人教版数学九年级上册同步讲义第23课垂径定理（教师版）

第23课垂径定理目标导航目标导航课程标准理解圆的对称性；掌握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．知识精讲知识精讲知识点01垂径定理1.垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.推论

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即SKIPIF1<0(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点02垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）能力拓展能力拓展考法01应用垂径定理进行计算与证明【典例1】如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．【答案】eq\r(,5).【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，∵AB=CD，CE=1，ED=3，∴OM=EN=1，AM=2，∴OA=.【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.【即学即练1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，∴，，∴在Rt△BOM中，．【即学即练2】如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．【典例2】已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.

∵AB∥CD

∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.

∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，

=8+6

=14(cm)

图1图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，

同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)

∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.

【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.【即学即练3】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．考法02垂径定理的综合应用【典例3】如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）【答案与解析】解：过点O作OD⊥AC于点D，则AD=BD，∵∠OAB=45°，∴AD=OD，∴设AD=x，则OD=x，OA=x，CD=x+BC=x+50．∵∠OCA=30°，∴=SKIPIF1<0，即=SKIPIF1<0，解得x=SKIPIF1<0，∴OA=x=×（SKIPIF1<0）=（SKIPIF1<0）（米）．答：人工湖的半径为（SKIPIF1<0）米．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．【典例4】不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；在图②中AB、CD交于⊙O内一点；在图③中AB∥CD．(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．∵AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴AE∥OG∥BF．∵AB为直径，∴AO＝OB，∴EG＝GF，∴EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.分层提分分层提分题组A基础过关练1．下列结论正确的是（）A．经过圆心的直线是圆的对称轴

B．直径是圆的对称轴C．与圆相交的直线是圆的对称轴

D．与直径相交的直线是圆的对称轴【答案】A【详解】因为A选项,经过圆心的直线是圆的对称轴，所以A选项正确,B选项,直径所在的直线是圆的对称轴,所以B选项错误,C选项,与圆相交且经过圆心的直线是圆的对称轴,所以C选项错误,D选项,与直径相交且经过圆心的直线是圆的对称轴,所以D选项错误.故选A.点睛:本题考查了圆的对称性,解决本题的关键是要熟练掌握圆的对称性.2．下列命题中正确的是（）A．经过三个点可以作一个圆 B．长度相等的弧是等弧C．相等的圆心角所对的弧相等 D．弦的垂直平分线一定经过圆心【答案】D【分析】利用弦的定义，构成圆的条件以及垂径定理逆定理判断即可．【详解】解：A.不在同一直线上的三个点一定可以作圆，原题说法错误；B.在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原题说法错误；C.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原题说法错误；D.弦的垂直平分线一定经过圆心，原题说法正确．故答案为：D．【点睛】本题考查了命题与定理，关键是掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断．3．如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是（）A．CE=DE B．AE=OE C．SKIPIF1<0 D．△OCE≌△ODE【答案】B【详解】试题分析：∵⊙O的直径AB⊥弦CD，∴CE=DE，SKIPIF1<0，在Rt△CEO和Rt△DEO中，∵CO=DO，OE=OE，∴△OCE≌△ODE，只有AE=OE不能判定，故选B．考点：垂径定理．4．如图，在直径AB=12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则弦CD的长是（）A．3 B．3SKIPIF1<0 C．6 D．6SKIPIF1<0【答案】D【解析】连接OC．Rt△OCM中，OC=6，OM=SKIPIF1<0AB=3，由勾股定理得：MC=SKIPIF1<0=3SKIPIF1<0；∵AB⊥CD，∴CM=MD，∴CD=2MC=6SKIPIF1<0．故选D．点睛：要求弦长，一般过圆心作弦的垂线段，连接圆心和弦的一个端点，结合垂径定理、勾股定理求得.5．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为______．【答案】SKIPIF1<0【详解】试题分析：连接OC，则OC=r，OE=r－1，CE=SKIPIF1<0CD=2，根据Rt△OCE的勾股定理可得：SKIPIF1<0，解得：r=．考点：垂径定理．6．已知⊙O中，弦AB=24cm，圆心到AB的距离为5cm，则此圆的半径等于_______cm.【答案】13【解析】先画图，由于OC⊥AB，根据垂径定理可知AC=BC=SKIPIF1<0先画图，由于OC⊥AB，根据垂径定理可知AC=BC=SKIPIF1<0AB=12，再利用勾股定理易求OA．解：如图所示，O到弦AB的距离为OC，连接OA，∵OC⊥AB，∴AC=BC=SKIPIF1<0AB=12，在Rt△AOC中，OA==13．故答案是13．7．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．【答案】8【解析】如图：连接SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中,根据勾股定理得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<08．如图，如AE是⊙O的直径，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB=8cm，CD=2cm，则BE=．【答案】6cm【解析】试题分析：根据垂径定理可得AC=4cm，然后设CO=xcm，则DO=AO=（x+2）cm，再利用勾股定理可得（x+2）2=42+x2，解出x=3，再根据三角形中位线定理可得BE=2CO=6cm．考点：1、垂径定理，2、勾股定理，3、三角形的中位线定理9．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=_____．【答案】4cm【详解】解：连接OA，∵OC⊥AB，∴AC=SKIPIF1<0AB=3cm，∴OC=SKIPIF1<0=4（cm）．故答案为4cm．【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．题组B能力提升练1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则SKIPIF1<0的度数为____________．【答案】50°【解析】试题分析：连接CD，∵∠A=25°，∴∠B=65°，∵CB=CD，∴∠B=∠CDB=65°，∴∠BCD=50°，∴的度数为50°考点：1.圆心角、弧、弦的关系；2.三角形内角和定理；3.直角三角形的性质2．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．【答案】SKIPIF1<0【分析】连接OA，过点O作OC⊥AB，垂足为C，由垂径定理求得AC，再由勾股定理求得OC，再在直角三角形OPC中，利用勾股定理求得OP即可．【详解】解：如图，连接OA，过点O作OC⊥AB，垂足为C，∵PA＝6，PB＝2，∴AC＝4，∴PC＝2，∵OA＝5，∴由勾股定理得：OC＝SKIPIF1<0＝3，∴OP＝SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．3．如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若AB＝6cm，OD＝4cm，则⊙O的半径为_____cm．【答案】5【解析】试题分析：连接OA，根据垂径定理可得：AD=3cm，OD=4cm，根据Rt△OAD的勾股定理可得：OA=5cm，即圆的半径为5cm.4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为______cm．【答案】4SKIPIF1<0【解析】连接OC，如图所示：∵AB是O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=DE=SKIPIF1<0CD=3cm，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=22.5°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE=45°，∴△COE为等腰直角三角形，∴OC=SKIPIF1<0CE=SKIPIF1<0cm，故答案为SKIPIF1<0.5．如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=10cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长．【答案】AB=8．【解析】试题分析：连接OA，先根据CD=10cm得出OC的长，再由OM：OC=3：5得出OM的长，由勾股定理求出AM的长，进而可得出结论．试题解析：连接OA，∵CD=10cm，∴OC=5cm．∵OM：OC=3：5，∴OM=3，∴AM=OA2−O∴AB=2AM=8．【考点】垂径定理；勾股定理．6．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，求弦CD的长．【答案】CD=8.【解析】试题分析：连接OC，先根据直径AB=10，求出OC的长，再根据勾股定理求出CE的长，由垂径定理即可得出结论.试题解析：连接OC，∵直径AB=10，BE=2，∴OE=5﹣2=3，OC=5；∵弦CD⊥AB，∴CE=DE；由勾股定理得：CE=SKIPIF1<0=4，∴CD=2CE=8．题组C培优拔尖练1．如图，⊙SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为弦，SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交⊙SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求弦SKIPIF1<0的长．【答案】8【解析】【分析】求出OD，根据垂径定理得出SKIPIF1<0，根据勾股定理求出AD，即可得出答案．【详解】解：∵⊙SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】此题考查垂径定理及其推论，勾股定理，解题关键在于得出SKIPIF1<02．如图，四边形ABCD是矩形，以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F，AB=4，AD=12.求线段EF的长.【答案】4SKIPIF1<0【分析】作OM⊥BC于M，连接OE，根据垂径定理求出EF=2EM，求出OE和OM长，根据勾股定理求出EM，即可求出EF．【详解】作OM⊥BC于M，连接OE，

