最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总专题分类：“胡不归模型”

二．两条线段最值

PA＋PB

型2.PA＋kPB型2.1

“胡不归模型”【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB，C为公路BD上的酒店，海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为胎速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短?【特例分析】若n＝2，则时间t＝eq\f(AD,a)eq\f(CD,2a)

，当a为定值时，问题转化为：在BC上角定点D，使得AD＋eq\f(1,2)CD的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM＝30°．(1)作DE⊥CH于E，试说明：DE＝eq\f(1,2)CD

(2)请在图②中画出所用时间最短的登陆点D'，并说明理由．

(3)请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题(写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等).图①

图②备用图

【模型运用】

(4)如图③，海面上标志A到海岸BC的距离AB＝300m，BC＝300m，救生员在C点处发现标志A处有人求救，立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是6m/s．

在海中游泳的速度都是2m/s，求救生员从C点出发到达A处的最短时间．（50＋100eq\r(2)）

图③【套路归纳】将所求线段和改写为“PA＋eq\f(n,m)PB”的形式(eq\f(n,m)＜1);在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α.

使得sinα＝eq\f(n,m)过A作第②步所构造的角的一边垂线，

该垂线段的长度即为所求最小值.【变式练习】1．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA＝eq\f(4,3)，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是

s.(eq\f(64,9))2．如图，已知抛物线y＝eq\f(k,3)(x＋2)

(x－4)

(k为为常数，且k＞0)与x轴从左至右依次交于A，

B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－eq\f(eq\r(3),3)x＋b与抛物线的另一交点为D.

(1)

若点D的横坐标为－5，求抛物线的函数表达式;

(2)

若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，

P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值;

(3)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?（－2,2eq\r(3)）3.等边△ABC的边长为6，如图放置在坐标系中，

其中BC边在x轴上，BC边的高OA在y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为．（0,－eq\r(3)）

4．如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC,

A(0，2eq\r(2))，

C(1，

0)，D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD.上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为．（0,eq\f(eq\r(2),4)）5．如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米．一天居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B，

(消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．)(eq\f(12＋5eq\r(3),80))6．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且⊙O的直径AB在线段AE上．(1)试说明CE是⊙O的切线；

(2)若△ACE中AE边上的高为h，

试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；(3)设点D是线段AC

上任意点(不含端点)，连接OD，

当号eq\f(1,2)CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB

的长.（AB＝eq\f(4h,eq\r(3)),AB＝8eq\r(3)）

7．如图1，直线l与x轴，y轴分别交于点B(4，0)，C(0，3)点A为x轴负半轴上一点，AN⊥BC于点M交y轴于点N．满足4CN＝5ON．

已知抛物线y＝ax2

＋bx＋c经过点A，B，C．(1)求抛物线的函数关系式；

(2)连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC，DB，

若△BCD和△ABC面积满足S△BCD＝eq\f(3,5)

S△ABC，求点D的坐标；

(3)如图2，E为0B中点，设F为线段BC上一点(不含端点)，连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒eq\f(5,3)个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标．F（2,1.5）

（图1）（图2）

8．如图，抛物线y＝

eq\f(1,2)x2＋mx＋n与直线y＝-eq\f(1,2)x2＋3交于A.B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，DC，已知A(0，3)，C(3，0)．(1)求抛物线的解析式和tan

∠BAC的值:

(2)在(1)条件下，设E为线段AC上一点(不含端点)，连核DE．一动点

M从点D发，沿线段DE以每秒1个单位速度运动到

E点，再沿线段EA以每秒eq\r(2)个单位的速度动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少?E（2,1）

9．已知A

(2，0)，B(0，3)，C(3，0)，设D是线段BC上一点(不含端点)，连接AD，一动点M从A出发，沿线段AD以每秒1个单位速度运动到D点，再沿线段DB以每秒2个单位的速度运动到B后停止，当点D的坐标是多少时，当M在整个运动过程中用时最少?D(eq\f(15－eq\r(3),6),eq\f(3＋eq\r(3),6))

10．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－6，0)，B(6，0)，

C(0，4eq\r(3))

，延长AC到点D，使CD＝eq\f(1,2)

AC，DE∥AB交BC的延长线于E.

(1)求D点的坐标:

(2)作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF，EF，

若过B点的直线y＝kx＋b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式;

(3)设G为y轴上一点，点P从直线y＝kx＋b与

y轴的交点出发，先沿y轴到达G点再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．(要求:简述确定G点位置的方法，但不要求证明)G(0,2eq\r(3))

11．如图，y＝ax2＋bx＋c的图像经过点A(－1，0)，B(0，－3)，C

(2,

0)，

其中对称轴与x轴交于点D．(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；

(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB＋eq\f(1,2)

PD的最小值为；（eq\f(3eq\r(3),4)）

(