有定义，但极限不存在；

(3)函数在处有定义，极限存在，但，

则称点为

的间断点，或者说函数在

处不连续。

2.间断点的分类由以上各种情况,我们可以将间断点分成两种类型：

①左右极限都存在的间断点称为第一类间断点，如图1-17(a)至图1-17(c)所示；

②凡不是第一类的间断点都称为第二类间断点，如图1-17(d)至图1-17(f)所示。选学内容

第一类间断点又可分为可去间断点和跳跃间断点。①如果左、右极限存在且相等，由于

在

无定义(如图1-17所示)或者虽有定义但是极限值与函数值不等(如图1-17(b)所示)所造成的间断，则称

为的可去间断点。之所以称为可去间断点，是因为这时我们可以通过补充定义或改变函数在

的值使得

在

变成连续；②如果左、右极限存在但不相等时，的值在

产生跳跃(如图1-17(c)所示)，这时称

为

的跳跃间断点。

第二类间断点又可分为无穷间断点和振荡间断点。①若当或时，

至少在

的一侧无限趋大，则称

为

的无穷间断点(如图1-17(d)和图1-17(e)所示)；②当时至少在

的一侧无限次振荡且振幅不衰减为0，则称

为

的振荡间断点(如图1-17(f)所示)。例1.6.4函数在处无定义，故是间断点。又由于，即左右极限存在且相等，所以是第一类（可去）间断点。例1.6.5函数在处有定义。且，但是，即极限存在但不等于函数值，所以是第一类（可去）间断点。例1.6.6函数。由于，即左、右极限不相等，所以不存在，因此是

的第一类(跳跃)间断点。，例1.6.7函数，在处没有定义，所以是间断点。在

处，因为，所以

是的第二类（无穷）间断点。在处，因为，所以

是的第一类（可去）间断点。例1.6.8[冰融化所需要的热量]设1g冰从-40℃升到100℃所需要的热量(单位：焦耳)为试问当

时，函数是否连续？若不连续，指出其间断点的类型。并解释其几何意义。解∵

则得极限不存在，所以函数

在

处不连续。由于此时函数在

点的左、右极限都存在，所以为函

数的第一类间断点。这说明冰化成水时需要的热量会突然增加。1.7连续函数的四则运算与初等函数的连续性1.7.1连续函数的四则运算定理1.7.1

设函数和在点处连续，那么

(1)函数；

(2)函数；(3)函数都在点

处连续。

例1.7.1因为

与

都在(-∞,+∞)上连续，所以根据定理1.7.1的(3)，

与在各自定义域内连续。1.7.2复合函数的连续性定理1.7.2设函数

在点处连续，函数

在点

处连续,且，则复合函数在点处连续。解函数可看作由及

复合而成的复合函数，在上是连续的，在和内是连续的，

根据定理1.7.2知,函数

在区间和内是连续的。例1.7.2讨论函数的连续性。解函数

是由与复合而成的复合函数，因为，而函数在处连续，故极限符号可以与函数符号交换，从而有

例1.7.3求极限。解。例1.7.4求。解函数

可视为由函数

复合而成的复合函数,尽管在点处

无定义，但由于

，

而在对应点处连续，因此由复合函数的极限运算法则，得

例1.7.5求。

1.7.3初等函数的连续性我们已经知道基本初等函数在它们的定义区间内都是连续的。

在上述三个定理的基础上，又可得到下列的重要结论：一切初等函数在其定义区间内都连续。例如,初等函数，，等都在其定义区间内连续。利用初等函数的连续性的结论可得:

如果是初等函数，且点

在

的定义区间内，那么

。因此计算当时的极限，只要计算对应的函数值就可以了。

例如，

是初等函数

的定义区间内的点，所以

。又如，的定义区间是，则

。再如的定义区间是，所以

。例1.7.6设函数选择适当的数a,使得成为在内的连续函数。解当

时，

是初等函数，根据初等函数的连续性，连续；

当时，

也是初等函数，所以也是连续的；

在处，又，

。故当选择，在

处连续。

综上所述，在内成为连续函数。1.7.4闭区间上连续函数的性质定理1.7.1(最大值和最小值定理)闭区间上连续函数必有最值。注意：定理的条件是充分的，也就是说，在满足定理条件下，函数一定在闭区间上能取得最大值和最小值。

在不满足定理条件下，有的函数也可能取得最大值和最小值，如图1-19所示函数，在开区间内不连续，但在开区间上也存在最大值和最小值。定理1.7.2(零点定理)如果函数在闭区间上连续，且，

则在开区间内至少存在函数

的一个零点，即至少有一点使

。从几何图形上看，定理1.7.2表示：如果连续曲线弧的两个端点位于

轴的不同侧，那么这段曲线弧与

轴至少有一个交点

，如图1-20所示。

零点定理表明，若函数在闭区间上连续，且，则方程在开区间内至少存在一个根，所以它称为根的存在定理。例1.7.7证明方程

在内至少有一个实根。

证方程等价于

。如上所说，要证明有实根，就是要证明函数有零点。

令，则在上连续,且，。

由根的存在定理,在内至少有一点，使

，即方程在内至少有一个实根。

定理1.7.3(介值定理)如果函数在闭区间上连续，且在此区间的端点处取不同的函数值，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在闭区间上至少有一点

，使。定理1.7.3的几何意义是：连续曲线

与水平直线至少相交一点，图1-21所示中点都是曲线与直线的交点。推论在闭区间上连续的函数一定能取得介于最大值

和最小值

之间的任意值。设，

且，在闭区间上利用介值定理，就可以得到上述推论。1.8利用极限建模例1.8.1计算首先建立一个

文件，其方法是点击“File”，然后点击“new”，最后点击“M-Fille”，即可建立

文件，如图1-22所示进入

文件窗口，在

文件窗口中输入如下程序，如图1-23所示：%给n赋一个值%给s赋予初值0%i从1循环到n%把i从1到n代入计算%循环结束