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文档简介
中国药科大学数学教研室杨访第八节函数的连续性自然界中许多现象都是连续变化的，反映这种连续变化过程的函数关系就是所谓函数的连续性。函数连续性的研究不仅具有普遍的实际意义，对于了解函数的内在性质也有着基础的重要性。微积分的主要研究对象就是连续函数，本节主要讨论连续函数的数量本质。本节概要自然界中普遍存在着连续变化的现象。如植物的生长过程中，其高度随时间连续地变化。气温随时间的连续地变化。物体的体积膨胀随温度的连续地变化等。反映这种连续变化现象的数量关系的就是所谓函数的连续性。从几何角度看，这种连续变化的函数的图形对应着一条绵延不断的曲线。一．函数连续性的概念(1)
自然界中的连续变化现象1.连续变化现象的数量本质气温随时间连续变化的函数图形
自然界现象中也存在变化不连续现象。如夜间虫鸣的音量、脉冲波电压随时间的变化等。反映这种不连续变化现象的函数图形呈现出一种逐段分布的特性。脉冲电压随时间变化的图形(2)
连续变化现象对应函数的几何特点光阴荏苒，物换星移，老友故交相逢，往往慨叹物是人非。然而，熟人、邻居数日后再见，却不会发现彼此有什么变化，这就是连续变化现象。因为在较短的时间段内，人的相貌体形不会有太大的变化，因而不易观察出来，只有当时间跨度较大时，变化才比较明显。函数在一点连续与不连续的差别曲线在一点连续与不连续的差别在于曲线在该点处的函数值是否产生了“突变”。不连续点处的性状连续点处的性状(2)
变量增量的概念
设变量
u
从它的初始值
u1变化到终值
u2，则终值u2与初始值
u1之差
u2
-
u1称为变量
u
在
u1
处的增量，记作：
u=
u2
-
u1.(3)
增量概念说明
增量记号
u
是一个整体，其意义是变量
u
发生改变的量的值
u
=
u
2-
u1，增量
u
可以是正的，也可以是负的。不论
u
是正是负，都表示变量
u
发生了改变,因此增量
u
又称为变量
u
的改变量。当
u
>
0
时，表示变量
u
的变化是增加的，此时u2
=
u1+
u
>
u1;；当
u
<
0
时，表示变量
u
的变化是增加的，此时u2
=
u1
+
u
<
u1.
增量的意义是改变量
自变量的增量
对函数而言，变量可以是自变量也可以是因变量。按变量性质的不同，增量的意义略有区别。若
u是自变量，相应增量为自变量的增量。对于自量
x
的增量，通常约定其不为零，即
x
=
x
2-
x
10.这种约定来既源于函数讨论的需要，也有其实际意义。因为当自变量增量
x
=
0
时，表示自变量没有发生变化，因而因变量
y
也不会发生变化，自然没有研究的意义和必要。x0函数的增量若
u
是因变量，相应增量为函数的增量。函数的增量依赖于自变量及自变量的增量。函数
y=
f(
x
)在一点
x=x
0处的增量定义为：设函数
y=
f(
x
)在点
x
0
的某个邻域内有定义，当自变量
x
在该邻域内从
x
0变化到
x
0
+
x时，函数
y相应地从
f(
x
0
)变化到
f(
x
0
+
x
)，则函数相应的增量为y
=
f(
x
0
+
x
)-
f(
x
0
).
与自变量增量不同的是，函数在一点的增量可以为零。y
=
0有了增量的概念便可方便地表达函数连续的概念。由对函数连续性概念的直观认识，函数y
=f(
x
)在点
x
0处连续可定量地表示为，当
x
→
0时，
y
→
0
.设函数
y
=f(
x
)在点
x
0
的某一邻域内有定义，如果那么就称函数
y=f(
x
)在点
x
0处连续。(1)
函数在一点连续的定义
几何直观的定义2.函数连续性的概念定义表达了函数在一点连续的实质，且由此容易获得函数
y=
f(
x
)在一点
x
0连续的直观认识。
从运算和应用的角度讲，定义给出了一种判别函数在一点连续的方法，即求y=f(
x
0+
x
)-
f(
x
0
)，并考察是否有
然而这一方法却并不太适合于应用。因为计算函数在一点处的增量常常是繁杂和困难的。
直观定义的说明
例如，对于幂函数
y
=
f(
x
)=x
n，其在一点
x
0点处的增量为
由于此时求和计算量相当大，因而由此判别该函数的连续性相对繁杂。幂函数
y=x
n
是最简单的函数，其连续性的判别倘需作如此复杂的计算，因此对一般函数通过计算增量来判别其连续性常是困难的。
为便于应用，考虑对表达形式作如下改动：
将
x
=x
-
x
0
→
0改为
x=x
0
+
x
→
x
0
，则函数增量的变化趋势转化函数值的变化趋势，即
y=f(
x
0+
x
)-
f(
x
0
)→0
，y=f(
x
)-
f(
x
0
)→0，
y=f(
x
)→
f(
x
0
).
