沪科版九年级上册数学单元测试题全套(含答案)

沪科版九年级上册数学单元测试题全套（含答案）（含期中期末试题，共6套）第21章测试题（含答案）(考试时间：120分钟满分：150分)姓名：______班级：______分数：______一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1．二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是(B)A．(1，8)B．(－1，8)C．(－1，2)D．(1，－4)2．若p＋q＝0，则抛物线y＝x2＋px＋q必过点(D)A．(－1，1)B．(1，－1)C．(－1，－1)D．(1，1)3．已知点(3，y1)，(4，y2)，(5，y3)在函数y＝2x2＋8x＋7的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(D)A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y14．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为y＝－eq\f(1,25)x2.当水面宽度AB为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于 (B)A．2m B．4m C．10m D．16m5．根据下列表格中的对应值，得到二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点的横坐标x的范围是(C)x3.233.243.253.26y－0.06－0.020.030.09A.x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.266．已知一个矩形的面积为24cm2，其长为ycm，宽为xcm，则y与x之间的函数关系图象大致是(D)7．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则不等式x2－x－2＜0的解集是 (C)A．x＜－1B．x＞2C．－1＜x＜2D．x＜－1或x＞28．二次函数y＝x2＋4x＋3的图象可以由二次函数y＝x2的图象平移而得到，下列平移正确的是 (B)A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位9．如图，过反比例函数y＝eq\f(2,x)(x>0)的图象上任意两点A，B分别作x轴的垂线，垂足为A′，B′，连接OA，OB，设AA′与OB的交点为P，△AOP与梯形PA′B′B的面积分别为S1，S2，则 (B)A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1<S2 D．不确定第9题图第10题图10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＞0；③8a＋c＞0；④9a＋3b＋c＜0，其中正确结论的个数是 (D)A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．已知函数y＝(m－1)xm2＋1＋3x，当m＝－1时，它是二次函数．12．已知抛物线y＝2x2＋mx－6与x轴相交时两交点间的线段长为4，则m的值是±4.13．反比例函数y＝eq\f(k,x)图象上一点P(a，b)，且a，b是方程m2－4m＋3＝0的两个根，则k＝3.14．★在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P(1，t)在反比例函数y＝eq\f(2,x)的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP＝OP，若反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象经过点Q，则k＝2＋2eq\r(5)或2－2eq\r(5).三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．求证：m取任何实数时，抛物线y＝2x2－(m＋5)x＋(m＋1)的图象与x轴必有两个交点．证明：令y＝0，则2x2－(m＋5)x＋(m＋1)＝0，∵Δ＝[－(m＋5)]2－8(m＋1)＝(m＋1)2＋16＞0，∴m取任何实数时，抛物线y＝2x2－(m＋5)x＋(m＋1)的图象与x轴必有两个交点．16．如图，已知点A是反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象上一点，AB⊥y轴于点B，连接AO，△ABO的面积为3.(1)求k的值；(2)若AB＝2，求点A的坐标．解：(1)由题意得S△ABO＝eq\f(1,2)|k|＝3，∴|k|＝6.∵反比例函数的图象位于第一象限，∴k>0，∴k＝6.(2)∵AB＝2，∴xA＝2，yA＝eq\f(6,2)＝3，∴点A的坐标为(2，3)．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．求满足下列条件的对应的函数的关系式．(1)抛物线经过(4，0)，(0，－4)，和(－2，3)三点；(2)已知二次函数的图象经过点(0，－3)，且顶点坐标为(1，－4)．解：(1)设抛物线表达式为y＝ax2＋bx＋c，将(4，0)，(0，－4)，(－2，3)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16a＋4b＋c＝0，,c＝－4，,4a－2b＋c＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,4)，,b＝－2，,c＝－4，))则抛物线表达式为y＝eq\f(3,4)x2－2x－4.(2)设抛物线表达式为y＝a(x－1)2－4，将(0，－3)代入得－3＝a－4，即a＝1，则抛物线表达式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.18．如图所示，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝－eq\f(8,x)的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：(1)一次函数的关系式；(2)△AOB的面积．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＝－2，y2＝－2，把x1＝y2＝－2分别代入y＝eq\f(－8,x)得y1＝x2＝4，∴A(－2，4)，B(4，－2)．把A(－2，4)和B(4，－2)分别代入y＝kx＋b得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝－2k＋b，,－2＝4k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝2，))∴一次函数的关系式为y＝－x＋2.(2)∵y＝－x＋2与y轴交点为C(0，2)，∴OC＝2，∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝eq\f(1,2)×OC×|x1|＋eq\f(1,2)×OC×|x2|＝eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2×4＝6.即△AOB的面积为6.五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45元)，那么每星期少卖10件．设每件涨价x元(x为非负整数)，每星期的销量为y件．(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；(2)如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？解：(1)由题意，得y＝150－10x，0≤x≤5且x为非负整数．(2)设每星期的利润为w元，则w＝(40＋x－30)y＝(x＋10)(150－10x)＝－10(x－2.5)2＋1562.5∵x为非负整数，∴当x＝2或3时，利润最大为1560元，又∵销量较大，∴x＝2，即当售价为42元时，每周的利润最大且销量较大，最大利润为1560元．