函数模型及应用

函数模型及应用第1页，共24页，2023年，2月20日，星期三基础自查1．三种增长型函数模型的图象与性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与y轴平行随x增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而不同函数性质增函数增函数增函数第2页，共24页，2023年，2月20日，星期三2.常用的几类函数模型

(1)一次函数模型f(x)＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)；

(2)反比例函数模型f(x)＝＋b(k、b为常数，k≠0)；

(3)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)；

(4)指数函数模型f(x)＝a·bx＋c(a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)；

(5)对数函数模型f(x)＝mlogax＋n(m、n、a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)；

(6)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)．第3页，共24页，2023年，2月20日，星期三联动思考议一议：以上三种函数都是单调增函数，它们的增长速度相同吗？在(0，＋∞)上随着x的增大，三种函数的函数值间有什么关系？答案：三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x＞x0时有ax＞xn＞logax.第4页，共24页，2023年，2月20日，星期三联动体验1．一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为(

)A．y＝20－20x(x≤10)B．y＝20－2x(x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)

答案：D第5页，共24页，2023年，2月20日，星期三第6页，共24页，2023年，2月20日，星期三3．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元；购买2000吨，每吨为700元；一客户购买

400吨，单价应该是(

)A．820元 B．840元 C．860元 D．880元解析：依题意，可设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，由x＝800，y＝1000及x＝700，y＝2000，可得k＝－10，b＝9000，即y＝－10x＋9000，将y＝400代入得x＝860.

答案：C第7页，共24页，2023年，2月20日，星期三4．(2010·泰安模拟)设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(

)解析：注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.答案：D第8页，共24页，2023年，2月20日，星期三第9页，共24页，2023年，2月20日，星期三考向一一次、二次函数模型应用【例1】

某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①所示，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②所示(注：利润与投资单位：万元)．第10页，共24页，2023年，2月20日，星期三第11页，共24页，2023年，2月20日，星期三第12页，共24页，2023年，2月20日，星期三反思感悟：善于总结，养成习惯1．比例关系：变量y与x成正比例，可表示为y＝kx(k≠0)．2．换元法：本例第2问通过换元转化为二次函数问题，使问题简化，但应注意新的变元的取值范围，即注意转化的等价性．第13页，共24页，2023年，2月20日，星期三迁移发散第14页，共24页，2023年，2月20日，星期三考向二分段函数模型的应用【例2】

某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完，公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②

(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．第15页，共24页，2023年，2月20日，星期三第16页，共24页，2023年，2月20日，星期三第17页，共24页，2023年，2月20日，星期三第18页，共24页，2023年，2月20日，星期三反思感悟：善于总结，养成习惯1．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．2．构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．第19页，共24页，2023年，2月20日，星期三第20页，共24页，2023年，2月20日，星期三第21页，共24页，2023年，2月20日，星期三考向三指数函数模型与幂函数模型

【例3】

某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：

(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；

(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；

(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；

(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？

(参考数据：1.0129≈1.1