设函数
y
=f(
x
)在点
x
0的某一邻域内有定义，如果
那么就称函数
y
=f(
x
)在点
x
0
处连续。转化为转化为更适合于应用的定义函数在一点连续的三要素该定义不仅具有直观性，且更适合于应用。因为对具体函数而言，
和
f(
x
0
)一般都不太难计算。因此只要分别计算函数值和极限值便可确定函数在一点处的连续性。
由此定义还可归纳出更适用的函数在一点连续的判别形式:①f(
x
)在点
x
0
的某个邻域内有定义；
②
存在；③函数在一点连续的三要素不仅更深刻揭示了函数在一点连续的内在本质，且其对于函数连续性和间断点的分析和讨论也显得方便。
为了便于进行严格的分析证明，上述连续性定义也可用“
-
”语言来表达，即有设函数
y
=
f(
x
)在点
x
0的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数
>0
，总存在正数
>
0，使得对于适合不等式
|
x
-
x
0|<
的一切
x都有
|
f(
x
)-
f(
x
0
)|<
,就称函数y=f(
x
0
)在点
x
0处连续。“
-
”定义(2)
函数在一点单侧连续的概念
由函数在一点处的极限趋近方式的任意性，函数
y
=f(
x
)在一点连续就是当动点
x以任意方式从x
0的左侧或右侧趋于x
0时，函数始终以
f(
x
0
)为极限，这一连续概念可认为是一种双侧连续概念，而实际问题及理论分析中常需考虑所谓单侧连续问题，即动点
x沿一侧趋于x
0时，函数是否连续的问题。由函数在一点连续的一般概念，函数在一点单侧连续实际就是函数在一点的单侧极限是否等于其在该点的函数值问题。函数在一点左连续设函数
y=f(
x
)在点
x
0的某个左邻域内有定义，如果函数当
x
→x
0时的左极限存在，且它等于f(
x
)在点
x
0
处的函数值
f(
x
0
)，即，就称函数
y=f(
x
)在点
x
0左连续。
用“
-
”语言叙述就是：如果对
>
0，
>
0，使得对于适合不等式-
<x
-
x
0
<
的一切x，对应函数值
f(
x
)都满足不等式|
f(
x
)-
f(
x
0
)|<
，就称函数
y
=f(
x
)在点
x
0
左连续。设函数
y=f(
x
)在点
x
0的某个右邻域内有定义，如果函数当
x
→x
0时的右极限存在，且它等于f(
x
)在点
x
0
处的函数值
f(
x
0
)
，即，就称函数
y=f(
x
)在点
x
0右连续。用“
-
”语言叙述就是：如果对
>
0，
>
0，使得对于适合不等式
0<x
-
x
0
<
的一切
x，对应函数值
f(
x
)都满足不等式|
f(
x
)-
f(
x
0
)|<
，就称函数
y=f(
x
)在点
x
0
右连续。函数在一点右连续单侧连续与双侧连续的直观认识双侧连续右连续左连续函数在一点的单侧连续虽然是函数连续的一种特殊形式，但它和函数在一点的一般的连续概念，即双侧连续却有着密切的联系。由函数在一点的单侧连续与双侧连续的定义，容易证明二者有如下关系：
单侧极限与双侧连续的关系
由于单侧连续的形式相对简单，利用这一结果常可将复杂的双侧连续问题转化为较简单的单侧连续问题进行讨论，特别是对分段函数在分段点处的连续性问题，应用这一结果尤为方便。
结果说明(3)
函数在区间上连续的概念
讨论函数通常总在某个区间上进行，对函数连续性的考察更多地是关注函数在区间上的连续性。由函数在一点连续的概念可进一步定义函数在区间上的连续性。
若函数
y=f(
x
)在开区间(
a
,b
)内每一点都连续，就称
y
=
f(
x
)在开区间(
a
,b
)内连续。
若函数y
=f(
x
)在开区间(
a
,b
)内每一点都连续，且在左端点x
=
a右连续，在右端点x
=
b左连续，就称y
=f(
x
)在闭区间[
a
,b
]上连续。函数在开区间(
a
,b
)内连续函数在闭区间[
a
,b
]上连续开区间和闭区间虽只相差两点，但二者的性质却不同。开区间(
a
,b
)具有如下性质：对
x(
a
,b
)，总存在点
x