答：当售价为42元时，每星期的利润最大且每星期销量较大，每星期的最大利润为1560元．20．如图，函数y1＝k1x＋b的图象与函数y2＝eq\f(k2,x)(x＞0)的图象交于点A(2，1)，B，与y轴交于点C(0，3)．(1)求函数y1的表达式和点B的坐标；(2)观察图象，指出当x取何值时y1＜y2.(在x＞0的范围内)解：(1)∵函数y1＝k1x＋b的图象与函数y2＝eq\f(k2,x)(x＞0)的图象交于点A(2，1)，∴eq\f(k2,2)＝1，解得k2＝2，∴反比例函数表达式为y2＝eq\f(2,x)，∵函数y1＝k1x＋b经过点A(2，1)，C(0，3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝1，,b＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝3，))∴y1＝－x＋3，两表达式联立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋3，,y＝\f(2,x)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,y1＝2，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝2，,y2＝1，))∴点B的坐标为(1，2)．(2)根据图象，当0＜x＜1或x＞2时，y1＜y2.六、(本题满分12分)21．二次函数y＝eq\f(1,4)x2－eq\f(5,2)x＋6的图象与x轴从左到右两个交点依次为A，B，与y轴交于点C.(1)求A，B，C三点的坐标；(2)如果P(x，y)是线段BC之间的动点，O为坐标原点，试求△POA的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)在(2)的条件下，是否存在这样的点P，使得PO＝PA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)A(4，0)，B(6，0)，C(0，6)．(2)设一次函数的表达式为y＝kx＋b；将B(6，0)，C(0，6)代入上式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6k＋b＝0，,b＝6，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝6，))∴y＝－x＋6.根据题意得S△POA＝eq\f(1,2)×4×y＝－2x＋12，∴0≤x＜6.(3)存在，理由：∵|OB|＝|OC|，∠COB＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形．作AO的中垂线交CB于P，根据垂直平分线的性质得出PO＝PA，而OA＝4，∴P点横坐标为2，代入直线BC表达式即可，∴y＝－x＋6＝－2＋6＝4，∴P点坐标为(2，4)，∴存在这样的点P(2，4)，使得OP＝AP.七、(本题满分12分)22．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2.(1)求S与x的函数关系式；(2)如果要围成面积为45米2的花圃，那么AB的长是多少米？(3)能围成面积比45米2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．解：(1)由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为(24－3x)米，∴S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x.(2)当S＝45时，－3x2＋24x＝45，∴x2－8x＋15＝0，解得x1＝5，x2＝3，∵0＜24－3x≤10得eq\f(14,3)≤x＜8，∴x＝3不合题意，舍去，∴要围成面积为45米2的花圃，AB的长为5米．(3)S＝－3x2＋24x＝－3(x2－8x)＝－3(x－4)2＋48eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,3)≤x＜8))，∴当x＝eq\f(14,3)时，S有最大值48－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,3)－4))eq\s\up12(2)＝46eq\f(2,3).∴能围成面积比45米2更大的花圃．围法：花圃的长为10米，宽为4eq\f(2,3)米，这时有最大面积46eq\f(2,3)米2.八、(本题满分14分)23．已知抛物线y＝x2＋(2n－1)x＋n2－1(n为常数)．(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C.①当BC＝1时，求矩形ABCD的周长；②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标．如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知条件，得n2－1＝0，解这个方程，得n1＝1，n2＝－1，当n＝1时，得y＝x2＋x，此抛物线的顶点不在第四象限．当n＝－1时，得y＝x2－3x，此抛物线的顶点在第四象限．∴所求的函数关系式为y＝x2－3x.(2)由y＝x2－3x，令y＝0，得x2－3x＝0，解得x1＝0，x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)，∴它的顶点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(9,4)))，对称轴为直线x＝eq\f(3,2)，其大致位置如图所示，①∵BC＝1，易知OB＝eq\f(1,2)×(3－1)＝1.∴B(1，0)，∴点A的横坐标x＝1，又点A在抛物线y＝x2－3x上，∴点A的纵坐标y＝12－3×1＝－2.∴AB＝|y|＝|－2|＝2.∴矩形ABCD的周长为2(AB＋BC)＝2×(2＋1)＝6.②∵点A在抛物线y＝x2－3x上，故可设A点的坐标为(x，x2－3x)，∴B点的坐标为(x，0).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(3,2)))，∴BC＝3－2x，A在x轴下方，∴x2－3x＜0，∴AB＝|x2－3x|＝3x－x2，∴矩形ABCD的周长：C＝2[(3x－x2)＋(3－2x)]＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(13,2)，∵a＝－2＜0，抛物线开口向下，二次函数有最大值，∴当x＝eq\f(1,2)时，矩形ABCD的周长C最大值为eq\f(13,2).此时点A的坐标为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(5,4))).沪科版九年级数学上册第22章测试题（含答案）(考试时间：120分钟满分：150分)姓名：______班级：______分数：______一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1．观察下列每组图形，相似图形是 (C)2．已知eq\f(x,y)＝eq\f(3,5)，那么下列等式中，不一定正确的是(B)A．5x＝3yB．x＋y＝8C.eq\f(x＋y,y)＝eq\f(8,5)D.eq\f(x,y)＝eq\f(x＋3,y＋5)3．已知△ABC∽△DEF，其相似比为1∶4，则它们的面积比是 (D)A．1∶2 B．1∶4C．1∶6 D．1∶164．根据有关测定，当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适(人体正常体温约为37℃)，这个气温大约为 (A)A．23℃B．28℃C．30℃D．37℃5．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A，D，F和点B，C，E，如果AD∶DF＝3∶1，BE＝10，那么CE等于 (C)A.eq\f(10,3)B.eq\f(20,3)C.eq\f(5,2)D.eq\f(15,2)第5题图第6题图第7题图6．