含时微扰与量子跃迁

第1页，共67页，2023年，2月20日，星期四§11.1

量子态随时间的演化含时薛定谔方程的一般讨论：在量子力学中与时间相关的问题可分为两类：(1)

系统的Hamilton量不依赖时间如散射问题或行进问题初始条件或边界条件的变化使问题与时间相关(2)

系统的Hamilton量依赖时间如：频率调制的谐振子问题、与时间相关的受迫谐振子问题、交变外电磁场下原子中电子的状态跃迁问题。第2页，共67页，2023年，2月20日，星期四11.1.1Hamilton量不含时的体系此时含时薛定谔方程的解是是描述量子态随时间演化的算符。若初态可表示成其中则t时刻的波函数是第3页，共67页，2023年，2月20日，星期四例题1

设一定域电子处于沿x轴方向的均匀磁场B中(不考虑电子的轨道运动)，电子的内禀磁矩与外磁场的相互作用是设初始时刻电子的自旋态为sz的本征态，sz=Ћ/2求t时刻电子的自旋波函数第4页，共67页，2023年，2月20日，星期四解法一：设t时刻电子的波函数是代入薛定谔方程得初始条件：a(0)=1,b(0)=0则两式相加、减得积分得第5页，共67页，2023年，2月20日，星期四上两式相加减得或解法二：体系的能量本征态和本征值分别为第6页，共67页，2023年，2月20日，星期四电子的自旋初态为则t时刻的波函数是第7页，共67页，2023年，2月20日，星期四11.1.2Hamilton量含时体系的量子迁移的微扰理论量子态随时间的演化更有意思的兴趣：在外界作用下体系在定态间跃迁的概率？编时算符第8页，共67页，2023年，2月20日，星期四设无外界作用时，体系的Hamilton量为H0(不含时间)，包括H0在内的一组力学量完全集F的共同本征态是{|ψn>}，设体系初始时刻处于某一能量本征态|ψk>加入微扰后体系的哈密顿是由于并非力学量完全集中所有的量都是守恒量，因此体系不能保持在本征态，而是处于本征态的线性叠加在初态条件下求解薛定谔方程即第9页，共67页，2023年，2月20日，星期四将(19)代入(20)得上式左乘<ψk´|，并利用本征函数的归一性得其中初始条件在t时刻测量力学量F得到Fn值的概率是第10页，共67页，2023年，2月20日，星期四即体系从初态ψk在t时刻跃迁到ψn态的概率是Pnk(t)单位时间内的跃迁概率（跃迁速率）为如何求?第11页，共67页，2023年，2月20日，星期四用微扰法近似求解零级近似：忽略H´的影响，按照(22)式有则根据式(24)有一级近似：在式(22)右边，令由此得出一级近似解且随时间缓慢变化，体系仍有很大的概率停留在原来的态。第12页，共67页，2023年，2月20日，星期四积分得因此在准确到微扰一级近似下有对k´≠k(初态不同于末态)则上式是微扰一级近似下的跃迁概率公式。第13页，共67页，2023年，2月20日，星期四上述公式成立的条件是即跃迁概率很小，体系有很大的概率仍停留在初始状态。选择定则：若H具有某种对称性使得H´k´k=0,则Pk´k=0，即在一级近似下，不能从初态k跃迁到末态k´,或者说从

k态跃迁到k´态是禁戒的，就相应某种选择定则。注:

(1)(2)如果初态和末态有简并，求跃迁概率时，应对初始能级诸简并态求平均，对终止能级诸简并态求和第14页，共67页，2023年，2月20日，星期四如在中心力场中是从nlm态到n´l´m´态的跃迁概率(3)

量子跃迁并不意味着末态能量与初态能量不同，也可在同能级间跃迁，如弹性散射，此时此时跃迁概率为第15页，共67页，2023年，2月20日，星期四例题2

设在时，一维谐振子处于基态，问经过微扰时，处在第n个本征态|n>的概率。解：利用公式及产生与湮灭算符的性质可知，只有，其它均为零后，在第16页，共67页，2023年，2月20日，星期四跃迁概率为含时间微扰与定态微扰的关系定态微扰是含时微扰的一种近似，事实上，任何微扰总是与时间有关，如Stark效应，外加电场的时间总是比原子的特征时间大很多，因此微扰随时间的变化率可以认为是足够慢，此时可用定态微扰处理。第17页，共67页，2023年，2月20日，星期四§11.2