的某个邻域U(
x
,),使得
U(
x
,)(
a
,b
)，而闭区间[
a
,b
]在端点
x
=a
,x
=
b
处就不具有这种性质。
由于连续性概念是函数在一点邻域内的性质，故对开区间只需函数在一点连续的概就可直接定义开区间内的连续性，而对闭区间则需分别定义其内部的连续性和端点处的连续性。开区间和闭区间的差异
结果说明(1)
函数在一点连续性的讨论
例：讨论在x
0
=
1
处的连续性。所论函数为分段函数，指定点
x
0
=
1为其分段点，且
f(
x
)在分段点两侧的表达式不同，故该分段点处的极限应按左、右极限考察，即验证在点
x
0
=
1处是否有3.函数连续性的证明分析由单侧连续定义知，f(
x
)在点x
0
=
1处左连续和右连续。由双侧连续与单侧连续的关系知f(
x
)在点
x
0
=
1处连续。解计算f(
x
)在点x
0=
1处的左右极限例：设
问：a
,b
各取何值时，f(
x
)在点x=0
处连续？
为求
a
,b需先建立
a
,b
的方程。本例涉及的是分段函数在分段点处的连续性问题，由单侧连续与双侧连续的关系知，f(
x
)在分段点
x
=
0处连续的充要条件是其在
x
=
0
处左连续且右连续。因此，只需假设
f(
x
)在分段点x
=
0处连续便可建立方程。分析解由连续性条件建立方程
设
f(
x
)在分段点
x
=
0处连续，则有因为故有解得(2)
证明函数在开区间内连续
例：证明函数
y=cos
x
在区间(
-
,+
)内连续。要证函数
y
=
cos
x
在开区间(
-
,+
)内连续，就是要证其在开区间(
-
,+
)内的任一点连续，即对x
0(
-
,+
)，要证在
x
0处有分析任取x
0(
-
,+
)，则在
x
0处有0|
y
||
cos(
x
0
+
x
)-
cos
x
0|
所以当
x
→
0时有，
y
→
0
，由定义知，函数y
=
cos
x在点x
0
处连续。由点x
0
的任意性，y
=
cos
x在区间(
-
,+
)内连续。证按连续性定义
1
进行证明例：证明函数
y=a
x(
a
1
)在区间(
-
,+
)内连续。要证函数
y
=
a
x
在开区间(
-
,+
)内连续就是要证其在开区间(
-
,+
)内的任一点连续，即对x
0(
-
,+
)，要证在
x
0处有任取x
0
(
-
,+
)，则在
x
0处有证按连续性定义
2
进行证明分析(3)
证明函数在闭区间上连续
例：证明函数在区间[
0,1
]上连续。由定义，证明函数在闭区间上连续应分两步进行，即先证函数
f(
x
)在开区间(
0
,1
)内连续，再证其在左端点
x=0处右连续，右端点
x=
1处左连续。
因为对x
0(
0
,1
)有故
f(
x
)在开区间(
0
,1
)内连续。证按定义进行证明·
证f(
x
)在开区间(
0
,1
)内连续分析因为在闭区间[
0
,1
]的端点
0、1处有故
f(
x
)在闭区间[
0,1
]的左端点
x=0处右连续，右端点
x
=
1
处左连续。由函数在闭区间上连续的定义知，f(
x
)在闭区间[
0,1
]上连续。·
证f(
x
)在闭区间[
0
,1
]的端点处连续C.P.U.Math.Dept.·杨访二．函数的间断点(1)
函数间断点的概念及讨论间断点的意义函数的不连续点称函数的间断点。连续函数具有良好的性质，若函数不连续，则可能丧失这些性质。为讨论连续函数的性质，有必要对间断点进行研究，以考察连续函数性质的变化和损失情况。如有可能，还可考虑对其间断点进行改造，以期使其恢复连续函数的性质。1.函数的间断点与间断原因分析(2)
函数间断原因及相应间断点的几何性状函数的连续性是以极限定义的，它可分解为三个要素，比照函数连续的三要素可考察函数间断的原因。函数连续的三要素函数不连续的原因
f(
x
)在点
x
0
的某个邻域内有定义；②③
f(
x
)在点
x
0
没有定义；②f(
x
)在点
x
0
虽有定义,
③
f(
x
)在点
x
0
有定义，
f(
x
)在点
x
0
处无定义导致函数不连续
不存在导致函数不连续