如图，在正△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,3)，E是AB的中点，则有 (B)A．△AED∽△BEDB．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD7．如图，△OE′F′与△OEF关于原点O位似，相似比为1∶2，已知E(－4，2)，F(－1，－1)，则点E的对应点E′的坐标为 (C)A．(2，1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))C．(2，－1) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))8．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是 (A)A.eq\f(AE,AB)＝eq\f(CF,CD)B.eq\f(AE,EB)＝eq\f(DF,FC) C.eq\f(EG,BD)＝eq\f(FG,AC)D.eq\f(AE,AG)＝eq\f(AD,AB)第8题图第9题图第10题图9．据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高．山去五十三里，木高九丈五尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平．人目高七尺．问山高几何？”译文如下：如图，今有山AB位于树的西面．山高AB为未知数，山与树相距53里，树高CD为9丈5尺，人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，人眼离地7尺，则山AB的高为(保留到整数，1丈＝10尺) (D)A．162丈B．163丈C．164丈D．165丈10．如图，在△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，MN，则下列结论：①PM＝PN；②eq\f(AM,AB)＝eq\f(AN,AC)；③若∠ABC＝60°，则△PMN为等边三角形；④若∠ABC＝45°，则BN＝eq\r(2)PC.其中正确的(B)A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．在比例尺为1∶25000000的地图上，2cm所表示的实际长度是500千米．12．小明用这样的方法来测量某建筑物的高度：如图，在地面上放一面镜子，调整位置，直至刚好能从镜子中看到建筑物的顶端．如果此时小明与镜子的距离是2m，镜子与建筑物的距离是20m．他的眼睛距地面1.5m，那么该建筑物的高是15m.第12题图第13题图第14题图13．★如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，BC分别与AD，AE相交于点F，G，则图中共有4对相似三角形．14．★在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，将△ABC的一角沿着MN折叠，点B落在AC上的点D处，如图，若△ABC与△DMC相似，则BM的长度为eq\f(3,2)或eq\f(12,7).三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α，x的值．解：(1)如图中，∵△ABC∽△A′B′C′，∴eq\f(x,18)＝eq\f(m,2m)，α＝40°，∴x＝9.(2)如图中，∠D＝180°－65°－70°＝45°，∵△ABO∽△CDO，∴α＝∠D＝45°.∴eq\f(AO,OC)＝eq\f(AB,CD)，即eq\f(3,5)＝eq\f(x,m)，∴x＝eq\f(3,5)m.16．如图，△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A(1，1)，B(3，3)，C(3，0)．(1)根据题意，请你在图中画出△ABC；(2)以B为位似中心，在如图的格子中画出一个与△ABC相似的△BA′C′，且△BA′C′与△BAC相似比是2∶1，并分别写出顶点A′和C′的坐标．解：(1)如图，△ABC为所作．(2)顶点A′的坐标为(－1，－1)，C′的坐标为(3，－3)．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图，P为△ABC边BC上的中线AD上的一点，且BD2＝PD·AD，求证：△ADC∽△CDP.证明：∵AD是△ABC边BC上的中线，∴BD＝CD，∴CD2＝PD·AD，即eq\f(CD,PD)＝eq\f(AD,CD)，又∠CDP＝∠ADC，∴△ADC∽△CDP.18．如图，为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到了一点C，使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E，使DE⊥AC，测出AD＝30m，DC＝25m，DE＝30m，那么你能算出池塘的宽AB吗？解：由题意可得：AB∥DE，则△DCE∽△ACB，故eq\f(CD,AC)＝eq\f(DE,AB)，∵AD＝30m，DC＝25m，DE＝30m，∴eq\f(25,55)＝eq\f(30,AB)，解得AB＝66.答：池塘的宽AB为66m.五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，点A在反比例函数y＝eq\f(1,x)(x＞0)的图象上，点B在反比例函数y＝－eq\f(4,x)(x＜0)的图象上，求eq\f(OA,OB)的值．解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D.易证△OCA∽△BDO.∵点A在反比例函数y＝eq\f(1,x)(x＞0)的图象上，点B在反比例函数y＝－eq\f(4,x)(x＜0)的图象上，∴S△AOC∶S△OBD＝eq\f(1,2)∶2＝1∶4，∴eq\f(OA,OB)＝eq\f(1,2).20．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD2＝BC·BE.(1)求证：△BCD∽△BDE；(2)如果BC＝10，AD＝6，求AE的值．(1)证明：∵BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，∴∠BDC＝90°，∠BED＝90°，∵BD2＝BC·BE，∴eq\f(BC,BD)＝eq\f(BD,BE)，∴△BCD∽△BDE.(2)解：易证△BDE∽△BAD，∴BD2＝BE·BA，∵BD2＝BC·BE，∴BA＝BC＝10，易证△ADE∽△ABD，∴AD2＝AE·AB，∴AE＝eq\f(62,10)＝3.6.六、(本题满分12分)21．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B.当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB.(1)求两个路灯之间的距离；(2)当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？题图答图解：(1)如题图，∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，eq\f(AP,AB)＝eq\f(PM,BD)，即eq\f(AP,AB)＝eq\f(1.6,9.6)，∴AP＝eq\f(1,6)AB，同理可得BQ＝eq\f(1,6)AB，而AP＋PQ＋BQ＝AB，∴eq\f(1,6)AB＋12＋eq\f(1,6)AB＝AB，∴AB＝18.答：两路灯的距离为18m.(2)如答图，他在路灯A下的影子为BN，∵BM∥AC，∴△NBM∽△NAC，∴eq\f(BN,AN)＝eq\f(BM,AC)，即eq\f(BN,BN＋18)＝eq\f(1.6,9.6)，解得BN＝3.6m.答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m.