突发微扰与绝热微扰11.2.1

突发微扰设体系受到一个突发但有限的微扰的作用对薛定谔方程两边积分，并取极限可得说明突发微扰不改变体系的状态。例题3：考虑β-衰变释放一个电子的持续时间第18页，共67页，2023年，2月20日，星期四原子中1s轨道电子运动的特征时间为则在此短暂的过程中，β-衰变前原子中的一个K层电子的状态还没有来得及改变，但由于原子核电荷已经改变，原来的状态并不是新原子的能量本征态，即不是新的1s态，那么原子有多大概率处于新的1s态？K层电子的波函数是则K电子处于新原子1s态的概率是如Z=10,则P~0.9932第19页，共67页，2023年，2月20日，星期四11.2.2绝热微扰与突发微扰的极端情况相反，绝热近似假定施于体系的微扰作用时间足够长，变化足够慢。假定t→-∞时，体系处在无微扰状态，在(0,-∞)的足够长时间内加入微扰，在t=0时，体系的哈密顿量为称为绝热因子。则若τ足够大，则第20页，共67页，2023年，2月20日，星期四§11.3

周期微扰有限时间内的常微扰考虑周期为微扰则在时刻t体系从初态k跃迁到末态k´的跃迁振幅是跃迁概率是第21页，共67页，2023年，2月20日，星期四利用公式即可见，当单位时间内跃迁概率是第22页，共67页，2023年，2月20日，星期四常微扰的跃迁概率设t=0时刻体系处在态Φk，在微扰作用下体系跃迁到连续分布或接近连续分布的末态Φm,

则跃迁概率为设微扰H´是个常数，只在(0,t)时间间隔内起作用，则体系在t´=0时处于Φk态，在t´=t时跃迁到Φm态的概率幅为则(5)(6)(7)第23页，共67页，2023年，2月20日，星期四利用公式，并作变量代换，则近似地单位时间内的跃迁概率(跃迁速率)为费米黄金规则即(8)(9)(10)(11)第24页，共67页，2023年，2月20日，星期四§11.4

能量-时间不确定度关系例题4

设粒子的初始状态是Ψ1,Ψ2是粒子的两个能量本征态，本征值为E1,E2，则粒子在空间的概率密度分布是其中可见：概率密度随时间周期性变化，变化周期是第25页，共67页，2023年，2月20日，星期四记则对定态有上式称为能量-时间的不确定度关系也满足不确定度关系。例题5

设自由粒子用一个波包来描述，波包的宽度为Δx,群速度是v，相应于经典粒子的运动速度。波包掠过空间某点所用的时间是Δt~Δx/v，此波包所描述的粒子的动量的不确定度是因此能量不确定度是则第26页，共67页，2023年，2月20日，星期四例题6

设原子处于激发态，它通过自发辐射而衰变到基态，寿命为τ。这是一个非定态，其能量不确定度是ΔE，称为能级宽度Γ。由于寿命的限制，自发辐射光子相应的辐射波列的长度是Δx~cτ,因此光子动量的不确定度是光子能量的不确定度是因此原子激发态能量也有一个相应的不确定度，即能级宽度xvΓγ基态激发态第27页，共67页，2023年，2月20日，星期四能量-时间不确定度关系的严格证明证明：设体系的Hamilton量为H，另外一个力学量是A,则有其中因为则第28页，共67页，2023年，2月20日，星期四令表示力学量A的平均值改变ΔA所需要的时间则或写成上式就是能量-时间不确定度关系。ΔE表示体系所处状态能量的不确定度，Δt表示该状态的性质有明显改变所需要的时间，或变化周期。第29页，共67页，2023年，2月20日，星期四例7

设末态是自由粒子动量本征态在箱内动量的本征值为动量在内的量子态数为动量在内的量子态数为第30页，共67页，2023年，2月20日，星期四则在能量间隔，角度在内的状态数目为态密度为第31页，共67页，2023年，2月20日，星期四概论众所周知，光辐射和物质之间存在相互作用，这种相互作用不仅偶尔会影响光辐射的传播，更决定着光辐射被物质的吸收和发射。经典理论成功地描述了光辐射的传播，然而却无法正确描述光的吸收和发射。量子理论辉煌成就之一在于，能够全面正确地描述光和物质的相互作用，包括相互作用导致的光吸收和光辐射。尽管量子电动力学理论本身还存在着问题，但可以说，它是迄今为止人类所建立的最成功、最精确的物理理论。辐射和物质相互作用的全量子理论应当是从统一的量子化观点处理相互作用着的双方：电磁场和物质粒子。就是说，非相对论量子电动力学：粒子——原子及其中的电子遵从Schrödinger方程，电磁场被量子化成为量子电磁场。相对论量子电动力学：粒子遵从Dirac方程和Klein-Gordon方程，电磁场为量子电磁场。这便是常称的量子电动力学的辐射理论。§11.5光的发射与吸收第32页，共67页，2023年，2月20日，星期四由于课程所限，这里只给出光场对物质作用的量子力学理论，可称作半量子理论：这个理论的实质是对物质中的原子、分子、电子采用量子力学的观点，但对光场却采用经典电磁波观点。于是成为如下一幅物理图象：量子力学中的原子(及原子中的各层电子)在经典电磁场的强迫振动下，发生能级之间的量子跃迁，与此同时便产生出光子或湮灭光子。用半量子理论能够给出光辐射和物质相互作用的一部分正确结果，包括产生或湮灭光子的能量、谱线强度、偏振状态、禁戒规则和角分布等等。但是，由于它的不彻底性，也如同非相对论量子力学的局限性一样，不能解释处于激发态原子的自发辐射、强辐射场中的多光子过程、以及光场中物质粒子的产生和湮灭等进一步的问题。