导致函数不连续(1)
为什么要对函数间断点进行分类连续函数具有许多良好的性质，若函数有间断点就可能丧失这些性质。由函数间断点的几何性状可见，有些间断点对函数连续性的破坏是严重的，有些则不然。因此考虑根据对函数连续性的破坏程度对间断点进行分类，以区分不同间断点。
那些对连续性破坏不太严重的间断点，还可考虑对其进行改造，使相应函数回到连续函数的行列中来。2.函数间断点的分类对函数y
=
f(
x
)在点
x
0处的连续性考察，就是看函数在该点的极限值与函数值是否存在及二者间的关系，故间断点对函数连续性的破坏程度应从这两方面考察。
由几何直观可看出，对极限存在的间断点，函数连续性的破坏程度不是特别严重。此时只需补充定义函数值或改变原函数值的定义就可使函数在该点归于连续。因此称这类间断点为可去间断点。(2)
间断点的分类和改造极限值存在的间断点极限值存在的间断点补充定义改变定义这种极限值存在的间断点称为可去间断点。极限值不存在的间断点对于极限不存在的间断点，函数连续性的破坏程度相对就比较严重，但又可分两种情形：
第一种情形
函数在该点的两个单侧极限均存在，但不相等。此时虽无法通过改造使函数在该点归于连续，但还可通过补充或改变定义使函数在该点单侧连续。第二种情形
函数在该点的两个单侧极限至少有一个不存在。
此时函数在该点的连续性质遭到严重破坏，对函数在该点的性状再作改造已没有意义。
单侧极限存在但不相等的间断点这种单侧极限存在但不相等的间断点称为跳跃间断点。补充定义改变定义单侧极限至少一个不存在的间断点无穷间断点振荡间断点根据对连续性破坏严重程度的不同，通常将间断点分为两类：设
x
0
是函数
f(
x
)的间断点，若
f(
x
)在点
x
0处的左、右极限
f(
x
0-
0
)、f(
x
0+
0
)均存在，则称点
x
0是f(
x
)的第一类间断点。除第一类间断点以外的间断点都称第二类间断点，即若
x
0
是函数
f(
x
)的一个间断点，如果
f(
x
)在点
x
0处的左、右极限至少有一个不存在，则称点
x
0是
f(
x
)的第二类间断点。第一类间断点第二类间断点间断点类别是根据间断点对连续性破坏程度的大小所作的分类，它们分为两类。而间断点的名称则是根据间断点的几何特征对间断点的不同命名，如可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点及振荡间断点。因此需注意区分间断点名称和类别在概念上的差异。对具体的间断点而言，不同名称的间断点和它们所属的类别是有联系的。可去间断点、跳跃间断点都是左、右极限都存在的间断点，它们属于第一类间断点。穷间断点及振荡间断点的左、右极限至少有一个不存在，故它们属于第二类间断点。间断点的名称和类别
概念辨析(3)
间断点的判别间断点的判别包含两个步骤，首先是找出所有间断点，再确定其类别和名称。对可去间断点，应通过改造使其化为连续点。确定间断点主要根据观察法，即先通过观察确定函数可能不连续的可疑点，再考察可疑点是否满足函数连续的条件，并由此确定其类别和名称。
对给定函数而言，所谓可疑点通常是分母零点、函数无定义的点及分段函数的分段点。例：求函数的间断点并判别其类型。
对给定函数而言，f(
x
)可能不连续的可疑为分母零点及使tan
x无定义的点。它们分别是
分母零点
x
i
=
i，(
i=0,
±1,
±2,…),
使
tan
x无定义的点x
j=j+
/2，(
j=0,
±1,
±2,…).解先确定可疑点再进行判别确定可疑点对可疑点进行判别判别可疑点是否为函数间断点及确定各间断点的类型、名称，主要根据函数在该点的极限及单侧极限。
对分母零点
x
=
i
，当
i
=
0即x
0
=
0时，由于故
x
0
=
0属第一类间断点，且为可去间断点。补充定义：f(0)=
1
，可使函数在该点连续。当
i
0即
x
=
i
时，单侧极限故
x
=
i
属第二类间断点，且均为无穷间断点。
对使
tanx
无定义的点
作代换t=x-j，则
于是有