七、(本题满分12分)22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发沿AB方向向终点点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动，速度为2cm/s.如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？解：设t秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，则PB＝(6－t)cm，BQ＝2tcm，∵∠B＝90°，∴分两种情况：①当eq\f(PB,AB)＝eq\f(BQ,BC)时，即eq\f(6－t,6)＝eq\f(2t,8)，解得t＝2.4；②当eq\f(PB,BC)＝eq\f(BQ,AB)时，即eq\f(6－t,8)＝eq\f(2t,6)，解得t＝eq\f(18,11)；综上所述，2.4秒或eq\f(18,11)秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似．八、(本题满分14分)23．在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．猜想：如图①，点D在BC边上，BD∶BC＝2∶3，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，则eq\f(AP,PD)的值为______．探究：如图②，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD∶BC＝1∶2，求eq\f(AP,PD)的值．应用：在探究的条件下，若CD＝2，AC＝6，则BP＝______．解：猜想：如图①，∵BE是AC边上的中线，∴AE＝CE，∵AF∥BC，∴eq\f(AF,BC)＝eq\f(AE,CE)＝eq\f(EF,BE)＝1，∵BD∶BC＝2∶3，∴BD∶AF＝2∶3，∵AF∥BD，∴△APF∽△DPB，∴eq\f(AP,PD)＝eq\f(AF,BD)＝eq\f(3,2)；探究：过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，如图②，设DC＝k，则BC＝2k，∵AF∥BC，∴eq\f(AF,BC)＝eq\f(AE,CE)＝1，即AF＝BC＝2k，∵AF∥BD，∴△APF∽△DPB，∴eq\f(AP,PD)＝eq\f(AF,BD)＝eq\f(2k,3k)＝eq\f(2,3)；应用：CE＝eq\f(1,2)AC＝3，BC＝2CD＝4，在Rt△BCE中，BE＝eq\r(32＋42)＝5，∴BF＝2BE＝10，∵AF∥BD，∴△APF∽△DPB，∴eq\f(PF,BP)＝eq\f(AP,PD)＝eq\f(2,3)，∴BP＝eq\f(3,5)BF＝eq\f(3,5)×10＝6.沪科版九年级数学上册期中测试题（含答案）(考试时间：120分钟满分：150分)姓名：______班级：______分数：______一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1．二次函数y＝－2(x＋1)2＋5的顶点坐标是(D)A．－1B．5C．(1，5)D．(－1，5)2．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是(A)A．y＝a(1＋x)2B．y＝a(1－x)2C．y＝(1－x)2＋aD．y＝x2＋a3．若△ABC∽△DEF，相似比为9∶4，则△ABC与△DEF对应中线的比为(A)A．9∶4B．4∶9C．81∶16D．3∶24．在同一时刻，身高1.6m的小强，在太阳光线下影长是1.2m，旗杆的影长是6m，则旗杆高为(C)A．4.5mB．6mC．8mD．9m5．已知点A(－3，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y＝eq\f(4,x)的图象上，则(D)A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y36．下面四组图形中，必是相似三角形的为(D)A．两个直角三角形B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形C．有一个角为40°的两个等腰三角形D．有一个角为100°的两个等腰三角形7．在平面直角坐标系中，点P(1，－2)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P对应点的坐标为(B)A．(2，－4)B．(2，－4)或(－2，4)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))8．抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝ax＋c(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(D)9．已知：正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝eq\f(k2,x)(x＞0)的图象交于点M(a，1)，MN⊥x轴于点N(如图)，若△OMN的面积等于2，则(A)A．k1＝eq\f(1,4)，k2＝4B．k1＝4，k2＝eq\f(1,4)C．k1＝eq\f(1,4)，k2＝－4D．k1＝－eq\f(1,4)，k2＝4第9题图第10题图第13题图10．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③m为任意实数，则a＋b＞am2＋bm；④a－b＋c＞0；⑤若axeq\o\al(2,1)＋bx1＝axeq\o\al(2,2)＋bx2，且x1≠x2，则x1＋x2＝2.其中正确的有 (C)A．①②③ B．②④C．②⑤ D．②③⑤二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．若y＝(m－1)xm2＋2m－1是二次函数，则m的值是－3.12．反比例函数y＝eq\f(k,x)图象上的一点到x轴距离为2，到y轴距离为3，且当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的值是－6.13．★如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝3相交于点A，B，与y轴交于点C(0，－1)，若∠ACB为直角，则当ax2＋c＜0时，自变量x的取值范围是－2＜x＜2.14．在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，D为AC上一点，其中DC＝eq\f(2,3)AC，在AB上取一点E得△ADE，若△ABC与△ADE相似，则DE＝6或8.三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．已知：a∶b∶c＝2∶3∶5，求代数式eq\f(3a－b＋c,2a＋3b－c)的值．解：∵a∶b∶c＝2∶3∶5，∴设a＝2k，b＝3k，c＝5k(k≠0)，则eq\f(3a－b＋c,2a＋3b－c)＝eq\f(6k－3k＋5k,4k＋9k－5k)＝1.16.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(1，5)，B(－1，9)，C(0，8)．求这个二次函数的表达式，开口方向，对称轴和顶点坐标．解：由题意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝5，,a－b＋c＝9，,c＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，,c＝8，))∴二次函数表达式为y＝－x2－2x＋8，∵y＝－x2－2x＋8＝－(x＋1)2＋9，∴这个二次函数的抛物线开口向下，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1，9)．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．在如图所示的网格中，已知△ABC和点M(1，2)．(1)以点M为位似中心把三角形放大，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．