平面力系的合成与平衡

平面力系的合成与平衡第1页/共25页1、平面任意力系

(1)定义：力系中各力的作用线在同一平面内，且任意分布，该力系称为平面任意力系。

§3–1平面汇交力系合成与平衡的概念第2页/共25页

空间汇交力系空间一般力系空间平行力系第3页/共25页

（2）特点：

1）力的大小方向任意；

2）力的作用点(包括起点和终点）都在同一平面内，即力的作用线在同一平面内。2、工程实例

严格的讲，实际工程中，受上述平面任意力系作用的物体并不多见。只是在求解许多工程问题时，可以把所研究的问题加以简化，按物体受平面任意力系作用来处理。如建筑物中的楼板是放置在梁上的，对梁来说，楼板上的面荷载可以转化为线荷载作用在梁的对称平面内，梁所受的约束反力也可看成作用在此平面内，故梁上作用的力系自然为平面力系。并且这种简化处理能与实际情况足够接近。

例如：楼面活荷载的转化。第4页/共25页

平面平行力系

简化说明：楼面活荷载P（单位N/m)

乘以作用面宽度a（单位m）即成为线荷载

q（单位N/m），作用在梁平面内。2

第5页/共25页（一）共力点的合成

在第一章已经介绍了利用平行四边形法则求两个力的合力。当要求多个共力点的合力，也可以此为基础进行求解。如下图所示，力F1、F2、F3、F4组成交汇于O点的力系。取定比例尺，由力矢长度表示各力的大小，作出力的多边形如图所示。封闭边AE就确定了他们的合力F。

1、解析法AF2F1F4F3RF1BF2CF3DF4EAR

第6页/共25页表达式：F1、F2、F3、F4

为平面汇交力系：力的多边形规则：

把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。矢量的表达式：第7页/共25页A60ºPB30ºaaC(a)NA

BACD60ºNB30ºPEPNBNA60º30ºHK(c)解：(1)取梁AB作为研究对象。(4)解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN(2)画出受力图。(3)应用平衡条件画出P、NA和NB的闭合力三角形。

例题1

水平梁AB中点C作用着力P，其大小等于20kN，方向与梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的反力。梁的自重不计。第8页/共25页几何法解题步骤：1.取研究对象；2.画受力图；

3.作力多边形；4.选比例尺；

5.解出未知数。几何法解题不足：1.精度不够，误差大；

2.作图要求精度高；

3.不能表达各个量之间的函数关系。平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：解析法。

第9页/共25页1)、力在坐标轴上的投影：结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间夹角的余弦。yb´a´abFOxBFxFy已知合力求分力公式注意：力的投影是代数量！2、解析法第10页/共25页

合力R在x轴上投影：F1F2RF3xABCD(b)

推广到任意多个力F1、F2、Fn

组成的平面汇交力系，可得：abcd1)、各力在X轴上的投影：第11页/共25页合力的大小合力的方向根据合力投影定理得合力作用点：为该力系的汇交点第12页/共25页

A点的力平行移动至B点时，必须附加一个相应的力偶，这样才与原P力对物体作用的效应相等。FFF’F”FF’M=FhF’=F’’=F（二）平面任意力系向作用面内任一点简化第13页/共25页

力的平移定理：作用于刚体上的力可以平行移动至刚体内任意一点，欲不改变它对刚体的作用效应，则必须附加一个相应的力偶，此力偶矩等于原力F对新的作用点之矩。FhF’M第14页/共25页=

应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O

。从而这力系被分解为平面汇交力系和平面力偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O的简化。点O称为简化中心。（1）、力系向给定点O的简化、简化中心F1F3F2F’1F’2F’3平面一般力系F1、F2…Fn

平面汇交力系F1’、F2’…Fn平面力偶系:M1、M2…Mn

F1’=F1F2’=F2Fn’=Fn

简化中心0R0

合成合成第15页/共25页(1)主矢R0

汇交力系F1’、F2’…Fn’的合成结果为一作用点在点O的力R0,这个力矢R0称为原平面任意力系的主矢。2、主矢和主矩R0的大小与方向由原力系各力的矢量和决定，可用力多边形法则的图解法求解，或用数解法求出。

主矢是原力系的合力?第16页/共25页用数解法时，先计算R0在x轴和y轴上的投影：

(1)主矢R0第17页/共25页附加力偶系M1、M2…Mn的合成结果是作用在同平面内的合力偶，该力偶的矩用MO代表，称为原平面任意力系对简化中心O

的主矩。(2)主矩M0主矩M0等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。第18页/共25页

主矢R0与主矩

M0合成的结果得到原力系的合力R

。

(3)合力R

合力R的大小、方向与主矢R0相同，作用线距简化中心的垂直距离为：MOOO

AO

A第19页/共25页主矢和合力是两个不同的概念合力是作用在同一点上的各力的矢量和，主矢可以是作用点不同的各力之矢量和。主矢只有大小和方向，没有作用点。第20页/共25页3、平面任意力系对简化中心O的简化结果主矩：主矢：

汇交力系之合力RO

(主矢)，(作用在简化中心)

力偶系之合力偶MO(主矩)，(作用在该平面上)（1）主矢的大小与方向取决于原力系中各力的大小和方向，与简化中心0的位置无关；（2）主矩与简化中心0的位置有关。因此，必须指明对哪一点的主矩。主矢和主矩是决定平面力系对刚体作用效应的两个物理量。第21页/共25页第22页/共25页=平面一般力系简化结果的讨论

（1）

简化为一个合力偶M0，则原力系无合力，而只有合力偶矩。此时主矩与简化中心的位置无关。（2）力系简化成为过简化中心的一个合力。?

若另选一适当点作为简化中心，力系能否简化为一力偶？不能