整数(整除)性问题

N．．．，，，，1nmnnnN．．．，，，，1nmnnn{}最高学优专（典析整数（整除）性问题【探究拓展】探究1）知二项式

x

1x

，其中，且

n2012

，在其二项展开式中，若存在连续项的二项式系成等差数列，问这样的n共有多少个？解：连续三项的二项系数分别为

k

、k、k（

kn

由题意

k

k

k

，依组合数的定义展并整理得

n

2

kn4k

2

，故n1,2

4k8k2

，

8k(222k2

，代入整理m2m24421936220252

的取值为

44

，

，，

，共

42个（将所求参数求出，据整数性质加以研究，尽量出现分式、式等形式）（2）已知T(1)3

，问是否存在正整数，n，且m＜n得T，T，T成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存，说明理由？解：

1(13

11n)Tn3n

∴

1

14

,m

m

，

T

∵

T,T1

m

,T

n

成等比数列∴

(

m1)23m3n

，所以

m

2,1

又

为正整数且2m，＝且

1<mn，得

T1m

n

成等比数列（3）

已知数列

{}n

是等差数列，

151

，数列是等比数，nbb12

．{}{}所以{{}{}所以{}64a*，，(m64最高学优专（典析①

若

,124

．求数列和的项公式；nn②

若

,a112

是正整数且成等比数，求

3

的最大值．（注：整型问题一定充分利用好条中的整数进求解）解由题得所

ba212

从而等差数列的差，n以

2n

，从而

3

，所以

b

．（2）设等数列{}的公差为，比数列为q，则an

，

，

a

，

bq

.因为

,1122

成等比数列，所以

)13

．设

3

，

,

*

，，则

m

，整理得

d

.解得

d

n(m10)2

（舍去负）（预设提：如何利用是正整数实现对本题的研究是本题的难点）Qa

，要使得

最大，即需要大，即n及(10)

2

取最大值

Q

,当且仅当且时，

2

取最大值从而最大的探究

，所以，最大的年）已知数列{}的通项公式为

，

是其前n，由，得)2(，由，得)2(2(22(4f(x)ax最高学优专（典析项的和，问是否存在整数

，使得

S2mnS2mn

成立？若存在，求出所有符合条件的有实数对存，请说明理由解：

S

1)4(1)S)212+

当时母小于恒成化简可知不等式不可成立又因为

是正整数故

m1,2,3

当时由得，

所以当时由得，

所以或当时由，

所以

或或，综上可，存在条件的有序实．(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4)

(mn)

为：拓展

1知等差数列

{}

的公差

d不为

0等数列{}的

q为小于正有理数，若

a,bd11

2

，且

23

是正整数，则等于________.

拓展：m∈若函数

fx)

存在整数零点，则

取值集合为________.解：当x∈Z，且x≤时，

10

∈Z．若

=0，=-5为函数f(x)的整数零点．若≠则令(x，得m

210

∈．注意到≤≤且

10x∈N，得x∈，6，10}此时集合为{0，3，14，．

∈，22，．故

的取值拓展：函数

中为负整数，则使函数至少有一f(m)gf(m)gm为为知，又得为最高学优专（典析个整数零点的所有的的和为_____________.-14拓展：设a,均为于1的自数，函数

f(x(bsinx),()

，若存在实数使得

，则

.

拓展：已知函数

bg()

2

(2

2

x

2

)(Z

*

,b

，若存在

x0

，使

f()f()0

的最小值，

)g(x)0

的最大值，则此时数,b)

为_________.解：由

b

2

bb1,2,3

；而

f(x)

的最小值时

x0

=

，又

)0

的最大值即a

所以

2

b

2

得

6

2

b得a

或此时数对

,b)