(2)△A′B′C′的各顶点坐标分别为A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)．18．某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．(1)求这个函数的表达式；(2)当气球内的气压大于150kPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气体的体积应至少是多少？解：(1)设p＝eq\f(k,V)，将A(0.5，120)代入求出k＝60，∴p＝eq\f(60,V).(2)当p＞150kPa时，气球将爆炸，∴p≤150，即p＝eq\f(60,V)≤150，解得V≥eq\f(60,150)＝0.4.故为了安全起见，气体的体积应不小于0.4m3.五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．某数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽．测量时，他们选择了河对岸的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E，C，A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝7m(测量示意图如图所示)．请根据相关测量信息，求河宽AB的长．解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠ABC＝∠ADE.又∵∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE，∴eq\f(BC,DE)＝eq\f(AB,AD)，∴eq\f(1,1.5)＝eq\f(AB,AB＋7)，解得AB＝14m，经检验：AB＝14是分式方程的解．答：河宽AB的长为14米．20．如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数y2＝eq\f(6,x)的图象交于A(m，3)，B(－3，n)两点．(1)求一次函数的表达式；(2)观察函数图象，直接写出关于x的不等式eq\f(6,x)＞kx＋b的解集．解：(1)∵A(m，3)，B(－3，n)两点在反比例函数y2＝eq\f(6,x)的图象上，∴m＝2，n＝－2.∴A(2，3)，B(－3，－2)．根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝3，,－3k＋b＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝1，))∴一次函数的表达式是y1＝x＋1.(2)根据图象得0＜x＜2或x＜－3.六、(本题满分12分)21．已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB上，且BD2＝BE·BC.(1)求证：∠BDE＝∠C；(2)求证：AD2＝AE·AB.证明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD2＝BE·BC，∴eq\f(BD,BE)＝eq\f(BC,BD)，∴△EBD∽△DBC，∴∠BDE＝∠C.(2)∵∠BDE＝∠C，∠DBC＋∠C＝∠BDE＋∠ADE，∴∠DBC＝∠ADE，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADE，∴△ADE∽△ABD，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AD)，即AD2＝AE·AB.七、(本题满分12分)22．某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天(1≤x≤30且x为整数)的销量为y件．(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)在这30天内，哪一天的利润是6300元？(3)设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．解：(1)由题意可知y＝5x＋30.(2)根据题意可得(130－x－60－4)(5x＋30)＝6300，即x2－60x＋864＝0，解得x＝24或36(舍)，∴在这30天内，第24天的利润是6300元．(3)根据题意可得w＝(130－x－60－4)(5x＋30)＝－5x2＋300x＋1980＝－5(x－30)2＋6480，∵a＝－5＜0，∴函数有最大值，∴当x＝30时，w有最大值为6480元，∴第30天的利润最大，最大利润是6480元．八、(本题满分14分)23．如图甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为B，D，P，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．(1)求证：AB·CD＝PB·PD；(2)如图乙也是一个“三垂图”，上述结论还成立吗？请说明理由；(3)已知抛物线交x轴于A(－1，0)，B(3，0)两点，交y轴于点(0，－3)，顶点为P，如图丙所示，若Q是抛物线上异于A，B，P的点，设AQ与y轴相交于D，且∠QAP＝90°，利用上述结论求Q点坐标．(1)证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∴∠A＋∠APB＝90°，∵AP⊥PC，∴∠APB＋∠CPD＝90°，∴∠A＝∠CPD，∴△ABP∽△PDC，∴eq\f(AB,PD)＝eq\f(PB,CD)，∴AB·CD＝PB·PD.(2)解：AB·CD＝PB·PD仍然成立．理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠CDP＝90°，∴∠A＋∠APB＝90°，∵AP⊥PC，∴∠APB＋∠CPD＝90°，∴∠A＝∠CPD，∴△ABP∽△PDC，∴eq\f(AB,PD)＝eq\f(PB,CD)，∴AB·CD＝PB·PD.(3)解：设抛物线表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝0，,9a＋3b＋c＝0，,c＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，,c＝－3，))∴y＝x2－2x－3，∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点P的坐标为(1，－4)，过点P作PC⊥x轴于C，∵AQ与y轴相交于D，∴AO＝1，AC＝1＋1＝2，PC＝4，由(2)得，AO·AC＝OD·PC，∴1×2＝OD·4，解得OD＝eq\f(1,2)，∴点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，设直线AD的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k＋b＝0，,b＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝\f(1,2)，))∴y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋\f(1,2)，,y＝x2－2x－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(7,2)，,y1＝\f(9,4)，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝－1，,y2＝0.))(与A重合，舍去)∴点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，\f(9,4))).沪科版九年级数学上册第23章测试题（含答案）(考试时间：120分钟满分：150分)姓名：______班级：______分数：______一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1．