属第一类间断点，且均为可去间断点。补充定义：可使函数在这些点处连续。三．初等函数的连续性一．连续函数的和、差、积、商的连续性确定给定函数在某点或某区间上是否连续自然可根据定义判别，但对每个遇到的函数都这样做是不便的，因此需研究函数连续性判别的更简便有效的方法。判别函数是否连续本质是极限问题。因此可考虑按初等函数的构造，通过极限四则运算性质及复合运算性质考虑初等函数的连续性判别问题。(1)
连续函数的四则运算法则
设
f(
x
)、g(
x
)在点
x
0处连续，则F(
x
)=
f(
x
)
g(
x
)在点
x
0
处连续。
由于
f(
x
)、g(
x
)在点
x
0处连续，即有于是由极限运算法则有由定义F(
x
)=f(
x
)
g(
x
)在点x
0
处连续。定理
1两个在某点连续的函数的和在该点连续证根据极限运算法则进行证明
设
f(
x
)、g(
x
)在点
x
0处连续，则F(
x
)=f(
x
)g(
x
)在点
x
0处连续。
由于
f(
x
)、g(
x
)在点
x
0处连续，即有于是由极限运算法则有由定义F(
x
)=
f(
x
)
g(
x
)在点x
0处连续。定理
2两个在某点连续的函数乘积在该点连续证根据极限运算法则进行证明定理
3两个在某点连续的函数商的在该点连续，只要分母在该点不为零。
设
f(
x
)、g(
x
)在点
x
0处连续，且g(
x
0
)0，则F(
x
)=
f(
x
)/g(
x
)在点
x
0处连续。
由于
f(
x
)、g(
x
)在点
x
0处连续，即有于是由极限运算法则有由定义F(
x
)=
f(
x
)/g(
x
)在点x
0处连续。证根据极限运算法则进行证明(2)对定理条件和结论的理解
定理的推广及按区间形式叙述
按归纳法原理，定理
1,2
可推广至有限多个函数的和与乘积的情形，即有限多个在某点连续的函数的和与乘积是该点的连续函数。若按区间形式叙述，定理
1可表为：若函数
f(
x
)、g(
x
)均在区间(
a
,b
)内([
a
,b
]上)连续，则它们的和
f(
x
)g(
x
)与乘积
f(
x
)g(
x
)也在区间(
a
,b
)内([
a
,b
]上)连续。
由定理
13，对给定函数的连续性考察就不必总按定义讨论，而转向构成这些函数的“基本构件”连续性的考察。对由四则运算构成的函数，只要确定了其构件的连续性就可由定理13
确定该函数的连续性。例如：由定义验证了sinx，cosx
连续，则定理3有
tanx
=
sinx/cosx，cotx
=
cosx
/sinx，secx
=
1/sinx，
cscx=1/cosx在其定义区间内连续。
定理
1
3的意义
若两函数
f(
x
)、g(
x
)一个在点
x
0处连续，而另一个在点
x
0处不连续，则
f(
x
)±
g(
x
)在点
x
0处：
定理条件不满足时的相应结果(
C
)
一定不连续(
A
)
一定连续
(
B
)
不一定连续
若两函数
f(
x
)、g(
x
)一个在点
x
0处连续，而另一个在点
x
0处不连续，则
f(
x
)
g(
x
)在点
x
0处：(
C
)
一定不连续(
A
)
一定连续
(
B
)
不一定连续
基本初等函数由幂函数及两组互为反函数的函数组指数函数与对数函数，三角函数与反三角函数构成。讨论反函数的连续性不仅可更简洁地讨论基本初等函数的连续性，对其它初等函数及非初等函数连续性的讨论也具有一般性意义。(1)
讨论反函数连续性问题的意义2.反函数与复合函数的连续性如果函数
y
=
f(
x
)在区间
I
x
上单调增加且连续，那么它的反函数
x
=
f
-1(
y
)也在对应的区间
I
y
={
y|
y=f(
x
),x
I
x
}上单调增加且连续。如果函数
y
=f(
x
)在区间
I
x
上单调减小且连续，那么它的反函数
x=f
-1(
y
)也在对应的区间
I
y
={
y|
y=f(
x
),x
I
x
}上单调减小且连续。定理
4反函数连续性的一种表述(2)
反函数连续性定理
定理
4
指出了直接函数连续性与其反函数连续性的关系，其中对反函数采用了记号x=f-1(