其中的自发辐射问题，爱因斯坦曾依据热力学平衡的一般观念，半唯象但却是普适地处理了自发辐射和受激辐射之间的关系。第33页，共67页，2023年，2月20日，星期四1.光的吸收与受激辐射设入射光是平面单色波，其电场强度和磁场强度分别为原子中的电子受到的电场力和洛伦兹力之比为因此在原子中只考虑电场的作用。定义：在光的照射下，原子可能吸收光从低能级跃迁到较高能级，或从高能级跃迁到较低能级并放出光，这种现象分别称为光的吸收和受激辐射。处于激发态的原子，即使没有外界光的照射也可能跃迁到某些较低的能级而放出光，这称为自发辐射。受激辐射吸收自发辐射(1)第34页，共67页，2023年，2月20日，星期四若入射波是可见光，光的波长远大于玻尔半径，则则原子内的电场强度可简化为相应的能量为其中取，直接利用周期性微扰公式得或只考虑光的吸收，且假定(3)(2)(4)(5)第35页，共67页，2023年，2月20日，星期四若入射光不是偏振光，光偏振（E0）完全是无规的，则则有若入射光是自然光而非单色光，则园频率在ω→ω+dω中的能量密度为ρ(ω)dω,且则自然光射到原子上，单位时间内的跃迁概率为(6)(7)(8)第36页，共67页，2023年，2月20日，星期四定义受激吸收系数显然(2)选择定则球坐标与直角坐标的关系设原子的初态为，末态是即跃迁概率与入射光中园频率为ωmk的光强度成正比，其它频率成分对该跃迁没有贡献。(9)(10)(11)激发辐射系数第37页，共67页，2023年，2月20日，星期四利用球谐函数间的关系可算出，只有当时，r的矩阵元才不全为零，也即从k到m态的跃迁才可能发生，上述关系称为偶极跃迁选择定则(12)第38页，共67页，2023年，2月20日，星期四设是从εm→εk的自发辐射系数，它表示原子单位时间内从εm自发跃迁到εk的概率是受激辐射系数。若作用于原子的光波在ω→ω+dω频率范围内的能量密度为I(ω)dω，处在能级εm的原子受激跃迁到εk能级，并发出能量为Ћωmk的光子的几率是BmkI(ωmk).受激吸收系数，处在能级εk的原子,吸收能量为Ћωkm的光子，受激跃迁到εm能级的概率为BkmI(ωkm).

(2)自发辐射与爱因斯坦理论

第39页，共67页，2023年，2月20日，星期四当原子和电磁辐射达到平衡后，有根据玻耳兹曼分布则与黑体辐射公式假定εm能级有Nm个原子，εk能级有Nk个原子，则(13)(14)(15)(16)第40页，共67页，2023年，2月20日，星期四进行对比，并利用即在偶极近似条件下有或得(17)，则可求出(18)(19)将式(15)、(16)代入得第41页，共67页，2023年，2月20日，星期四讨论：(1)自发辐射与受激辐射之比为当时，在室温下T=300K,则远大于可见光的波长，波长越小，频率越高，可见在可见光区自发辐射远大于受激辐射。(2)自发辐射与受激辐射具有相同的选择定则(3)处在受激态Φm的Nm个原子，在dt内自发跃迁到Φk态的数目为积分得第42页，共67页，2023年，2月20日，星期四(4)单位时间内原子自发辐射出的能量为处于Φm态的Nm个原子发出频率为ωmk的总辐射强度为其中表示处在Φm态原子的寿命，求和对所有低于εm的能级进行。第43页，共67页，2023年，2月20日，星期四例题

8

计算氢原子自发衰变寿命解：波函数形式为则平均寿命为第44页，共67页，2023年，2月20日，星期四例题9

电荷为q的线性谐振子在时间t=0时处于基态，t>0时处在的电场中，求振子处在各激发态的概率，并讨论t很大时的概率。附:解：

因此只有基态向第一激发态跃迁是允许的第45页，共67页，2023年，2月20日，星期四因此第46页，共67页，2023年，2月20日，星期四例题10

在用电子撞击氢原子使氢原子升高到第一激发态的实验中发现，即使入射电子束具有单一能量，引起跃迁的电子在碰撞后的能量也不一样。请解释这一现象（注意原子受激态的寿命通常会很短）(2)实验中观测到电子束能量起伏有数量级10-6eV，计算原子受激态的平均寿命。第47页，共67页，2023年，2月20日，星期四