计算：2sin30°＝(A)A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝eq\f(3,5)，则sinA的值是(B)A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,3)D.eq\f(5,4)3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB的长为(A)A.eq\f(m,cosα)B．m·cosαC．m·sinαD．m·tanα4．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1∶eq\r(3)，坝外斜坡的坡度i＝1∶1，则两个坡角的和为(C)A．90°B．60°C．75°D．105°5．如图，要测量小河两岸相对的A，B两点之间的距离，可以在小河边取AB的垂线BC上的一点D，若测得BD＝60米，∠ADB＝40°，则AB等于(A)A．60tan40°米B．60tan50°米C．60sin40°米D．60sin50°米第5题图第6题图第8题图6．如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A(2，3)，那么OA与x轴正半轴的夹角α的余弦值是(D)A.eq\f(3,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3\r(13),13)D.eq\f(2\r(13),13)7．在△ABC中，cosB＝sin(∠B－30°)＝sin(90°－∠A)，那么△ABC是 (B)A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形8．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离(即OB的长)为(C)A．4eq\r(3)kmB．(eq\r(3)＋1)kmC．2(eq\r(3)＋1)kmD．(eq\r(3)＋2)km9．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值等于(C)A.eq\f(3,5)B.eq\f(\r(7),4)C.eq\f(4,5)或eq\f(\r(7),4)D.eq\f(4,5)或eq\f(2\r(7),7)10．★如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为AC上一点，连接DE，并过点D作FD⊥ED，垂足为D，交BC于点F.若AC＝BC＝14，AE∶EC＝4∶3，则tan∠EFC的值为(D)A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,4)第10题图第13题图第14题图二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．已知：tanα＝eq\f(\r(3),3)，则锐角α＝30°.12．比较大小：cos35°＜sin65°.13．如图，河流两岸a，b互相平行，点A，B是河岸a上的两座建筑物，点C，D是河岸b上的两点，A，B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为100米．14．★如图，点D在钝角△ABC的边BC上，连接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，CA∶CB＝5∶7，则∠BAD的余弦值为eq\f(2\r(5),5).三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．计算：(1)cos245°＋sin60°·tan30°－tan30°；解：原式＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),3)＝1－eq\f(\r(3),3).(2)eq\f(sin60°＋tan45°,cos30°－2sin30°).解：原式＝eq\f(\f(\r(3),2)＋1,\f(\r(3),2)－1)＝－7－4eq\r(3).16.在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)已知∠A＝60°，b＝10eq\r(3)，求a，c；(2)已知c＝2eq\r(3)，b＝3，求a，∠A.解：(1)a＝btan60°＝30；c＝eq\f(b,cos60°)＝20eq\r(3).(2)a＝eq\r(c2－b2)＝eq\r(3).∵sinA＝eq\f(a,c)＝eq\f(1,2)，∴∠A＝30°.四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝3eq\r(2)，AD⊥BC于D，求CD.解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADB中，∵∠B＝45°，∴AD＝BD＝ABsinB＝3.在Rt△ADC中，∵∠C＝60°，∴CD＝eq\f(AD,tanC)＝eq\r(3).18．某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB长为10m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改造后的斜坡AC的长度．(结果精确到0.01，参考数据：sin9°≈0.156，cos9°≈0.988，tan9°≈0.158)解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，∴AD＝ABsin∠ABD＝10×sin30°＝5(m)，在Rt△ACD中，∠ACD＝9°，sin9°＝eq\f(AD,AC)，∴AC＝eq\f(5,sin9°)＝eq\f(5,0.156)≈32.05(m)，答：改造后的斜坡AC的长度为32.05米．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为α和β，矩形建筑物宽度AD＝20m，高度DC＝33m.(1)试用α和β的三角比表示线段CG的长；(2)如果α＝48°，β＝65°，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG的值．(结果精确到1m，参考数据：sin48°＝0.7，cos48°＝0.7，tan48°＝1.1，sin65°＝0.9，cos65°＝0.4，tan65°＝2.1)解：(1)过D作DE⊥FG于E，设CG＝xm，由图可知EF＝(x＋20)·tanα，FG＝x·tanβ，则(x＋20)tanα＋33＝xtanβ，解得x＝eq\f(33＋20tanα,tanβ－tanα).∴CG＝eq\f(33＋20tanα,tanβ－tanα)m.(2)x＝eq\f(33＋20tanα,tanβ－tanα)＝eq\f(33＋20×1.1,2.1－1.1)＝55，则FG＝x·tanβ＝55×2.1＝115.5≈116.答：该信号发射塔顶端到地面的高度FG约是116m.20．如图，一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上，之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(参考数据：sin21.3°≈\f(9,25)，tan21.3°≈\f(2,5)，sin63.5°≈\f(9,10)，tan63.5°≈2))解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到Rt△ACD与Rt△BCD.设CD＝x海里，在Rt△BCD中，tan∠CBD＝eq\f(CD,BD)，∴BD＝eq\f(x,tan63.5°)，在Rt△ACD中，tanA＝eq\f(CD,AD)，∴AD＝eq\f(x,tan21.3°)，∴AD－BD＝AB，即eq\f(x,tan21.3°)－eq\f(x,tan63.5°)＝60，解得x＝30.BD＝eq\f(30,tan63.5°)＝15.答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近．六、(本题满分12分)21．