y
)，而不是
y=f-1(
x
).采用这种反函数记法的好处是此时反函数
x=f-1(
y
)与直接函数
y=f(
x
)的图形为同一条曲线，从而更便于由直接函数的单调性和连续性观察出相应反函数的单调连续性。在定理的实际应用中，为讨论方便，反函数的表示仍多采用记号y=f-1(
x
)的形式。定理
4
的说明定理
4
中反函数的表示形式单调连续区间的对应关系定理
4
的应用问题定理
4
要求直接函数
y=f(
x
)在某区间
I
x上单调。一般情况下，给定直接函数
y=f(
x
)可能并不满足这一条件，即给定函数在其定义区间上未必总是单调的。对于这种情形，可考虑将
I
x分割为若干个
f(
x
)的单调区间，并在各单调区间上分别应用定理
4
逐段确定
f(
x
)的单调连续的反函数。在各单调区间上逐段确定单调连续的反函数
例如，考虑函数
y=f(
x
)=cos
x的单值反函数，由于该函数在其定义区间(
-
,+
)上并不单调，故考虑将其定义区间分割为相应的单调区间进行考察：考虑其主值区间I
x
=[0
,]
.
因为y
=cos
x在[0
,]内单调减小、连续。此时由反函数存在定理可确定其在[0
,]内存在单值反函数
x=f
-
1(
y
)=arccos
y，由定理
4
其又可确定其在对应的值域区间
I
y内单调减小并连续，易求得I
y={
y
|y=f(
x
)=cos
x
,x
I
x=[0
,]}=
[
-1,1
].如此按单调区间逐段讨论，就可逐段写出y
=
cos
x的单值反函数。余弦函数与反余弦函数的连续性单调区间内的函数图形对应反函数图形已知余弦函数
y=cosx在[0,]内连续反余弦函数y
=
arccosx在[-1,1
]内连续定理二已知指数函数
y
=
ax
在(-,+
)内连续定理二已知对数函数
y
=
logax在(
0,+
)内连续根据定理
4，由三角函数与指数函数的连续性便可得到反三角函数与对数函数的连续性。复合函数的连续性与复合函数取极限问题有密切联系，已讨论过的复合函数取极限问题的结果如下：
设函数
u
=
(
x
)当
x
→
x
0
时极限存在且等于a，即
而函数y
=
f(
u
)在点
a处有定义，且那么复合函数
f[(
x
)]当
x
→
x
0
时的极限也存在，且等于
f(
a
)，即
由函数连续性的定义容易看出，将定理中的
a
换成(
x
0
)便可得复合函数的连续性命题的相应结果。(3)
复合函数的连续性复合函数取极限定理定理
5复合函数连续性定理设函数
u
=
(
x
)在
x
=
x
0连续，且
(
x
0
)=
u
0，而函数
y
=
f(
u
)在
u
=
u
0连续，那么复合函数
y=f[(
x
)]在
x
=
x
0也连续。连续例：讨论函数的连续性。函数y
=
sin
1/x可看成是由函数y
=
sinu及
u
=
1/x复合而成的。函数y
=
sin
u
当
u(-,+
)时是连续的,函数u
=
1/x当
x(-,
0
)∪(
0,+
)时是连续的。由定理5，函数y
=
sin
1/x在
x(-,
0
)∪(
0,+
)内连续。解通过复合函数的连续性质进行考察三．初等函数的连续性(1)
三角函数的连续性由于已直接根据定义讨论了三角函数
sin
x
,cos
x在其定义域(
-
,+
)内的连续性，因此由连续函数的四则运算性质可得其它几个三角函数
tan
x
,cot
x
,sec
x
,csc
x在各自定义域内的连续性。于是可知，三角函数在其定义域内都是连续的。1.基本初等函数在其定义域内的连续性(2)
反三角函数的连续性由三角函数的连续性及直接函数与其反函数的连续性的关系知，反三角函数arcsin
x
,arccos
x
,arctan
x
,arccot
x
,arcsec
x
,arccsc
x在其定义域内都是连续的。对于指数函数y
=
a
x,a
>
0
,a
1,x
(
-
,+
)，由
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