例题11

从恒温器发出的温度为1200K的银原子蒸汽，穿过直径为d的小圆孔打到屏上，屏与孔的距离L=1m（提示银原子的能量为kT/2）.试用测不准关系证明，用逐渐缩小小孔的办法使打在屏上的斑点直径无限减小是不可能的。(2)试估计用改变小孔直径的办法可能得到斑点的最小直径解：

(1)粒子穿过小孔时坐标的不确定度为设亮斑半径为a，则亮班对小孔中心的张角为由测不准关系第48页，共67页，2023年，2月20日，星期四即显然，考虑到测不准关系，亮斑的直径与小孔的直径成反比，逐渐减小小孔的直径无法使得亮斑的直径无限减小。(2)如果不考虑银原子的衍射，则小孔的直径与亮斑的直径相等；若考虑银原子的衍射，则小孔的直径小于亮斑的直径。而当小孔的直径逐渐减小时，则亮斑的直径也逐渐减小，当孔的直径小到与银原子的波长相当时，开始出现衍射现象，即亮斑的直径开始增大，孔的直径越小，亮斑的直径就越大。因此，亮斑的最小直径就是银原子的德布罗意波长。根据题目所给条件可求出银原子的波长。第49页，共67页，2023年，2月20日，星期四例题12

处于基态的氢原子受到脉冲电场的作用，用微扰论计算电子跃迁到各激发态的概率，以及仍停留在基态的概率。解：自由氢原子的哈密顿为H0，能级为En。本征方程是设脉冲电场沿z轴方向，则微扰哈密顿为因此t时刻电子跃迁到ψn态的概率是第50页，共67页，2023年，2月20日，星期四电子仍留在基态的概率是第51页，共67页，2023年，2月20日，星期四例题13

已知两种中微子的本征态为能量本征值为电子中微子的本征态为μ子中微子的本征态为其中θ是混合角。某体系在t=0时刻，电子中微子处于态求：1)t时刻中微子所处的状态；2)t时刻中微子处于基态的概率。解：第52页，共67页，2023年，2月20日，星期四例题14

设粒子所处的外场均匀，但与时间有关，即V=V(t),与坐标r无关。试将体系的含时薛定谔方程分离变量，求方程解ψ(r,t)的一般形式。并取V(t)=V0cosωt,以一维情形为例说明V(t)的影响是什么。解：令代入薛定谔方程得两边同除ψ(x)f(t)可得第53页，共67页，2023年，2月20日，星期四解得若取则则总的波函数是显然，外场的作用仅是给平面波提供了一个受时间调制的相角。第54页，共67页，2023年，2月20日，星期四例题15.

设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿为求：(1)很长时间后(t>>τ)电子跃迁到激发态的概率。已知(2)基态电子跃迁到下列哪个态的概率为零，简述理由第55页，共67页，2023年，2月20日，星期四解：微扰为

初态波函数为利用第56页，共67页，2023年，2月20日，星期四2012年复旦大学量子力学研究生入学试题(第一题必做，第二至第七题作其中五题)一、1)写出量子力学五个基本假设2)分别写出在动量表象和坐标表象下的薛定谔方程3)动量和坐标的某种对易关系（不全）4)求σx的本征值和本征态5)求Lz的本征值和本征函数二、计算波函数某个算符的平均值三、t<0时电子处于磁场B=B0e1中，并处于自旋向上态。t>0时加入了磁场B´=B1sin2ω0te2+B2cos2ω0te3,(ei是单位矢量)(1)求t>0时电子的波函数；(2)画出Sz随时间的变化；(3)第57页，共67页，2023年，2月20日，星期四四、计算各能级的二级近似能量五、两个自旋为1/2的粒子，磁矩分别是µ1和µ2，两粒子的距离

a=AZ(Z为矢量)，两粒子受磁矩相互作用(1)以S1、S2表示H(2)在(S2,Sz)表象中表示H(3)求哈密顿H的本征值六、碱金属原子处于势场(1)求所有能级，并与氢原子能级比较；(2)第58页，共67页，2023年，2月20日，星期四七、求中心力场中高能散射振幅及微分截面参考答案：三、解：电子与磁场相互作用的哈密顿是第59页，共67页，2023年，2月20日，星期四初始条件五、解：第60页，共67页，2023年，2月20日，星期四2012年中国科技大学量子力学研究生入学试题(20分)质量为m的粒子被限制在半径为R的平面圆周上运动(转子)，已知开始时体系处于状态A为常数。(1)写出t时刻系统的波函数；(2)求出t时刻系统的平均能量2.（30分）一个质量为m的粒子在下面的一维势阱中运动其中a,A为常数第6