某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图①的滑板车或图②的自行车，已知前后车轮半径相同，AD＝BD＝DE＝30cm，CE＝40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC＝53°，图①中B，E，C三点共线，图②中的座板DE与地面保持平行．问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC的长度；若变化，请求出变化量．(参考数据：sin53°≈eq\f(4,5)，cos53°≈eq\f(3,5)，tan53°≈eq\f(4,5))解：如图①，过点D作DF⊥BE于点F，由题意知BD＝DE＝30cm，∴BF＝BDcos∠ABC＝30×eq\f(3,5)＝18(cm)，∴BE＝2BF＝36cm，则BC＝BE＋CE＝76cm，如图②，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC于点N，由题意知四边形DENM是矩形，∴MN＝DE＝30cm，在Rt△DBM中，BM＝BDcos∠ABC＝30×eq\f(3,5)＝18(cm)，EN＝DM＝BDsin∠ABC＝30×eq\f(4,5)＝24(cm)，在Rt△CEN中，∵CE＝40cm，∴由勾股定理可得CN＝32cm，则BC＝18＋30＋32＝80cm，80－76＝4cm.答：BC的长度发生了改变，增加了4cm.七、(本题满分12分)22．如图，在△ABC中，∠A＝90°，sinB＝eq\f(3,5)，点D在边AB上，若AD＝AC，求tan∠BCD的值．解：作DH⊥BC于H.∵∠A＝90°，sinB＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(3,5)，设AC＝3k，BC＝5k，则AB＝4k.∵AC＝AD＝3k，∴BD＝k.∵∠B＝∠B，∠DHB＝∠A，∴△BHD∽△BAC，eq\f(BD,BC)＝eq\f(DH,AC)＝eq\f(BH,AB)，∴DH＝eq\f(3,5)k，BH＝eq\f(4,5)k，∵CH＝BC－BH＝eq\f(21,5)k，∴tan∠BCD＝eq\f(DH,CH)＝eq\f(1,7).八、(本题满分14分)23．【阅读新知】三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即：如图①，在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，则有：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.利用这个结论可求解下列问题：例：在△ABC中，已知a＝2eq\r(3)，b＝2eq\r(2)，c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，求∠A.解：∵a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(（2\r(2)）2＋（\r(6)＋\r(2)）2－（2\r(3)）2,2×2\r(2)×（\r(6)＋\r(2)）)＝eq\f(1,2).∴∠A＝60°.【应用新知】(1)在△ABC中，已知b＝ccosA，a＝csinB，试判断△ABC的形状；(2)如图②，某客轮在A处看港口D在客轮的北偏东50°，A处看灯塔B在客轮的北偏西30°，距离为2eq\r(3)海里，客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口D在客轮的南偏东80°，距离为6海里．求此时C处到灯塔B的距离．解：(1)∵b＝ccosA，a＝csinB，∴cosA＝eq\f(b,c)，sinB＝eq\f(a,c)，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bc×eq\f(b,c)＝c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴a＝csinB＝b，∴△ABC是等腰直角三角形．(2)∵∠ADC＝180°－80°－50°＝50°，∴CA＝CD＝6，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(2eq\r(3))2＋62－2×2eq\r(3)×6×eq\f(\r(3),2)＝12，∴BC＝2eq\r(3).答：C处到灯塔B的距离为2eq\r(3)海里．沪科版九年级数学上册期末测试题1（含答案）(考试时间：120分钟满分：150分)姓名：______班级：______分数：______一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1．下列四组图形中，不是相似图形的是 (D)2．反比例函数y＝－eq\f(4,3x)的比例系数是(B)A．－eq\f(3,4)B．－eq\f(4,3)C.eq\f(4,3)D．－43．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，则cosA＝ (D)A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3) C.eq\f(2\r(13),13) D.eq\f(3\r(13),13)第3题图第5题图第7题图4．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是eq\f(9,4)，则△ABC与△DEF的对应边的比为(D)A.eq\f(2,3)B.eq\f(81,16)C.eq\f(9,4)D.eq\f(3,2)5．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(2，4)，过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的eq\f(1,2)，得到△COD，则CD的长度是(B)A．1B．2C．2eq\r(5)D.eq\r(5)6．已知反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象如图所示，则二次函数y＝k2x2＋x－2k的图象大致为 (A)7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象如图，下列结论中正确的是 (C)A．Abc＞0B．2a－b＝0C．2a＋b＝0D．a－b＋c＞08．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为(1，0)，顶点A的坐标(0，2)，顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为 (A)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))B．(2，0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))D．(3，0)第8题图第9题图9．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC＝90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，若BF＝4.5cm，CE＝2cm，则GF的长为 (A)A．3cm B．2eq\r(2)cm C．2.5cm D．3.5cm10．★如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6厘米，BC＝12厘米，点P，Q同时从顶点A出发，点P沿A→B→C→D方向以2厘米/秒的速度前进，点Q沿A→D方向以1厘米/秒的速度前进，当Q到达点D时，两个点随之停止运动．设运动时间为x秒，P，Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积为y(cm2)，则y与x的函数图象大致是(A)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．已知点P在线段AB上，且满足BP2＝AB·AP，则eq\f(BP,AB)的值等于eq\f(\r(5)－1,2).12．