则ME=MF=SKIPIF1<0EF，

∵AD=12，

∴OE=6，

在矩形ABCD中，OM⊥BC，

∴OM=AB=4，

∵在△OEM中，∠OME=90°，

ME=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0，

∴线段EF的长度为4SKIPIF1<0．【点睛】考查了勾股定理、垂径定理、矩形的性质等知识点，解题关键是构造直角三角形.3．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，拱高SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，当洪水泛滥到跨度只有SKIPIF1<0时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施.【答案】不需要采取紧急措施，理由详见解析.【分析】连接OA′，OA．设圆的半径是R，则ON＝R−4，OM＝R−18．根据垂径定理求得AM的长，在直角三角形AOM中，根据勾股定理求得R的值，在直角三角形A′ON中，根据勾股定理求得A′N的值，再根据垂径定理求得A′B′的长，从而作出判断．【详解】设圆弧所在圆的圆心为SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图所示设半径为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0由垂径定理可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由勾股定理可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由勾股定理可得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴不需要采取紧急措施.【点睛】此类题综合运用了勾股定理和垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理的应用.4．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）证明：点E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE＝SKIPIF1<0OB＝SKIPIF1<0OC，即证明∠OCE＝30°即可；

（2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．【详解】（1）证明：连接AC，如图

∵直径AB垂直于弦CD于点E，

∴SKIPIF1<0，AC＝AD，

∵过圆心O的线CF⊥AD，

∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，

∴AC＝CD，

∴AC＝AD＝CD．

即：△ACD是等边三角形，

∴∠FCD＝30°，

在Rt△COE中，OE＝SKIPIF1<0OC，

∴OE＝SKIPIF1<0OB，

∴点E为OB的中点；

（2）解：在Rt△OC