抛物线y＝2x2－4x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程2x2－4x＋m＝0的解是x1＝－1，x2＝3.第12题图第13题图13．周末，张三、李四两人在磁湖游玩，张三在湖心岛P处观看李四在湖中划船(如图)，小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着小船向正南方向划行一段时间到B处．在B处李四观测张三所在的P处在北偏西45°方向上，这时张三与李四相距100eq\r(6)米．(保留根号)14．★矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为eq\f(6,5)或3.三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．计算：|eq\r(2)－eq\r(3)|＋(eq\r(3))0＋2cos45°－3tan30°.解：原式＝eq\r(3)－eq\r(2)＋1＋2×eq\f(\r(2),2)－3×eq\f(\r(3),3)＝1.16．如图，在线段AB上取一点D，使△DBO与等腰Rt△ABC位似，作出点D及求△DBO与△ABC的相似比．解：∵△DBO与等腰Rt△ABC位似，∴位似中心为点B，∵点O为BC的中点，∴点D为BA的中点，即D(－2，6)，∴点D如图所示，△DBO与△ABC的相似比＝1∶2.四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图为一座桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线．当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m.(1)建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式；(2)若水面上升1m，水面宽度将减少多少？解：(1)以C为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(－6，－4)，B(6，－4)，C(0，0)，设y＝ax2，把B(6，－4)代入上式，得36a＋4＝0，解得a＝－eq\f(1,9)，∴y＝－eq\f(1,9)x2.(2)令y＝－3，得－eq\f(1,9)x2＝－3，解得x＝±3eq\r(3)，∴若水面上升1m，水面宽度将减少(12－6eq\r(3))m.18．如图，AB·AE＝AD·AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE.证明：∵AB·AE＝AD·AC，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE).又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE.五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，一正方体包装箱沿斜面坡角为30°的电梯上行，已知正方体包装箱的棱长为2米，电梯AB长为16米，当正方体包装箱的一个顶点到达电梯上端B时，求另一顶点C离地面的高度．(参考数据：eq\r(3)≈1.73)解：过点C作CM⊥AE，交AB于点D，交AE于点M，作BF⊥AE于点F，由题意可得，∠A＝30°，AB＝16，BC＝2，则∠DCB＝30°，∴BD＝BC·tan30°＝2×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(2\r(3),3)，CD＝eq\f(BC,cos30°)＝eq\f(2,\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),3)，∴AD＝AB－BD＝16－eq\f(2\r(3),3)，∴DM＝AD·sin30°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16－\f(2\r(3),3)))×eq\f(1,2)＝8－eq\f(\r(3),3)，∴CM＝CD＋DM＝eq\f(4\r(3),3)＋8－eq\f(\r(3),3)＝8＋eq\r(3)，即另一顶点C离地面的高度是(8＋eq\r(3))米．20．如图，一次函数y＝－x＋5的图象与反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)在第一象限内，当一次函数y＝－x＋5的值大于反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值时，写出自变量x的取值范围．解：(1)∵一次函数y＝－x＋5的图象过点A(1，n)，∴n＝－1＋5＝4，∴点A坐标为(1，4)，∵反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)过点A(1，4)，∴k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝eq\f(4,x).(2)联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋5，,y＝\f(4,x)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,y1＝4，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝4，,y2＝1，))即点B的坐标为(4，1)，当一次函数y＝－x＋5的值大于反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值时，x的取值范围为1＜x＜4.六、(本题满分12分)21．设二次函数y1，y2的图象的顶点坐标分别为(a，b)，(c，d)，若a＝－2c，b＝－2d，且开口方向相同，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．(1)请写出二次函数y＝x2－x＋1的一个“反倍顶二次函数”；(2)已知关于x的二次函数y1＝x2＋nx和二次函数y2＝2x2－nx＋1，若函数y1恰是y2的“反倍顶二次函数”，求n的值．解：(1)∵y2＝x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)，顶点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))，∴y1的顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))，∴y1＝(x＋1)2－eq\f(3,2).(2)∵y1＝x2＋nx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(n,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(n2,4)，y2＝2x2－nx＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(n,4)))eq\s\up12(2)－eq\f(n2－8,8)，由题意得－eq\f(n2,4)＝2×eq\f(n2－8,8)，解得n＝±2.七、(本题满分12分)22．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x(元/千克)506070销售量y(千克)1008060(1)求y与x之间的函数表达式；(2)要使商品每天的总利润为1600元，则每千克售价x为多少元？(3)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式，并指出售价为多少元时获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)解：(1)设y＝kx＋b，将(50，100)，(60，80)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50k＋b＝100，